Matematické konstanty
The funkce gama je důležité speciální funkce v matematika . Jeho konkrétní hodnoty lze vyjádřit v uzavřené formě pro celé číslo a napůl celé číslo argumenty, ale pro hodnoty at nejsou známy žádné jednoduché výrazy Racionální body obecně. Další zlomkové argumenty lze aproximovat pomocí efektivních nekonečných produktů, nekonečných řad a relací opakování.
Celá čísla a poloviční celá čísla U kladných celočíselných argumentů se gama funkce shoduje s faktoriál . To znamená,
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! , {displaystyle Gamma (n) = (n-1) !,} a tudíž
Γ ( 1 ) = 1 , Γ ( 2 ) = 1 , Γ ( 3 ) = 2 , Γ ( 4 ) = 6 , Γ ( 5 ) = 24 , {displaystyle {egin {zarovnáno} Gamma (1) & = 1, Gamma (2) & = 1, Gamma (3) & = 2, Gamma (4) & = 6, Gamma (5) & = 24 , konec {zarovnáno}}} a tak dále. U kladných celých čísel není funkce gama definována.
U kladných celých celých čísel jsou hodnoty funkcí dány přesně znakem
Γ ( n 2 ) = π ( n − 2 ) ! ! 2 n − 1 2 , {displaystyle Gamma left ({frac {n} {2}} ight) = {sqrt {pi}} {frac {(n-2) !!} {2 ^ {frac {n-1} {2}}}} ,,} nebo ekvivalentně pro nezáporné celočíselné hodnotyn :
Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = ( 2 n ) ! 4 n n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π {displaystyle {egin {aligned} Gamma left ({frac {1} {2}} + night) & = {frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n}}}, {sqrt {pi}} = {frac {(2n)!} {4 ^ {n} n!}} {sqrt {pi}} Gamma left ({frac {1} {2}} - night) & = {frac {(-2) ^ {n}} {(2n-1) !!}}, {sqrt {pi}} = {frac {(-4) ^ {n} n!} {(2n)!}} {sqrt {pi}} konec {zarovnáno}}} kde n !! označuje dvojitý faktoriál . Zejména,
Γ ( 1 2 ) {displaystyle Gamma left ({frac {1} {2}} ight),} = π {displaystyle = {sqrt {pi}},} ≈ 1.772 453 850 905 516 0273 , {displaystyle cca 1,772,453,850,905,516,0273 ,,} OEIS : A002161 Γ ( 3 2 ) {displaystyle Gamma left ({frac {3} {2}} ight),} = 1 2 π {displaystyle = {frac {1} {2}} {sqrt {pi}},} ≈ 0.886 226 925 452 758 0137 , {displaystyle cca 0,886 226 925 452 758 0137 ,,} OEIS : A019704 Γ ( 5 2 ) {displaystyle Gamma left ({frac {5} {2}} ight),} = 3 4 π {displaystyle = {frac {3} {4}} {sqrt {pi}},} ≈ 1.329 340 388 179 137 0205 , {displaystyle cca 1,329,340,388,179,137,0205 ,,} OEIS : A245884 Γ ( 7 2 ) {displaystyle Gamma left ({frac {7} {2}} ight),} = 15 8 π {displaystyle = {frac {15} {8}} {sqrt {pi}},} ≈ 3.323 350 970 447 842 5512 , {displaystyle cca 3,323 350 970 447 842 5512 ,,} OEIS : A245885
a prostřednictvím reflexní vzorec ,
Γ ( − 1 2 ) {displaystyle Gamma left (- {frac {1} {2}} ight),} = − 2 π {displaystyle = -2 {sqrt {pi}},} ≈ − 3.544 907 701 811 032 0546 , {displaystyle cca -3 544 907 701 811 032 0546 ,,} OEIS : A019707 Γ ( − 3 2 ) {displaystyle Gamma left (- {frac {3} {2}} ight),} = 4 3 π {displaystyle = {frac {4} {3}} {sqrt {pi}},} ≈ 2.363 271 801 207 354 7031 , {displaystyle cca 2,363,271,801,207,354,7031 ,,} OEIS : A245886 Γ ( − 5 2 ) {displaystyle Gamma left (- {frac {5} {2}} ight),} = − 8 15 π {displaystyle = - {frac {8} {15}} {sqrt {pi}},} ≈ − 0.945 308 720 482 941 8812 , {displaystyle cca -0,945 308 720 482 941 888 ,,} OEIS : A245887
Obecný racionální argument Analogicky s poločíselným vzorcem
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3 ) ( 3 n − 2 ) ! ! ! 3 n Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4 ) ( 4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 n Γ ( n + 1 p ) = Γ ( 1 p ) ( p n − ( p − 1 ) ) ! ( p ) p n {displaystyle {egin {aligned} Gamma left (n + {frac {1} {3}} ight) & = Gamma left ({frac {1} {3}} ight) {frac {(3n-2) !!!} {3 ^ {n}}} Gamma left (n + {frac {1} {4}} ight) & = Gamma left ({frac {1} {4}} ight) {frac {(4n-3) !! !!} {4 ^ {n}}} Gamma left (n + {frac {1} {p}} ight) & = Gamma left ({frac {1} {p}} ight) {frac {{ig (} pn- (p-1) {ig)}! ^ {(p)}} {p ^ {n}}} konec {zarovnáno}}} kde n !(p ) označuje p th multifaktoriální z n . Numericky,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {displaystyle Gamma left ({frac {1} {3}} ight) cca 2,678,938,534,707,747,6337} OEIS : A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {displaystyle Gamma left ({frac {1} {4}} ight) cca 3,625,609,908,221,908,3119} OEIS : A068466 Γ ( 1 5 ) ≈ 4.590 843 711 998 803 0532 {displaystyle Gamma left ({frac {1} {5}} ight) cca 4,590,843,711,998,803,0532} OEIS : A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {displaystyle Gamma left ({frac {1} {6}} ight) cca 5 566 316 001 780 235 2043} OEIS : A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {displaystyle Gamma left ({frac {1} {7}} ight) cca 6,548 062 940 247 824 4377}} OEIS : A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {displaystyle Gamma left ({frac {1} {8}} ight) cca 7,533,941,598,797,611,9047} OEIS : A203142 .Není známo, zda tyto konstanty jsou transcendentální obecně, ale Γ (1 / 3 ) a Γ (1 / 4 ) bylo prokázáno, že jsou transcendentální G. V. Chudnovský . Γ (1 / 4 ) / 4 √π je také dlouho známo, že je transcendentální, a Jurij Nesterenko v roce 1996 to prokázal Γ (1 / 4 ) , π , a E π jsou algebraicky nezávislý .
Číslo Γ (1 / 4 ) je spojen s Gaussova konstanta G podle
Γ ( 1 4 ) = 2 G 2 π 3 , {displaystyle Gamma left ({frac {1} {4}} ight) = {sqrt {2G {sqrt {2pi ^ {3}}}}}}} a to si Gramain domyslel
Γ ( 1 4 ) = 4 π 3 E 2 y − δ + 1 4 {displaystyle Gamma left ({frac {1} {4}} ight) = {sqrt [{4}] {4pi ^ {3} e ^ {2gamma -mathrm {delta} +1}}}} kde δ je Masser-Gramainova konstanta OEIS : A086058 , ačkoli numerická práce Melquionda a kol. naznačuje, že tento dohad je nepravdivý.[1]
Borwein a Zucker to zjistili Γ (n / 24 ) lze vyjádřit algebraicky ve smyslu π , K. (k (1)) , K. (k (2)) , K. (k (3)) , a K. (k (6)) kde K. (k (N )) je kompletní eliptický integrál prvního druhu . To umožňuje efektivní aproximaci gama funkce racionálních argumentů na vysokou přesnost použití kvadraticky konvergentní aritmeticko – geometrický průměr iterace. Nejsou známy žádné podobné vztahy Γ (1 / 5 ) nebo jiní jmenovatelé.
Zejména tam, kde je AGM () aritmeticko – geometrický průměr , my máme[2]
Γ ( 1 3 ) = 2 7 9 ⋅ π 2 3 3 1 12 ⋅ AGM ( 2 , 2 + 3 ) 1 3 {displaystyle Gamma left ({frac {1} {3}} ight) = {frac {2 ^ {frac {7} {9}} cdot pi ^ {frac {2} {3}}} {3 ^ {frac { 1} {12}} cdot operatorname {AGM} vlevo (2, {sqrt {2+ {sqrt {3}}}} vpravo) ^ {frac {1} {3}}}}} Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 2 AGM ( 2 , 1 ) {displaystyle Gamma left ({frac {1} {4}} ight) = {sqrt {frac {(2pi) ^ {frac {3} {2}}} {operatorname {AGM} left ({sqrt {2}}, 1 světlo)}}}} Γ ( 1 6 ) = 2 14 9 ⋅ 3 1 3 ⋅ π 5 6 AGM ( 1 + 3 , 8 ) 2 3 . {displaystyle Gamma left ({frac {1} {6}} ight) = {frac {2 ^ {frac {14} {9}} cdot 3 ^ {frac {1} {3}} cdot pi ^ {frac {5 } {6}}} {operatorname {AGM} vlevo (1+ {sqrt {3}}, {sqrt {8}} ight) ^ {frac {2} {3}}}}.} Mezi další vzorce patří nekonečné produkty
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {displaystyle Gamma left ({frac {1} {4}} ight) = (2pi) ^ {frac {3} {4}} prod _ {k = 1} ^ {infty} anh left ({frac {pi k} {2}} hned)} a
Γ ( 1 4 ) = A 3 E − G π π 2 1 6 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k ) k ( − 1 ) k {displaystyle Gamma left ({frac {1} {4}} ight) = A ^ {3} e ^ {- {frac {G} {pi}}} {sqrt {pi}} 2 ^ {frac {1} { 6}} prod _ {k = 1} ^ {infty} left (1- {frac {1} {2k}} ight) ^ {k (-1) ^ {k}}} kde A je Konstanta Glaisher – Kinkelin a G je Katalánská konstanta .
Následující dvě reprezentace pro Γ (3 / 4 ) dal I. Mező[3]
π E π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = i ∑ k = − ∞ ∞ E π ( k − 2 k 2 ) ϑ 1 ( i π 2 ( 2 k − 1 ) , E − π ) , {displaystyle {sqrt {frac {pi {sqrt {e ^ {pi}}}} {2}}} {frac {1} {Gamma ^ {2} vlevo ({frac {3} {4}} vpravo)}} = isum _ {k = -infty} ^ {infty} e ^ {pi (k-2k ^ {2})} vartheta _ {1} vlevo ({frac {ipi} {2}} (2k-1), e ^ {- pi} ight),} a
π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ ϑ 4 ( i k π , E − π ) E 2 π k 2 , {displaystyle {sqrt {frac {pi} {2}}} {frac {1} {Gamma ^ {2} vlevo ({frac {3} {4}} přesně)}} = součet _ {k = -infty} ^ {infty} {frac {vartheta _ {4} (ikpi, e ^ {- pi})} {e ^ {2pi k ^ {2}}}},} kde ϑ 1 a ϑ 4 jsou dva z Jacobi theta funkce .
produkty Některé identity produktů zahrnují:
∏ r = 1 2 Γ ( r 3 ) = 2 π 3 ≈ 3.627 598 728 468 435 7012 {displaystyle prod _ {r = 1} ^ {2} Gamma left ({frac {r} {3}} ight) = {frac {2pi} {sqrt {3}}} cca 3,627 598 728 468 435 7012} OEIS : A186706 ∏ r = 1 3 Γ ( r 4 ) = 2 π 3 ≈ 7.874 804 972 861 209 8721 {displaystyle prod _ {r = 1} ^ {3} Zbývající gama ({frac {r} {4}} ight) = {sqrt {2pi ^ {3}}} přibližně 7 874 804 972 861 209 8721} OEIS : A220610 ∏ r = 1 4 Γ ( r 5 ) = 4 π 2 5 ≈ 17.655 285 081 493 524 2483 {displaystyle prod _ {r = 1} ^ {4} Zbývající gamma ({frac {r} {5}} ight) = {frac {4pi ^ {2}} {sqrt {5}}} přibližně 17 655 285 081 493 524 2483 } ∏ r = 1 5 Γ ( r 6 ) = 4 π 5 3 ≈ 40.399 319 122 003 790 0785 {displaystyle prod _ {r = 1} ^ {5} Zbývající gama ({frac {r} {6}} ight) = 4 {sqrt {frac {pi ^ {5}} {3}}} přibližně 40 399 319 122 003 790, 0785} ∏ r = 1 6 Γ ( r 7 ) = 8 π 3 7 ≈ 93.754 168 203 582 503 7970 {displaystyle prod _ {r = 1} ^ {6} Zbývající gama ({frac {r} {7}} večer) = {frac {8pi ^ {3}} {sqrt {7}}} přibližně 93,754,168,203,582,503,7970 } ∏ r = 1 7 Γ ( r 8 ) = 4 π 7 ≈ 219.828 778 016 957 263 6207 {displaystyle prod _ {r = 1} ^ {7} Zbývající gama ({frac {r} {8}} ight) = 4 {sqrt {pi ^ {7}}} přibližně 219 828 778 016 957 263 6207} Obecně:
∏ r = 1 n Γ ( r n + 1 ) = ( 2 π ) n n + 1 {displaystyle prod _ {r = 1} ^ {n} Gamma left ({frac {r} {n + 1}} ight) = {sqrt {frac {(2pi) ^ {n}} {n + 1}}} } Z těchto produktů lze odvodit další hodnoty, například z dřívějších rovnic pro ∏ r = 1 3 Γ ( r 4 ) {displaystyle prod _ {r = 1} ^ {3} Gamma left ({frac {r} {4}} ight)} , Γ ( 1 4 ) {displaystyle Gamma left ({frac {1} {4}} ight)} a Γ ( 2 4 ) {displaystyle Gamma left ({frac {2} {4}} ight)} , lze odvodit:
Γ ( 3 4 ) = ( π 2 ) 1 4 AGM ( 2 , 1 ) 1 2 {displaystyle Gamma left ({frac {3} {4}} ight) = left ({frac {pi} {2}} ight) ^ {frac {1} {4}} {operatorname {AGM} left ({sqrt { 2}}, 1ight)} ^ {frac {1} {2}}}
Mezi další racionální vztahy patří
Γ ( 1 5 ) Γ ( 4 15 ) Γ ( 1 3 ) Γ ( 2 15 ) = 2 3 20 5 6 5 − 7 5 + 6 − 6 5 4 {displaystyle {frac {Gamma left ({frac {1} {5}} ight) Gamma left ({frac {4} {15}} ight)} {Gamma left ({frac {1} {3}} ight) Gamma left ({frac {2} {15}} ight)}} = {frac {{sqrt {2}}, {sqrt [{20}] {3}}} {{sqrt [{6}] {5}} , {sqrt [{4}] {5- {frac {7} {sqrt {5}}} + {sqrt {6- {frac {6} {sqrt {5}}}}}}}}} Γ ( 1 20 ) Γ ( 9 20 ) Γ ( 3 20 ) Γ ( 7 20 ) = 5 4 ( 1 + 5 ) 2 {displaystyle {frac {Gamma left ({frac {1} {20}} ight) Gamma left ({frac {9} {20}} ight)} {Gamma left ({frac {3} {20}} ight) Gamma left ({frac {7} {20}} ight)}} = {frac {{sqrt [{4}] {5}} left (1+ {sqrt {5}} ight)} {2}}} [4] Γ ( 1 5 ) 2 Γ ( 1 10 ) Γ ( 3 10 ) = 1 + 5 2 7 10 5 4 {displaystyle {frac {Gamma left ({frac {1} {5}} ight) ^ {2}} {Gamma left ({frac {1} {10}} ight) Gamma left ({frac {3} {10} } ight)}} = {frac {sqrt {1+ {sqrt {5}}}} {2 ^ {frac {7} {10}} {sqrt [{4}] {5}}}}} a mnoho dalších vztahů pro Γ (n / d ) kde jmenovatel d dělí 24 nebo 60.[5]
Gama kvocienty s algebraickými hodnotami musí být „připraveny“ v tom smyslu, že součet argumentů je stejný (modulo 1) pro jmenovatele i čitatele.
Složitější příklad:
Γ ( 11 42 ) Γ ( 2 7 ) Γ ( 1 21 ) Γ ( 1 2 ) = 8 hřích ( π 7 ) hřích ( π 21 ) hřích ( 4 π 21 ) hřích ( 5 π 21 ) 2 1 42 3 9 28 7 1 3 {displaystyle {frac {Gamma left ({frac {11} {42}} ight) Gamma left ({frac {2} {7}} ight)} {Gamma left ({frac {1} {21}} ight) Gamma left ({frac {1} {2}} ight)}} = {frac {8sin left ({frac {pi} {7}} ight) {sqrt {sin left ({frac {pi} {21}} ight) sin left ({frac {4pi} {21}} ight) sin left ({frac {5pi} {21}} ight)}}} {2 ^ {frac {1} {42}} 3 ^ {frac {9} {28}} 7 ^ {frac {1} {3}}}}} [6] Imaginární a složité argumenty Funkce gama na imaginární jednotka i = √−1 dává OEIS : A212877 , OEIS : A212878 :
Γ ( i ) = ( − 1 + i ) ! ≈ − 0.1549 − 0.4980 i . {displaystyle Gamma (i) = (- 1 + i)! přibližně -0,1549-0,4980i.} Může být také uveden ve smyslu Barnes G -funkce :
Γ ( i ) = G ( 1 + i ) G ( i ) = E − log G ( i ) + log G ( 1 + i ) . {displaystyle Gamma (i) = {frac {G (1 + i)} {G (i)}} = e ^ {- log G (i) + log G (1 + i)}.} Kupodivu, Γ ( i ) {displaystyle Gamma (i)} se objeví v níže uvedeném integrálním hodnocení:[7]
∫ 0 π / 2 { dětská postýlka ( X ) } d X = 1 − π 2 + i 2 log ( π sinh ( π ) Γ ( i ) 2 ) . {displaystyle int _ {0} ^ {pi / 2} {cot (x)}, dx = 1- {frac {pi} {2}} + {frac {i} {2}} přihlásit se vlevo ({frac {pi } {sinh (pi) Gamma (i) ^ {2}}} v pořádku).} Tady { ⋅ } {displaystyle {cdot}} označuje zlomková část .
Kvůli Eulerův odrazový vzorec a skutečnost, že Γ ( z ¯ ) = Γ ¯ ( z ) {displaystyle Gamma ({ar {z}}) = {ar {Gamma}} (z)} , máme výraz pro druhou mocninu modulu funkce gama vyhodnocenou na imaginární ose:
| Γ ( i κ ) | 2 = π κ sinh ( π κ ) {displaystyle left | Gamma (ikappa) ight | ^ {2} = {frac {pi} {kappa sinh (pi kappa)}}} Výše uvedený integrál se proto týká fáze Γ ( i ) {displaystyle Gamma (i)} .
Vrací se funkce gama s dalšími složitými argumenty
Γ ( 1 + i ) = i Γ ( i ) ≈ 0.498 − 0.155 i {displaystyle Gamma (1 + i) = iGamma (i) přibližně 0,498-0,155} Γ ( 1 − i ) = − i Γ ( − i ) ≈ 0.498 + 0.155 i {displaystyle Gamma (1-i) = - iGamma (-i) přibližně 0,498 + 0,155i} Γ ( 1 2 + 1 2 i ) ≈ 0.818 163 9995 − 0.763 313 8287 i {displaystyle Gamma ({frac {1} {2}} + {frac {1} {2}} i) přibližně 0,818,163,9995-0,763,313,8287, i} Γ ( 1 2 − 1 2 i ) ≈ 0.818 163 9995 + 0.763 313 8287 i {displaystyle Gamma ({frac {1} {2}} - {frac {1} {2}} i) přibližně 0,818,163,9995 + 0,763,313,8287, i} Γ ( 5 + 3 i ) ≈ 0.016 041 8827 − 9.433 293 2898 i {displaystyle Gamma (5 + 3i) cca 0,016 041 888 279 9 333 293 2898, i} Γ ( 5 − 3 i ) ≈ 0.016 041 8827 + 9.433 293 2898 i . {displaystyle Gamma (5-3i) cca 0,016 041 88827 + 9 433 293 2898, i.} Ostatní konstanty Funkce gama má a místní minimum na kladné reálné ose
X min = 1.461 632 144 968 362 341 262 … {displaystyle x_ {min} = 1,461,632,144,968,362,341,262ldots,} OEIS : A030169 s hodnotou
Γ ( X min ) = 0.885 603 194 410 888 … {displaystyle Gamma left (x_ {min} ight) = 0,885,603,194,410,888ldots,} OEIS : A030171 .Integrace reciproční funkce gama podél kladné reálné osy také dává Fransén – Robinsonova konstanta .
Na záporné reálné ose jsou první lokální maxima a minima (nuly funkce digamma ) jsou:
Přibližné místní extrémy Γ (X ) X Γ (X ) OEIS −0.504083 008 264 455 409 258 269 3045 −3.544643 611 155 005 089 121 963 9933 OEIS : A175472 −1.573498 473 162 390 458 778 286 0437 − 2.302407 258 339 680 135 823 582 0396 OEIS : A175473 −2.610720 868 444 144 650 001 537 7157 −0.888136 358 401 241 920 095 528 0294 OEIS : A175474 −3.635293 366 436 901 097 839 181 5669 − 0.245127 539 834 366 250 438 230 0889 OEIS : A256681 −4.653237 761 743 142 441 714 598 1511 −0.052779 639 587 319 400 760 483 5708 OEIS : A256682 −5.667162 441 556 885 535 849 474 1745 − 0.009324 594 482 614 850 521 711 9238 OEIS : A256683 −6.678418 213 073 426 742 829 855 8886 −0.001397 396 608 949 767 301 307 4887 OEIS : A256684 −7.687788 325 031 626 037 440 098 8918 − 0.000181 878 444 909 404 188 101 4174 OEIS : A256685 −8.695764 163 816 401 266 488 776 1608 −0.000020 925 290 446 526 668 753 6973 OEIS : A256686 −9.702672 540 001 863 736 084 426 7649 − 0.000002 157 416 104 522 850 540 5031 OEIS : A256687
Viz také Reference ^ Melquiond, Guillaume; Nowak, W. Georg; Zimmermann, Paul (2013). „Numerická aproximace Masser-Gramainovy konstanty na čtyři desetinná místa“ . Matematika. Comp . 82 (282): 1235–1246. doi :10.1090 / S0025-5718-2012-02635-4 . ^ „Archivovaná kopie“ . Citováno 2015-03-09 .^ Mező, István (2013), „Duplikační vzorce zahrnující funkce Jacobi theta a Gosperovy q -trigonometrické funkce ", Proceedings of the American Mathematical Society , 141 (7): 2401–2410, doi :10.1090 / s0002-9939-2013-11576-5 ^ Weisstein, Eric W. „Funkce gama“ . MathWorld .^ Raimundas Vidūnas, Výrazy pro hodnoty funkce gama ^ math.stackexchange.com ^ Webové stránky Istvána Mező Gramain, F. (1981). „Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond“ . Vymyslet. Matematika . 63 (3): 495–506. Bibcode :1981InMat..63..495G . doi :10.1007 / BF01389066 . Borwein, J. M .; Zucker, I. J. (1992). "Rychlé vyhodnocení funkce gama pro malé racionální frakce pomocí kompletních eliptických integrálů prvního druhu". IMA Journal of Numerical Analysis . 12 (4): 519–526. doi :10.1093 / imanum / 12.4.519 . PAN 1186733 . X. Gourdon a P. Sebah. Úvod do funkce gama S. Finch. Eulerovy konstanty gama funkce [mrtvý odkaz ] Weisstein, Eric W. „Funkce gama“ . MathWorld .Vidunas, Raimundas (2005). Msgstr "Výrazy pro hodnoty funkce gama". Kyushu Journal of Mathematics . 59 (2): 267–283. arXiv :math.CA/0403510 . doi :10,2206 / kyushujm.59,267 . Vidunas, Raimundas (2005). Msgstr "Výrazy pro hodnoty funkce gama". Kyushu J. Math . 59 (2): 267–283. arXiv :matematika / 0403510 . doi :10,2206 / kyushujm.59,267 . PAN 2188592 . Adamchik, V. S. (2005). „Funkce více gama a její aplikace při výpočtu sérií“ (PDF) . Deník Ramanujan . 9 (3): 271–288. arXiv :matematika / 0308074 . doi :10.1007 / s11139-005-1868-3 . PAN 2173489 . Duke, W .; Imamoglu, Ö. (2006). "Speciální hodnoty více funkcí gama" (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux . 18 (1): 113–123. doi :10,5802 / jtnb.536 . PAN 2245878 .