Stabilní rozdělení počtu - Stable count distribution - Wikipedia

Stabilní počet

Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce kumulativní distribuce
Parametry	${ displaystyle alpha}$ ∈ (0, 1) - parametr stability ${ displaystyle theta}$ ∈ (0, ∞) — parametr měřítka ${ displaystyle nu _ {0}}$ ∈ (−∞, ∞) — parametr umístění
Podpěra, podpora	X ∈ R a X ∈ [${ displaystyle nu _ {0}}$, ∞)
PDF	${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} (x; nu _ {0}, theta) = { frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alfa} })}} { frac {1} {x- nu _ {0}}} L _ { alpha} ({ frac { theta} {x- nu _ {0}}})}$
CDF	integrální forma existuje
Znamenat	${ displaystyle { frac { Gamma ({ frac {2} { alpha}})} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}}}$
Medián	není analyticky vyjádřitelný
Režim	není analyticky vyjádřitelný
Rozptyl	${ displaystyle { frac { Gamma ({ frac {3} { alpha}})} {2 Gamma ({ frac {1} { alpha}})}}} - left [{ frac { Gamma ({ frac {2} { alpha}})}} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}}} vpravo] ^ {2}}$
Šikmost	Bude upřesněno
Př. špičatost	Bude upřesněno
MGF	Fox-Wright zastoupení existuje

v teorie pravděpodobnosti, stabilní rozdělení počtu je před konjugátem a jednostranná stabilní distribuce. Tuto distribuci objevil Stephen Lihn ve své studii denních distribucí z roku 2017 Index S&P 500 a VIX index.^[1] Rodina stabilní distribuce se také někdy označuje jako Lévyho alfa stabilní distribuce, po Paul Lévy, první matematik, který to studoval.^[2]

Ze tří parametrů definujících rozdělení je parametr stability ${ displaystyle alpha}$ je nejdůležitější. Stabilní distribuce počtu mají ${ displaystyle 0 < alpha <1}$. Známý analytický případ ${ displaystyle alpha = 1/2}$ souvisí s VIX distribuce (viz oddíl 7 ^[1]). Všechny momenty jsou konečné pro distribuci.

Definice

Jeho standardní distribuce je definována jako

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) = { frac { alpha} { gama ({ frac {1} { alpha}})}}} { frac {1 } { nu}} L _ { alpha} vlevo ({ frac {1} { nu}} vpravo),}$

kde ${ displaystyle nu> 0}$ a ${ displaystyle 0 < alpha <1.}$

Jeho rodina v měřítku umístění je definována jako

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu; nu _ {0}, theta) = { frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alfa }})}} { frac {1} { nu - nu _ {0}}} L _ { alpha} left ({ frac { theta} { nu - nu _ {0}}} že jo),}$

kde ${ displaystyle nu> nu _ {0}}$, ${ displaystyle theta> 0}$, a ${ displaystyle 0 < alpha <1.}$

Ve výše uvedeném výrazu ${ displaystyle L _ { alpha} (x)}$je jednostranná stabilní distribuce,^[3] který je definován následovně.

Nechat ${ displaystyle X}$ být standardní stabilní náhodná proměnná jehož distribuci charakterizuje ${ displaystyle f (x; alfa, beta, c, mu)}$, pak máme

${ displaystyle L _ { alpha} (x) = f (x; alpha, 1, cos left ({ frac { pi alpha} {2}} right) ^ {1 / alpha}, 0),}$

kde ${ displaystyle 0 < alpha <1}$.

Zvažte Lévyho částku ${ displaystyle Y = suma _ {i = 1} ^ {N} X_ {i}}$ kde ${ displaystyle X_ {i} sim L _ { alpha} (x)}$, pak ${ displaystyle Y}$ má hustotu ${ textstyle { frac {1} { nu}} L _ { alpha} vlevo ({ frac {x} { nu}} vpravo)}$ kde ${ textstyle nu = N ^ {1 / alpha}}$. Soubor ${ displaystyle x = 1}$, dorazíme na ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu)}$ bez normalizační konstanty.

Důvod, proč se této distribuci říká „stabilní počet“, lze chápat podle vztahu ${ displaystyle nu = N ^ {1 / alpha}}$. Všimněte si, že ${ displaystyle N}$ je „počet“ Lévyho součtu. Vzhledem k pevné ${ displaystyle alpha}$, toto rozdělení dává pravděpodobnost odběru ${ displaystyle N}$ kroky k ujetí jedné jednotky vzdálenosti.

Integrální forma

Na základě integrální formy ${ displaystyle L _ { alpha} (x)}$ a ${ displaystyle q = exp (-i alpha pi / 2)}$, máme integrální formu ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu)}$ tak jako

${ displaystyle { begin {aligned} { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) & = { frac {2 alpha} { pi Gamma ({ frac {1} { alpha }})}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { text {Re}} (q) , t ^ { alpha}} { frac {1} { nu}} sin ({ frac {t} { nu}}) sin (- { text {Im}} (q) , t ^ { alpha}) , dt, { text {nebo}} & = { frac {2 alpha} { pi Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { text { Re}} (q) , t ^ { alpha}} { frac {1} { nu}} cos ({ frac {t} { nu}}) cos ({ text {Im} } (q) , t ^ { alpha}) , dt. end {zarovnáno}}}$

Na základě výše uvedeného dvojitého sinusového integrálu vede k integrální podobě standardního CDF:

${ displaystyle { begin {aligned} Phi _ { alpha} (x) & = { frac {2 alpha} { pi Gamma ({ frac {1} { alpha}})}}} int _ {0} ^ {x} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { text {Re}} (q) , t ^ { alpha}} { frac {1} { nu}} sin ({ frac {t} { nu}}) sin (- { text {Im}} (q) , t ^ { alpha}) , dt , d nu & = 1 - { frac {2 alpha} { pi Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { text {Re}} (q) , t ^ { alpha}} sin (- { text {Im}} (q) , t ^ { alpha}) , { text {Si}} ({ frac {t} {x}}) , dt, konec {zarovnáno}}}$

kde ${ displaystyle { text {Si}} (x) = int _ {0} ^ {x} { frac { sin (x)} {x}} , dx}$ je sinusová integrální funkce.

Wrightova reprezentace

V "Sériové zastoupení ", je ukázáno, že stabilní rozdělení počtu je speciální případ funkce Wright (viz Oddíl 4 z ^[4]):

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) = { frac { alpha} { gama doleva ({ frac {1} { alpha}} doprava)}} phi _ {- alpha, 0} (- nu ^ { alpha}), , { text {where}} , , phi _ { lambda, mu} (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n! , Gamma ( lambda n + mu)}}.}$

To vede k Hankelovu integrálu: (na základě (1.4.3) z ^[5])

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) = { frac { alpha} { gama vlevo ({ frac {1} { alpha}} vpravo)}} { frac {1} {2 pi i}} int _ {Ha} e ^ {t - ( nu t) ^ { alpha}} , dt, ,}$kde Ha představuje a Hankelova kontura.

Alternativní derivace - rozklad lambda

Dalším přístupem k odvození stabilního rozdělení počtu je použití Laplaceovy transformace jednostranného stabilního rozdělení (oddíl 2.4 ^[1])

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- zx} L _ { alpha} (x) , dx = e ^ {- z ^ { alpha}},}$kde ${ displaystyle 0 < alpha <1}$.

Nechat ${ displaystyle x = 1 / nu}$, a lze rozložit integrál na levé straně jako a distribuce produktu standardu Laplaceova distribuce a standardní stabilní rozdělení počtu,

${ displaystyle { frac {1} {2}} { frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} e ^ {- | z | ^ { alpha} } = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { nu}} left ({ frac {1} {2}} e ^ {- | z | / nu} right ) left ({ frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}}} { frac {1} { nu}} L _ { alpha} left ({ frac {1} { nu}} right) right) , d nu,}$

kde ${ displaystyle z in { mathsf {R}}}$.

Toto se nazývá "rozklad lambda" (viz oddíl 4 předpisu ^[1]) protože LHS byla v dřívějších dílech Lihna pojmenována jako „symetrická distribuce lambda“. Má však několik populárnějších jmen, například „exponenciální rozdělení energie ", nebo" obecná chyba / normální rozdělení ", často uváděné kdy${ displaystyle alpha> 1}$.

Rozklad lambdy je základem rámce Lihnovy návratnosti aktiv podle stabilního zákona. LHS je distribuce výnosů z majetku. Na RHS představuje Laplaceovo rozdělení lepkurotický šum a stabilní rozdělení počtu představuje volatilitu.

Stabilní distribuce vol

Varianta stabilního rozdělení počtu nazvaná stabilní distribuce vol ${ displaystyle V _ { alpha} (s)}$ lze odvodit také z rozkladu lambda (viz oddíl 6 z ^[4]). Vyjadřuje Laplaceovu transformaci ${ displaystyle e ^ {- | z | ^ { alpha}}}$ pokud jde o Gaussovu směs takovou

${ displaystyle { frac {1} {2}} { frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} e ^ {- | z | ^ { alpha} } = { frac {1} {2}} { frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} e ^ {- (z ^ {2}) ^ { alpha / 2}} = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} {s}} left ({ frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ { - { frac {1} {2}} (z / s) ^ {2}} vpravo) V _ { alpha} (s) , ds,}$

kde

${ displaystyle V _ { alpha} (s) = { frac {{ sqrt {2 pi}} , Gamma ({ frac {2} { alpha}} + 1)} { Gamma ({ frac {1} { alpha}} + 1)}} , { mathfrak {N}} _ { frac { alpha} {2}} (2s ^ {2}), 0 < alpha leq 2.}$

Tato transformace se jmenuje zobecněná Gaussova transmutace protože zobecňuje Gauss-Laplaceova transmutace, což odpovídá ${ displaystyle V_ {1} (s) = 2 { sqrt {2 pi}} , { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} (2 s ^ {2}) = s , e ^ {- s ^ {2} / 2}}$.

Asymptotické vlastnosti

Pro stabilní distribuční rodinu je nezbytné pochopit její asymptotické chování. Z,^[3] pro malé ${ displaystyle nu}$,

${ displaystyle { begin {aligned} { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) & rightarrow B ( alpha) , nu ^ { alpha}, { text {pro}} nu rightarrow 0 { text {and}} B ( alpha)> 0. end {zarovnáno}}}$

To potvrzuje ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} (0) = 0}$.

Pro velké ${ displaystyle nu}$,

${ displaystyle { begin {aligned} { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) & rightarrow nu ^ { frac { alpha} {2 (1- alpha)}} e ^ {-A ( alpha) , nu ^ { frac { alpha} {1- alpha}}}, { text {for}} nu rightarrow infty { text {a}} A ( alpha)> 0. end {zarovnáno}}}$

To ukazuje, že ocas ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu)}$ exponenciálně se rozpadá v nekonečnu. Větší ${ displaystyle alpha}$ čím silnější je rozpad.

Okamžiky

The n-tý okamžik ${ displaystyle m_ {n}}$ z ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu)}$ je ${ displaystyle - (n + 1)}$-tý okamžik ${ displaystyle L _ { alpha} (x)}$. Všechny pozitivní momenty jsou konečné. To svým způsobem řeší trnitou otázku rozbíhajících se momentů ve stabilním rozdělení. (Viz oddíl 2.4 ^[1])

${ displaystyle { begin {aligned} m_ {n} & = int _ {0} ^ { infty} nu ^ {n} { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) d nu = { frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} int _ {0} ^ { infty} { frac {1} {t ^ {n + 1}}} L _ { alpha} (t) , dt. end {zarovnáno}}}$

Analytické řešení momentů se získá pomocí funkce Wright:

${ displaystyle { begin {aligned} m_ {n} & = { frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} int _ {0} ^ { infty } nu ^ {n} phi _ {- alpha, 0} (- nu ^ { alpha}) , d nu & = { frac { Gamma ({ frac {n + 1 } { alpha}})} { Gamma (n + 1) Gamma ({ frac {1} { alpha}})}}, , n geq -1. end {zarovnáno}} }$

kde ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} r ^ { delta} phi _ {- nu, mu} (- r) , dr = { frac { gama ( delta +1 )} { Gamma ( nu delta + nu + mu)}}, , delta> -1,0 < nu <1, mu> 0.}$(Viz (1.4.28) z ^[5])

Tedy průměr z ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu)}$ je

${ displaystyle m_ {1} = { frac { Gamma ({ frac {2} { alpha}})} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}}}}$

Rozptyl je

${ displaystyle sigma ^ {2} = { frac { Gamma ({ frac {3} { alpha}})} {2 Gamma ({ frac {1} { alpha}})}}} - left [{ frac { Gamma ({ frac {2} { alpha}})}} Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} right] ^ {2}}$

Funkce generování momentů

MGF lze vyjádřit pomocí a Funkce Fox-Wright nebo Funkce Fox H.:

${ displaystyle { begin {aligned} M _ { alpha} (s) & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {m_ {n} , s ^ ​​{n}} {n !}} = { frac {1} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { Gamma ({ frac {n + 1} { alpha}}) , s ^ ​​{n}} { Gamma (n + 1) ^ {2}}} & = { frac {1} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} {} _ {1} Psi _ {1} left [({ frac {1} { alpha}}, { frac {1} { alpha} }); (1,1); s right], , , { text {or}} & = { frac {1} { Gamma ({ frac {1} { alpha}} )}} H_ {1,2} ^ {1,1} left [-s { bigl |} { begin {matrix} (1 - { frac {1} { alpha}}, { frac { 1} { alpha}}) (0,1); (0,1) end {matrix}} right] end {zarovnáno}}}$

Jako ověření na ${ displaystyle alpha = { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle M _ { frac {1} {2}} (s) = (1-4 s) ^ {- { frac {3} {2}}}}$ (viz níže) lze Taylor rozšířit na ${ displaystyle {} _ {1} Psi _ {1} left [(2,2); (1,1); s right] = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { Gamma (2n + 2) , s ^ ​​{n}} { Gamma (n + 1) ^ {2}}}}$ přes ${ displaystyle Gamma ({ frac {1} {2}} - n) = { sqrt { pi}} { frac {(-4) ^ {n} n!} {(2n)!}} }$.

Známý analytický případ - kvartální stabilní počet

Když ${ displaystyle alpha = { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle L_ {1/2} (x)}$ je Lévyho distribuce což je inverzní rozdělení gama. Tím pádem ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ {1/2} ( nu; nu _ {0}, theta)}$ je posunut gama distribuce tvaru 3/2 a měřítka ${ displaystyle 4 theta}$,

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu; nu _ {0}, theta) = { frac {1} {4 { sqrt { pi }} theta ^ {3/2}}} ( nu - nu _ {0}) ^ {1/2} e ^ {- ( nu - nu _ {0}) / 4 theta}, }$

kde ${ displaystyle nu> nu _ {0}}$, ${ displaystyle theta> 0}$.

Jeho průměr je ${ displaystyle nu _ {0} +6 theta}$ a jeho směrodatná odchylka je ${ displaystyle { sqrt {24}} theta}$. Toto se nazývá „rozdělení kvartální stabilního počtu“. Slovo „quartic“ pochází z dřívější Lihnovy práce na distribuci lambda^[6] kde ${ displaystyle lambda = 2 / alpha = 4}$. V tomto nastavení má mnoho aspektů stabilní distribuce počtu elegantní analytická řešení.

The str-té centrální momenty jsou ${ displaystyle { frac {2 Gamma (p + 3/2)} { Gamma (3/2)}} 4 ^ {p} theta ^ {p}}$. CDF je ${ textstyle { frac {2} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {3} {2}}, { frac { nu - nu _ {0}} {4 theta}} vpravo)}$ kde ${ displaystyle gamma (s, x)}$ je nižší neúplná funkce gama. A MGF je ${ displaystyle M _ { frac {1} {2}} (s) = e ^ {s nu _ {0}} (1-4s theta) ^ {- { frac {3} {2}}} }$. (Viz oddíl 3 dokumentu ^[1])

Zvláštní případ, když α → 1

Tak jako ${ displaystyle alpha}$ se zvětší, vrchol distribuce se zostří. Zvláštní případ ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu)}$ je Když ${ displaystyle alpha rightarrow 1}$. Distribuce se chová jako a Diracova delta funkce,

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha rightarrow 1} ( nu) rightarrow delta ( nu -1),}$

kde ${ displaystyle delta (x) = { begin {cases} infty, & { text {if}} x = 0 0, & { text {if}} x neq 0 end {cases} }}$, a ${ displaystyle int _ {0 _ {-}} ^ {0 _ {+}} delta (x) dx = 1}$.

Sériové zastoupení

Na základě sériového zastoupení jednostranné stabilní distribuce máme:

${ displaystyle { begin {aligned} { mathfrak {N}} _ { alpha} (x) & = { frac { alpha} { pi Gamma ({ frac {1} { alpha}} )}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {- sin (n ( alpha +1) pi)} {n!}} {x} ^ { alpha n} Gamma ( alpha n + 1) & = { frac { alpha} { pi Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1} sin (n alpha pi)} {n!}} {x} ^ { alpha n} Gamma ( alpha n + 1) end {zarovnáno}}}$.

Tato řada reprezentace má dvě interpretace:

• Nejprve podobná podoba této série byla poprvé uvedena v Pollardovi (1948),^[7] a v „Vztah k funkci Mittag-Leffler “, uvádí se ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} (x) = { frac { alpha ^ {2} x ^ { alpha}} { Gamma left ({ frac {1} { alpha}} right)}} H _ { alpha} (x ^ { alpha}),}$ kde ${ displaystyle H _ { alpha} (k)}$ je Laplaceova transformace funkce Mittag-Leffler ${ displaystyle E _ { alpha} (- x)}$ .
• Za druhé, tato řada je zvláštním případem funkce Wright ${ displaystyle phi _ { lambda, mu} (z)}$: (Viz oddíl 1.4 ^[5])

${ displaystyle { begin {aligned} { mathfrak {N}} _ { alpha} (x) & = { frac { alpha} { pi Gamma ({ frac {1} { alpha}} )}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} {x} ^ { alpha n}} {n!}} , sin (( alpha n + 1) pi) Gamma ( alpha n + 1) & = { frac { alpha} { Gamma left ({ frac {1} { alpha}} right)}} phi _ {- alpha, 0} (- x ^ { alpha}), , { text {where}} , , phi _ { lambda, mu} (z) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n! , Gamma ( lambda n + mu)}}, lambda> -1. end {zarovnáno} }}$

Důkaz je získán vzorcem odrazu funkce Gamma: ${ Displaystyle sin (( alpha n + 1) pi) gama ( alpha n + 1) = pi / gama (- alpha n)}$, který připouští mapování: ${ displaystyle lambda = - alfa, mu = 0, z = -x ^ { alfa}}$ v ${ displaystyle phi _ { lambda, mu} (z)}$. Wrightova reprezentace vede k analytickým řešením mnoha statistických vlastností stabilního rozdělení počtu a navazuje další spojení s frakčním počtem.

Aplikace

Stabilní distribuce počtu může docela dobře představovat denní distribuci VIX. Předpokládá se, že VIX je distribuován jako ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu; nu _ {0}, theta)}$ s ${ displaystyle nu _ {0} = 10,4}$ a ${ displaystyle theta = 1,6}$ (Viz oddíl 7 dokumentu ^[1]). Stabilní distribuce počtu je tedy marginální distribucí procesu volatility prvního řádu. V tomto kontextu, ${ displaystyle nu _ {0}}$ se nazývá „minimální volatilita“. V praxi VIX zřídka klesne pod 10. Tento jev ospravedlňuje koncept „volatility podlahy“. Níže je uveden ukázka přizpůsobení:

Denní distribuce VIX a vhodná pro stabilní počet

Jedna forma SDE, která se vrací zpět ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu; nu _ {0}, theta)}$ je založen na upraveném Cox – Ingersoll – Ross (CIR) model. Převzít ${ displaystyle S_ {t}}$ je proces volatility, který máme

${ displaystyle dS_ {t} = { frac { sigma ^ {2}} {8 theta}} (6 theta + nu _ {0} -S_ {t}) , dt + sigma { sqrt {S_ {t} - nu _ {0}}} , dW,}$

kde ${ displaystyle sigma}$ je takzvaný „objem vol“. Volá se „objem vol“ pro VIX VVIX, který má typickou hodnotu asi 85.^[8]

Tento SDE je analyticky zpracovatelný a vyhovuje Fellerův stav, tím pádem ${ displaystyle S_ {t}}$ nikdy nepůjde níže ${ displaystyle nu _ {0}}$. Mezi teorií a praxí však existuje jemný problém. Existuje asi 0,6% pravděpodobnost, že VIX přešel níže ${ displaystyle nu _ {0}}$. Toto se nazývá „přelévání“. Chcete-li jej vyřešit, můžete nahradit druhou odmocninu výrazem ${ displaystyle { sqrt { max (S_ {t} - nu _ {0}, delta nu _ {0})}}}$, kde ${ displaystyle delta nu _ {0} přibližně 0,01 , nu _ {0}}$ poskytuje malý únikový kanál pro ${ displaystyle S_ {t}}$ mírně unášet ${ displaystyle nu _ {0}}$.

Extrémně nízké čtení VIX naznačuje velmi spokojený trh. Podmínka přelévání tedy ${ displaystyle S_ {t} < nu _ {0}}$, má určitý význam - Když k němu dojde, obvykle to naznačuje klid před bouří v hospodářském cyklu.

Frakční počet

Vztah k funkci Mittag-Leffler

Z oddílu 4,^[9] inverzní Laplaceova transformace ${ displaystyle H _ { alpha} (k)}$ z Funkce Mittag-Leffler ${ displaystyle E _ { alpha} (- x)}$ je (${ displaystyle k> 0}$)

${ displaystyle H _ { alpha} (k) = { mathcal {L}} ^ {- 1} {E _ { alpha} (- x) } (k) = { frac {2} { pi }} int _ {0} ^ { infty} E_ {2 alpha} (- t ^ {2}) cos (kt) , dt.}$

Na druhou stranu následující vztah uvedl Pollard (1948),^[7]

${ displaystyle H _ { alpha} (k) = { frac {1} { alpha}} { frac {1} {k ^ {1 + 1 / alpha}}} L _ { alpha} vlevo ( { frac {1} {k ^ {1 / alpha}}} right).}$

Tak tím ${ displaystyle k = nu ^ { alpha}}$, získáme vztah mezi stabilní distribucí počtu a funkcí Mittag-Leffter:

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) = { frac { alpha ^ {2} nu ^ { alpha}} { Gamma vlevo ({ frac {1} { alpha}} right)}} H _ { alpha} ( nu ^ { alpha}).}$

Tento vztah lze rychle ověřit na ${ displaystyle alpha = { frac {1} {2}}}$ kde ${ displaystyle H _ { frac {1} {2}} (k) = { frac {1} { sqrt { pi}}} , e ^ {- k ^ {2} / 4}}$ a ${ displaystyle k ^ {2} = nu}$. To vede k dobře známému kvartální stabilní počet výsledek:

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu) = { frac { nu ^ {1/2}} {4 , Gamma (2)}} times { frac {1} { sqrt { pi}}} , e ^ {- nu / 4} = { frac {1} {4 , { sqrt { pi}}}}} nu ^ {1/2} , e ^ {- nu / 4}.}$

Vztah k časově zlomkové Fokker-Planckově rovnici

Obyčejný Fokker-Planckova rovnice (FPE) je ${ displaystyle { frac { částečné P_ {1} (x, t)} { částečné t}} = K_ {1} , { tilde {L}} _ {FP} P_ {1} (x, t)}$, kde ${ displaystyle { tilde {L}} _ {FP} = { frac { částečné} { částečné x}} { frac {F (x)} {T}} + { frac { částečné ^ { 2}} { částečné x ^ {2}}}}$ je vesmírný operátor Fokker-Planck, ${ displaystyle K_ {1}}$ je difúzní koeficient, ${ displaystyle T}$ je teplota a ${ displaystyle F (x)}$ je externí pole. Časově zlomkový FPE zavádí další zlomkový derivát ${ displaystyle , _ {0} D_ {t} ^ {1- alpha}}$ takhle ${ displaystyle { frac { částečné P _ { alpha} (x, t)} { částečné t}} = K _ { alpha} , _ {0} D_ {t} ^ {1- alpha} { tilde {L}} _ {FP} P _ { alpha} (x, t)}$, kde ${ displaystyle K _ { alpha}}$ je koeficient frakční difúze.

Nechat ${ displaystyle k = s / t ^ { alpha}}$ v ${ displaystyle H _ { alpha} (k)}$, získáme jádro pro časově zlomkový FPE (Eq (16) z ^[10])

${ displaystyle n (s, t) = { frac {1} { alpha}} { frac {t} {s ^ {1 + 1 / alpha}}} L _ { alpha} left ({ frac {t} {s ^ {1 / alpha}}} right)}$

ze kterého je zlomková hustota ${ displaystyle P _ { alpha} (x, t)}$ lze vypočítat z běžného řešení ${ displaystyle P_ {1} (x, t)}$ přes

${ displaystyle P _ { alpha} (x, t) = int _ {0} ^ { infty} n vlevo ({ frac {s} {K}}, t vpravo) , P_ {1} (x, s) , ds, { text {where}} K = { frac {K _ { alpha}} {K_ {1}}}.}$

Od té doby ${ displaystyle n ({ frac {s} {K}}, t) , ds = Gamma left ({ frac {1} { alpha}} right) { frac {1} { alpha nu}} , { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu; theta = K ^ {1 / alpha}) , d nu}$ prostřednictvím změny proměnné ${ displaystyle nu t = s ^ {1 / alpha}}$, výše uvedený integrál se stává distribucí produktu s ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu)}$, podobně jako „rozklad lambda "koncept a měřítko času ${ displaystyle t Rightarrow ( nu t) ^ { alpha}}$:

${ displaystyle P _ { alpha} (x, t) = { frac { gama vlevo ({ frac {1} { alpha}} vpravo)} { alpha}} int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { nu}} , { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu; theta = K ^ {1 / alpha}) , P_ {1 } (x, ( nu t) ^ { alpha}) , d nu.}$

Tady ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu; theta = K ^ {1 / alpha})}$ se interpretuje jako distribuce nečistot vyjádřená v jednotkách ${ displaystyle K ^ {1 / alpha}}$, který způsobí anomální difúze.

Viz také

• Lévyho let
• Lévyho proces
• Frakční počet
• Anomální difúze

Reference

externí odkazy

• R Balík 'ustájený' autori Diethelm Wuertz, Martin Maechler a členové hlavního týmu Rmetrics. Vypočítá stabilní hustotu, pravděpodobnost, kvantily a náhodná čísla. Aktualizováno 12. září 2016.