Produkt je jedním typem algebry pro náhodné proměnné: Související s distribucí produktu jsou poměrové rozdělení, rozdělení součtu (viz Seznam konvolucí rozdělení pravděpodobnosti ) a rozdělení rozdílů. Obecněji lze hovořit o kombinacích součtů, rozdílů, součinů a poměrů.
Mnoho z těchto distribucí je popsáno v knize Melvina D. Springera z roku 1979 Algebra náhodných proměnných.[1]
Odvození pro nezávislé náhodné proměnné
Li a jsou dvě nezávislé, spojité náhodné proměnné, popsané funkcemi hustoty pravděpodobnosti a pak funkce hustoty pravděpodobnosti je[2]
Požadovanou funkci hustoty pravděpodobnosti najdeme odvozením derivace obou stran vzhledem k . Protože na pravé straně, objeví se pouze v integračních mezích, derivaci lze snadno provést pomocí základní věta o počtu a řetězové pravidlo. (Všimněte si záporného znaménka, které je potřeba, když se proměnná vyskytuje ve spodní hranici integrace.)
kde se absolutní hodnota používá k pohodlnému kombinování obou termínů.
Alternativní důkaz
Rychlejší a kompaktnější kontrola začíná stejným krokem psaní kumulativní distribuce počínaje jeho definicí:
kde je Funkce Heaviside step a slouží k omezení oblasti integrace na hodnoty a uspokojující .
Požadovanou funkci hustoty pravděpodobnosti najdeme odvozením derivace obou stran vzhledem k .
Intuitivnější popis postupu je znázorněn na obrázku níže. Společný pdf existuje v - rovina a oblouk konstanty hodnota je zobrazena jako stínovaná čára. Chcete-li zjistit mezní pravděpodobnost na tomto oblouku integrujte po přírůstcích plochy na tomto obrysu.
Schéma pro ilustraci distribuce produktu dvou proměnných.
Začínání s , my máme . Přírůstek pravděpodobnosti tedy je . Od té doby naznačuje , můžeme vztahovat pravděpodobnostní přírůstek k - přírůstek, jmenovitě . Pak integrace skončila , výnosy .
Bayesiánská interpretace
Nechat být náhodný vzorek získaný z rozdělení pravděpodobnosti . Škálování podle generuje vzorek z distribuce v měřítku což lze napsat jako podmíněné rozdělení .
Pronájem být náhodná proměnná s pdf , stane se distribuce zmenšeného vzorku a integraci ven dostaneme tak je čerpáno z této distribuce . Nahrazením definice také máme který má stejnou formu jako výše uvedená distribuce produktu. Tak Bayesian zadní distribuce je distribuce produktu dvou nezávislých náhodných vzorků a .
V případě diskrétní proměnné, nechť mít pravděpodobnost na úrovních s . Podmíněná hustota je . Proto .
Očekávání součinu náhodných proměnných
Pokud jsou dvě náhodné proměnné statisticky nezávislé, očekávání jejich produktu je výsledkem jejich očekávání. To lze prokázat z Zákon úplného očekávání:
Ve vnitřním výrazu Y je konstanta. Proto:
To je pravda, i když X a Y jsou statisticky závislé. Obecně však je funkce Y. Ve zvláštním případě, ve kterém X a Y jsou statisticky nezávislé, je to konstanta nezávislá na Y. Proto:
Rozptyl součinu nezávislých náhodných proměnných
Nechat být nekorelované náhodné proměnné s prostředky a odchylky Rozptyl produktu XY je
V případě součinu více než dvou proměnných, pokud jsou pak statisticky nezávislé[4] rozptyl jejich produktu je
Charakteristická funkce součinu náhodných proměnných
Převzít X, Y jsou nezávislé náhodné proměnné. Charakteristická funkce X je a distribuce Y je známo. Pak z zákon úplného očekávání, my máme[5]
Pokud jsou charakteristické funkce a rozdělení obou X a Y jsou známy, pak alternativně, také drží.
-li jsou dva nezávislé náhodné vzorky z různých distribucí, pak se Mellinova transformace jejich produktu rovná produktu jejich Mellinových transformací:
Li s je omezeno na celočíselné hodnoty, jednodušší výsledek je
Tedy momenty náhodného součinu jsou produktem odpovídajících momentů a to se rozšíří například na necelé momenty
Příklad rozdělení gama Abychom ilustrovali, jak produkt momentů přináší mnohem jednodušší výsledek, než najít momenty distribuce produktu, pojďme být vzorkovány ze dvou distribucí gama, s parametry jejichž momenty jsou
Vynásobením odpovídajících momentů získáte výsledek Mellinovy transformace
Nezávisle je známo, že distribuci má produkt dvou nezávislých vzorků gama
.
Chcete-li najít momenty, proveďte změnu proměnné , zjednodušení podobných integrálů na:
tím pádem
Určitý integrál
je dobře zdokumentováno a my konečně máme
který po určitých potížích souhlasil s výše uvedeným výsledkem produktu.
Li X, Y jsou kresleny nezávisle na distribucích gama s parametry tvaru pak
Tento typ výsledku je všeobecně pravdivý, protože pro bivariate nezávislé proměnné tím pádem
nebo ekvivalentně je jasné, že jsou nezávislé proměnné.
Speciální případy
Logální normální distribuce
Distribuce součinu dvou náhodných proměnných, které mají lognormální distribuce je opět lognormální. Toto je samo o sobě zvláštní případ obecnější sady výsledků, kde lze logaritmus produktu zapsat jako součet logaritmů. V případech, kdy lze jednoduchý výsledek najít v seznam konvolucí rozdělení pravděpodobnosti, kde distribuce, které mají být zapojeny, jsou distribuce logaritmů komponent produktu, může být výsledek transformován tak, aby poskytoval distribuci produktu. Tento přístup je však užitečný pouze tam, kde jsou logaritmy komponent produktu v některých standardních distribučních rodinách.
Rovnoměrně rozložené nezávislé náhodné proměnné
Nechat produkt dvou nezávislých proměnných každý rovnoměrně rozložený na intervalu [0,1], případně výsledek a spona proměna. Jak je uvedeno výše v části „Lognormální distribuce“, operace konvoluce PDF v doméně Log odpovídají produktu vzorových hodnot v původní doméně. Provedení transformace , takový, že , každý variát je distribuován nezávisle na u tak jako
.
a konvoluce obou distribucí je autokonvoluce
Dále proměňte proměnnou na čímž se získá distribuce
na intervalu [0,1]
Pro produkt více (> 2) nezávislých vzorků platí charakteristická funkce trasa je příznivá. Pokud definujeme pak výše je a Distribuce gama tvaru 1 a měřítka 1, a jeho známý CF je . Všimněte si, že jakobián transformace je tedy jednota.
Konvoluce nezávislé vzorky z proto má CF o kterém je známo, že je CF gama distribuce tvaru :
.
Provedení inverzní transformace získáme PDF produktu n vzorků:
Následující, více konvenční, odvození od Stackexchange[6] je v souladu s tímto výsledkem. Za prvé, nechat jeho CDF je
Hustota
Vynásobením třetím nezávislým vzorkem získáte distribuční funkci
Vezmeme-li derivátové výnosy
Autor poznámky předpokládá, že obecně
Geometrie rozdělení produktu dvou náhodných proměnných v jednotkovém čtverci.
Obrázek ilustruje povahu výše uvedených integrálů. Stínovaná oblast uvnitř čtverce jednotky a pod přímkou z = xy představuje CDF z. To se dělí na dvě části. První je pro 0 dx. Druhá část leží pod xy linka, má y-výška z / xa přírůstková plocha dx z / x.
Nezávislé centrální-normální distribuce
Produkt dvou nezávislých vzorků Normal sleduje upravenou Besselovu funkci. Nechat být vzorky z normální (0,1) distribuce a .Pak
Rozptyl tohoto rozdělení lze v zásadě určit určitým integrálem od Gradsheyn a Ryzhik,[7]
tím pádem
Mnohem jednodušší výsledek, uvedený ve výše uvedené části, je ten, že rozptyl součinu nezávislých vzorků s nulovým průměrem se rovná součinu jejich odchylek. Protože rozptyl každého normálního vzorku je jedna, je rozptyl produktu také jeden.
Korelovaná centrální-normální distribuce
Produktem korelovaného normálního vzorku se nedávno zabývali Nadarajaha a Pogány.[8] Nechat být nulový průměr, jednotková odchylka, normálně distribuované se mění s korelačním koeficientem
Pak
Průměr a rozptyl: Pro průměr máme z definice korelačního koeficientu. Odchylku lze zjistit transformací ze dvou jednotkových odchylek nulových středních nekorelovaných proměnných U, V. Nechat
Pak X, Y jsou proměnné jednotkové odchylky s korelačním koeficientem a
Odstraněním lichých výrazů, jejichž očekávání jsou zjevně nulová, dostaneme
Od té doby my máme
Asymptota s vysokou korelacíVe vysoce korelovaném případě produkt konverguje na druhou mocninu jednoho vzorku. V tomto případě asymptota je a
Více korelovaných vzorků. Nadarajaha et. al. dále ukázat, že pokud iid náhodné proměnné vzorkované z a je tedy jejich průměr
kde Ž je Whittakerova funkce, zatímco .
Používání identity , viz například kompilace DLMF. eqn (13.13.9),[9] tento výraz lze poněkud zjednodušit na
PDF udává distribuci vzorové kovariance.
Několik necentrálně korelovaných vzorků. Distribuce produktu korelovaných necentrálních normálních vzorků byla odvozena Cui et.al.[10] a má podobu nekonečné řady upravených Besselových funkcí prvního druhu.
Okamžiky produktu korelovaných centrálních normálních vzorků
Li jsou centrální korelované proměnné, nejjednodušší dvojrozměrný případ vícerozměrného normálního momentu popsaného Kanem,[11] pak
kde
je korelační koeficient a
[potřebuje kontrolu]
Korelovaná necentrální normální rozdělení
Distribuci produktu necentrálně korelovaných normálních vzorků odvodili Cui et al.[10] a má podobu nekonečné řady.
Tyto distribuce produktů jsou poněkud srovnatelné s Wishart distribuce. Ten druhý je kloub distribuce čtyř prvků (ve skutečnosti pouze tří nezávislých prvků) ukázkové kovarianční matice. Li jsou vzorky z dvojrozměrné časové řady, pak je Wishartova matice s K. stupně svobody. Výše uvedené distribuce produktů jsou bezpodmínečné distribuce agregátu K. > 1 vzorků .
Nezávislé distribuce centrální hodnoty s normální hodnotou
Nechat být nezávislými vzorky z normální (0,1) distribuce. Nastavení jsou nezávislé nulové střední složité normální vzorky s kruhovou symetrií. Jejich složité odchylky jsou
Polární reprezentace produktu dvou nekorelovaných komplexních Gaussových vzorků je tedy
.
První a druhý moment této distribuce najdete z integrálu v Normální rozdělení výše
Jeho rozptyl je tedy .
Dále hustota odpovídá součinu dvou nezávislých vzorků chí-kvadrát každý se dvěma DoF. Psaní jako zmenšené distribuce gama pak z níže uvedených produktů Gamma je hustota produktu
Nezávislé, komplexně oceněné, necentrální normální rozdělení
Produkt necentrálního nezávislého komplexu Gaussianů popsali O’Donoughue a Moura[13] a tvoří dvojitou nekonečnou řadu upravené Besselovy funkce prvního a druhého typu.
Distribuce gama
Produkt dvou nezávislých vzorků gama, , definování , následuje[14]
kde je Gaussova hypergeometrická funkce definovaná Eulerovým integrálem
Všimněte si, že vícerozměrné distribuce nejsou obecně jedinečné, kromě případu Gaussian, a mohou existovat alternativy.
Rovnoměrné a gama rozdělení
Distribuce produktu náhodné proměnné mající a rovnoměrné rozdělení na (0,1) s náhodnou proměnnou, která má a gama distribuce s parametrem tvaru rovným 2, je exponenciální rozdělení.[16] Obecnější případ se týká distribuce produktu náhodné proměnné mající a beta distribuce s náhodnou proměnnou, která má a gama distribuce: v některých případech, kdy parametry distribucí dvou složek souvisí určitým způsobem, je výsledkem opět distribuce gama, ale se změněným parametrem tvaru.[16]
The K-distribuce je příklad nestandardní distribuce, kterou lze definovat jako distribuci produktu (kde obě komponenty mají distribuci gama).
Distribuce gama a Pareto
Produkt z n Gama a m Pareto nezávislé vzorky byly odvozeny od Nadarajah.[17]
V teoretické informatice
v teorie výpočetního učení, a distribuce produktu přes je specifikován parametry. Každý parametr dává okrajovou pravděpodobnost, že ith trochu vzorkováno jako je 1; tj.. V tomto nastavení je jednotná distribuce jednoduše distribucí produktu s každým .
Distribuce produktů jsou klíčovým nástrojem používaným k prokázání výsledků učitelnosti, pokud nelze předpokládat, že příklady budou vzorkovány jednotně.[18] Dávají vzniknout vnitřní produkt na prostoru funkcí se skutečnou hodnotou na jak následuje:
Tento vnitřní produkt vede k odpovídající norma jak následuje:
^Rohatgi, V. K. (1976). Úvod do teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. Wiley Series v Pravděpodobnost a statistika. New York: Wiley. doi:10.1002/9781118165676. ISBN978-0-19-853185-2.
^Nagar, DK; Orozco-Castañeda, J. M.; Gupta, A K (2009). "Produkt a podíl korelovaných beta proměnných". Aplikovaná matematická písmena. 22: 105–109. doi:10.1016 / j.aml.2008.02.014.
^Servedio, Rocco A. (2004), „On learning monotone DNF under product distributions“, Informace a výpočet, 193 (1): 57–74, doi:10.1016 / j.ic.2004.04.003
Reference
Springer, Melvin Dale; Thompson, W. E. (1970). "Distribuce produktů beta, gama a gaussovských náhodných proměnných". SIAM Journal on Applied Mathematics. 18 (4): 721–737. doi:10.1137/0118065. JSTOR2099424.
Springer, Melvin Dale; Thompson, W. E. (1966). Msgstr "Distribuce produktů nezávislých náhodných proměnných". SIAM Journal on Applied Mathematics. 14 (3): 511–526. doi:10.1137/0114046. JSTOR2946226.