Hankelova kontura - Hankel contour - Wikipedia

Hankelova vrstevnicová dráha procházející v pozitivním smyslu.

Toto je verze Hankelova obrysu, která se skládá pouze z lineárního zrcadlového obrazu přes skutečnou osu.

v matematika, a Hankelova kontura je cesta v složité letadlo který sahá od (+ ∞, δ), kolem počátku proti směru hodinových ručiček a zpět na (+ ∞, −δ), kde δ je libovolně malé kladné číslo. Obrys tak zůstává libovolně blízko k skutečná osa ale bez překročení skutečné osy s výjimkou záporných hodnot X. Hankelova kontura může být také reprezentována cestou, která má zrcadlové obrazy těsně nad a pod skutečnou osou, spojená s kruhem o poloměru ε, vystředěným na počátku, kde ε je libovolně malé číslo. O dvou lineárních částech obrysu se říká, že jsou vzdáleností δ od skutečné osy. Celková vzdálenost mezi lineárními částmi obrysu je tedy 2δ. ^[1] Obrys se prochází v pozitivně orientovaném smyslu, což znamená, že kruh kolem počátku se prochází proti směru hodinových ručiček.

Použití Hankelových kontur je jedním z metody integrace kontury. Tento typ cesty pro konturové integrály byl poprvé použit Hermann Hankel v jeho vyšetřování Funkce gama.

Hankelův obrys se používá k vyhodnocení integrálů, jako je funkce gama, Funkce Riemann-Zeta, a další Hankel funkce (což jsou Besselovy funkce třetího druhu). ^[1][2]

Aplikace Hankel Contour

Hankelův obrys a funkce gama

Hankelův obrys je užitečný při vyjádření a řešení funkce gama v komplexu t-letadlo. Funkci gama lze definovat pro všechny komplexní hodnota v rovině, pokud vyhodnotíme integrál podél Hankelova obrysu. Hankelův obrys je obzvláště užitečný pro vyjádření funkce gama pro jakoukoli složitou hodnotu, protože koncové body obrysu zmizí, a tak umožňuje splnění základní vlastnosti funkce gama, což uvádí ${ Displaystyle Gamma (z + 1) = z Gamma (z)}$. ^[2]

Odvození konturového integrálního vyjádření funkce gama^[2]

Všimněte si, že formální vyjádření funkce gama je ${ displaystyle Gamma (z) = int _ {C} f (t) t ^ {z-1} dt}$.

Pro uspokojení základní vlastnosti funkce gama z toho vyplývá

${ displaystyle int _ {C} f (t) t ^ {z} dt = [t ^ {z} f (t)] - int _ {C} t ^ {z} f '(t) dt}$

po vynásobení obou stran z.

Vzhledem k tomu, že koncové body Hankelova obrysu zmizí, se levá a pravá strana zmenší na

${ displaystyle f (t) + f '(t) = 0}$.

Použitím diferenciální rovnice,

${ displaystyle f (t) = Ae ^ {- t}}$

se stává obecným řešením. Zatímco A je konstantní vzhledem k t, to platí A může kolísat v závislosti na komplexním čísle z. Protože A (z) je libovolné, komplexní exponenciál v z může být absorbován do definice A (z). Nahrazení f (t) do původního integrálu pak dává ${ displaystyle Gamma (z) = A (z) int _ {C} e ^ {- t} (- t) ^ {z-1} dt}$.

Integrací podél Hankelova obrysu se stane integrální vyjádření obrysu funkce Gamma ${ displaystyle Gamma (z) = { frac {i} {2 sin { pi z}}} int _ {C} e ^ {- t} (- t) ^ {z-1} dt}$. ^[2]

Reference

Další čtení

• Schmelzer, Thomas; Trefethen, Lloyd N. (2007-01). "Výpočet funkce gama pomocí konturových integrálů a racionálních aproximací". Časopis SIAM o numerické analýze. 45 (2): 558–571. doi:10.1137/050646342. ISSN  0036-1429.
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplikativní teorie čísel I. Klasická teorie. Cambridge trakty v pokročilé matematice. 97. str. 515. ISBN  0-521-84903-9.

Externí odkazy

• http://mathworld.wolfram.com/HankelContour.html
• Digitální knihovna matematických funkcí NIST: Funkce gama: Integrovaná reprezentace

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.