Lévyho proces - Lévy process

v teorie pravděpodobnosti, a Lévyho proces, pojmenovaný podle francouzského matematika Paul Lévy, je stochastický proces s nezávislými stacionárními přírůstky: představuje pohyb bodu, jehož postupná posunutí jsou náhodný, ve kterých jsou posuny v párových disjunktních časových intervalech nezávislé, a posuny v různých časových intervalech stejné délky mají stejné rozdělení pravděpodobnosti. Lévyho proces lze tedy chápat jako analogii kontinuálního času a náhodná procházka.

Nejznámějšími příklady Lévyho procesů jsou Wienerův proces, často nazývaný Brownův pohyb proces a Poissonův proces. Kromě Brownova pohybu s driftem mají všechny ostatní vlastní (tj. Ne deterministické) Lévyho procesy diskontinuální cesty. Všechny Lévyho procesy jsou aditivní procesy.^[1]

Matematická definice

A stochastický proces ${ displaystyle X = {X_ {t}: t geq 0 }}$ se říká, že je Lévyho proces, pokud splňuje následující vlastnosti:

1. ${ displaystyle X_ {0} = 0 ,}$ téměř jistě;
2. Nezávislost přírůstků: Pro všechny ${ displaystyle 0 leq t_ {1}$, ${ displaystyle X_ {t_ {2}} - X_ {t_ {1}}, X_ {t_ {3}} - X_ {t_ {2}}, dots, X_ {t_ {n}} - X_ {t_ { n-1}}}$ jsou nezávislý;
3. Stacionární přírůstky: Pro všechny ${ displaystyle s$, ${ displaystyle X_ {t} -X_ {s} ,}$ je v distribuci stejné ${ displaystyle X_ {t-s}; ,}$
4. Spojitost v pravděpodobnosti: Pro všechny ${ displaystyle varepsilon> 0}$ a ${ displaystyle t geq 0}$ to platí ${ displaystyle lim _ {h rightarrow 0} P (| X_ {t + h} -X_ {t} |> varepsilon) = 0.}$

Li ${ displaystyle X}$ je Lévyho proces, pak lze vytvořit verzi ${ displaystyle X}$ takhle ${ displaystyle t mapsto X_ {t}}$ je téměř jistě spojitý vpravo s levými limity.

Vlastnosti

Nezávislé přírůstky

Průběžný stochastický proces přiřadí a náhodná proměnná X_t do každého bodu t ≥ 0 v čase. Ve skutečnosti jde o náhodnou funkci t. The přírůstcích takového procesu jsou rozdíly X_s − X_t mezi jeho hodnotami v různých časech t < s. Chcete-li volat přírůstky procesu nezávislý znamená, že přírůstky X_s − X_t a X_u − X_proti jsou nezávislý náhodné proměnné, kdykoli se dva časové intervaly nepřekrývají, a obecněji, konečný počet přírůstků přiřazených párovým nepřekrývajícím se časovým intervalům je vzájemně (nejen po párech ) nezávislé.

Stacionární přírůstky

Chcete-li volat přírůstky stacionární znamená, že rozdělení pravděpodobnosti jakéhokoli přírůstku X_t − X_s záleží jen na délce t − s časového intervalu; přírůstky ve stejně dlouhých časových intervalech jsou identicky distribuovány.

Li ${ displaystyle X}$ je Wienerův proces rozdělení pravděpodobnosti X_t − X_s je normální s očekávaná hodnota 0 a rozptyl t − s.

Li ${ displaystyle X}$ je Poissonův proces rozdělení pravděpodobnosti X_t − X_s je Poissonovo rozdělení s očekávanou hodnotou λ (t − s), kde λ> 0 je „intenzita“ nebo „rychlost“ procesu.

Nekonečná dělitelnost

Distribuce Lévyho procesu má vlastnost nekonečná dělitelnost: dané celé číslo n, zákon Lévyho procesu v čase t lze představovat jako zákon n nezávislé náhodné proměnné, což jsou přesně přírůstky Lévyho procesu v časových intervalech délky t/n, které jsou nezávislé a shodně rozložené podle předpokladů 2 a 3. Naopak pro každé nekonečně dělitelné rozdělení pravděpodobnosti ${ displaystyle F}$existuje Lévyho proces ${ displaystyle X}$ tak, že zákon z ${ displaystyle X_ {1}}$ darováno ${ displaystyle F}$.

Okamžiky

V každém Lévyho procesu s konečným momenty, nten okamžik ${ displaystyle mu _ {n} (t) = E (X_ {t} ^ {n})}$, je polynomiální funkce z t; tyto funkce uspokojí binomickou identitu:

${ displaystyle mu _ {n} (t + s) = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} mu _ {k} (t) mu _ {nk} (s ).}$

Zastoupení Lévy – Khintchine

Distribuci Lévyho procesu charakterizuje jeho charakteristická funkce, který je dán Lévy – Khintchinův vzorec (obecné pro všechny nekonečně dělitelné distribuce ):^[2]

Li ${ displaystyle X = (X_ {t}) _ {t geq 0}}$ je Lévyho proces, pak jeho charakteristická funkce ${ displaystyle varphi _ {X} ( theta)}$ darováno

${ displaystyle varphi _ {X} ( theta) (t): = mathbb {E} left [e ^ {i theta X (t)} right] = exp { left (t left (ai theta - { frac {1} {2}} sigma ^ {2} theta ^ {2} + int _ { mathbb {R} setminus {0 }} { vlevo (e ^ {i theta x} -1-i theta x mathbf {I} _ {| x | <1} right) , Pi (dx)} right) right)}}$

kde ${ displaystyle a in mathbb {R}}$, ${ displaystyle sigma geq 0}$, a ${ displaystyle Pi}$ je σ- konečné opatření zvané Lévyho opatření z ${ displaystyle X}$, uspokojení majetku

${ displaystyle int _ { mathbb {R} setminus {0 }} { min (1, x ^ {2}) , Pi (dx)} < infty.}$

Ve výše uvedeném ${ displaystyle mathbf {I}}$ je funkce indikátoru. Protože charakteristické funkce jednoznačně určují jejich základní rozdělení pravděpodobnosti, každý Lévyho proces je jednoznačně určen „tripletem Lévy – Khintchine“ ${ displaystyle (a, sigma ^ {2}, Pi)}$. Podmínky tohoto tripletu naznačují, že Lévyho proces lze považovat za proces, který má tři nezávislé složky: lineární drift, a Brownův pohyb a Lévyho skokový proces, jak je popsáno níže. Toto okamžitě dává, že jediný (nedeterministický) kontinuální Lévyho proces je Brownův pohyb s driftem; podobně je každý Lévyho proces a semimartingale.^[3]

Lévy – Itô rozklad

Protože se charakteristické funkce nezávislých náhodných proměnných množí, věta Lévy – Khintchine naznačuje, že každý Lévyho proces je součtem Brownova pohybu s driftem a další nezávislé náhodné proměnné. Lévy-Itôův rozklad popisuje druhou jako (stochastický) součet nezávislých Poissonových náhodných proměnných.

Nechat ${ displaystyle nu = { frac { Pi | _ { mathbb {R} setminus (-1,1)}} { Pi ( mathbb {R} setminus (-1,1))}} }$- to znamená omezení ${ displaystyle Pi}$ na ${ displaystyle mathbb {R} setminus (-1,1)}$, renormalizováno jako míra pravděpodobnosti; podobně, ať ${ displaystyle mu = Pi | _ {(- 1,1) setminus {0 }}}$ (ale neměňte měřítko). Pak

${ displaystyle int _ { mathbb {R} setminus {0 }} { vlevo (e ^ {i theta x} -1-i theta x mathbf {I} _ {| x | < 1} right) , Pi (dx)} = Pi ( mathbb {R} setminus (-1,1)) int _ { mathbb {R}} {(e ^ {i theta x } -1) , nu (dx)} + int _ { mathbb {R}} {(e ^ {i theta x} -1-i theta x) , mu (dx)}. }$

První z nich je charakteristickou funkcí a složený Poissonův proces s intenzitou ${ displaystyle Pi ( mathbb {R} setminus (-1,1))}$ a distribuce dětí ${ displaystyle nu}$. Posledně jmenovaný je a kompenzovaný zobecněný Poissonův proces (CGPP): proces s nespočetně mnoha nespojitostí skoků v každém intervalu tak jako., ale takové, že tyto diskontinuity mají velikost menší než ${ displaystyle 1}$. Li ${ displaystyle int _ { mathbb {R}} {| x | , mu (dx)} < infty}$, pak je CGPP a čistý skokový proces.^[4][5]

Zobecnění

Lévy náhodné pole je vícerozměrné zobecnění Lévyho procesu.^[6][7]Ještě obecnější jsou rozložitelné procesy.^[8]

Viz také

• Nezávislé a identicky distribuované náhodné proměnné
• Wienerův proces
• Poissonův proces
• Markov proces
• Lévyho let
• Proces gama

Reference

• Applebaum, David (prosinec 2004). „Lévyho procesy - od pravděpodobnosti po finance a kvantové skupiny“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 51 (11): 1336–1347. ISSN  1088-9477.
• Cont, Rama; Tankov, Peter (2003). Finanční modelování pomocí skokových procesů. CRC Press. ISBN  978-1584884132..
• Sato, Ken-Iti (2011). Lévyho procesy a nekonečně dělitelná distribuce. Cambridge University Press. ISBN  978-0521553025..
• Kyprianou, Andreas E. (2014). Kolísání Lévyho procesů s aplikacemi. Úvodní přednášky. Druhé vydání. Springer. ISBN  978-3642376313..