Cox – Ingersoll – Rossův model - Cox–Ingersoll–Ross model

Tři trajektorie procesů CIR

v matematické finance, Cox – Ingersoll – Ross (CIR) model popisuje vývoj úrokové sazby. Jedná se o typ „jednofaktorového modelu“ (model s krátkou sazbou ), protože popisuje pohyby úrokových sazeb tak, že je poháněn pouze jedním zdrojem tržní riziko. Tento model lze použít při oceňování úrokové deriváty. To bylo představeno v roce 1985 John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll a Stephen A. Ross jako rozšíření Vasíčkův model.

Model

Proces CIR

Model CIR určuje okamžitou úrokovou sazbu ${displaystyle r_ {t}}$ následuje stochastická diferenciální rovnice, také pojmenovaný Proces CIR:

${displaystyle dr_ {t} = a (b-r_ {t}), dt + sigma {sqrt {r_ {t}}}, dW_ {t}}$

kde ${displaystyle W_ {t}}$ je Wienerův proces (modelování náhodného faktoru tržního rizika) a ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, a ${displaystyle sigma,}$ jsou parametry. Parametr ${displaystyle a}$ odpovídá rychlosti nastavení na střední hodnotu ${displaystyle b}$, a ${displaystyle sigma,}$ k volatilitě. Faktor posunu, ${displaystyle a (b-r_ {t})}$, je přesně stejný jako v modelu Vasicek. Zajišťuje to průměrná reverze úrokové sazby směrem k dlouhodobé hodnotě ${displaystyle b}$, s rychlostí přizpůsobení přísně kladným parametrem ${displaystyle a}$.

The standardní odchylka faktor, ${displaystyle sigma {sqrt {r_ {t}}}}$, vyhýbá se možnosti záporných úrokových sazeb pro všechny kladné hodnoty ${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$. Pokud je splněna podmínka, je také vyloučena nulová úroková sazba

${displaystyle 2abgeq sigma ^ {2},}$

je splněna. Obecněji řečeno, když sazba (${displaystyle r_ {t}}$) se blíží nule, směrodatná odchylka (${displaystyle sigma {sqrt {r_ {t}}}}$) se také stává velmi malým, což tlumí účinek náhodného šoku na rychlost. V důsledku toho, když se rychlost blíží nule, její vývoj ovládne driftový faktor, který tlačí rychlost nahoru (směrem k rovnováha ).

Tento proces lze definovat jako součet čtverců Proces Ornstein – Uhlenbeck. CIR je ergodický procesu a má stacionární distribuci. Stejný proces se používá v Hestonův model modelovat stochastickou volatilitu.

Rozdělení

• Budoucí distribuce

Distribuci budoucích hodnot procesu CIR lze vypočítat v uzavřené formě:

${displaystyle r_ {t + T} = {frac {Y} {2c}},}$

kde ${displaystyle c = {frac {2a} {(1-e ^ {- aT}) sigma ^ {2}}}}$, a Y je necentrální distribuce chí-kvadrát s ${displaystyle {frac {4ab} {sigma ^ {2}}}}$ stupně volnosti a necentralita ${displaystyle 2cr_ {t} e ^ {- aT}}$. Formálně je funkce hustoty pravděpodobnosti:

${displaystyle f (r_ {t + T}; r_ {t}, a, b, sigma) = c, e ^ {- uv} left ({frac {v} {u}} ight) ^ {q / 2} I_ {q} (2 {sqrt {uv}}),}$

kde ${displaystyle q = {frac {2ab} {sigma ^ {2}}} - 1}$, ${displaystyle u = cr_ {t} e ^ {- aT}}$, ${displaystyle v = cr_ {t + T}}$, a ${displaystyle I_ {q} (2 {sqrt {uv}})}$ je upravená Besselova funkce prvního druhu objednávky ${displaystyle q}$.

• Asymptotická distribuce

Vzhledem k průměrné reverzi, jak se čas zvětšuje, distribuce ${displaystyle r_ {infty}}$ přiblíží a gama distribuce s hustotou pravděpodobnosti:

${displaystyle f (r_ {infty}; a, b, sigma) = {frac {eta ^ {alpha}} {gama (alfa)}} r_ {infty} ^ {alpha -1} e ^ {- eta r_ {infty }},}$

kde ${displaystyle eta = 2a / sigma ^ {2}}$ a ${displaystyle alpha = 2ab / sigma ^ {2}}$.

Vlastnosti

• Průměrná reverze,
• Volatilita závislá na úrovni (${displaystyle sigma {sqrt {r_ {t}}}}$),
• Za dané pozitivní ${displaystyle r_ {0}}$ proces se nikdy nedotkne nuly, pokud ${displaystyle 2abgeq sigma ^ {2}}$; jinak se může občas dotknout nulového bodu,
• ${displaystyle operatorname {E} [r_ {t} mid r_ {0}] = r_ {0} e ^ {- at} + b (1-e ^ {- at})}$, takže dlouhodobý průměr je ${displaystyle b}$,
• ${displaystyle operatorname {Var} [r_ {t} mid r_ {0}] = r_ {0} {frac {sigma ^ {2}} {a}} (e ^ {- at} -e ^ {- 2at}) + {frac {bsigma ^ {2}} {2a}} (1-e ^ {- at}) ^ {2}.}$

Kalibrace

• Obyčejné nejmenší čtverce

Kontinuální SDE lze diskretizovat následujícím způsobem

${displaystyle r_ {t + Delta t} -r_ {t} = a (b-r_ {t}), Delta t + sigma, {sqrt {r_ {t} Delta t}} varepsilon _ {t},}$

což odpovídá

${displaystyle {frac {r_ {t + Delta t} -r_ {t}} {{sqrt {r}} _ {t}}} = {frac {abDelta t} {{sqrt {r}} _ {t}} } -a {sqrt {r}} _ {t} Delta t + sigma, {sqrt {Delta t}} varepsilon _ {t},}$

pokud ${displaystyle varepsilon _ {t}}$ je n.i.i.d. (0,1). Tuto rovnici lze použít pro lineární regresi.

• Odhad Martingale
• Maximální pravděpodobnost

Simulace

Stochastická simulace procesu CIR lze dosáhnout pomocí dvou variant:

• Diskretizace
• Přesný

Ceny dluhopisů

Za předpokladu, že neexistuje arbitráž, může být dluhopis oceněn pomocí tohoto procesu úrokové sazby. Cena dluhopisu je exponenciální afinita v úrokové sazbě:

${displaystyle P (t, T) = A (t, T) exp (-B (t, T) r_ {t})!}$

kde

${displaystyle A (t, T) = vlevo ({frac {2hexp ((a + h) (Tt) / 2)} {2h + (a + h) (exp ((Tt) h) -1)}} vpravo) ^ {2ab / sigma ^ {2}}}$

${displaystyle B (t, T) = {frac {2 (exp ((T-t) h) -1)} {2h + (a + h) (exp ((T-t) h) -1)}}})$

${displaystyle h = {sqrt {a ^ {2} + 2sigma ^ {2}}}}$

Rozšíření

Proces CIR je zvláštním případem a základní afinní skoková difúze, který stále povoluje a uzavřený výraz pro ceny dluhopisů. Do modelu lze zavést časově proměnné funkce nahrazující koeficienty, aby byl konzistentní s předem přiřazenou termínovou strukturou úrokových sazeb a případně volatilit. Nejobecnější přístup je v Maghsoodi (1996). Složitější přístup je v Brigo a Mercurio (2001b), kde je do modelu přidán externí časově závislý posun pro konzistenci se vstupní termínovou strukturou sazeb. Významné rozšíření modelu CIR na případ stochastického průměru a stochastické volatility je dáno vztahem Lin Chen (1996) a je znám jako Chen model. Novější příponou je takzvaný CIR # od Orlanda, Mininniho a Bufala (2018,^[1] 2019 ^[2], ^[3]).

Viz také

• Trup – bílý model
• Vasíčkův model
• Chen model

Reference

Další odkazy

• Hull, John C. (2003). Opce, futures a další deriváty. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN  0-13-009056-5.
• Cox, J.C., J.E. Ingersoll a S.A.Ross (1985). „Teorie termínové struktury úrokových sazeb“. Econometrica. 53 (2): 385–407. doi:10.2307/1911242. JSTOR  1911242.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Maghsoodi, Y. (1996). "Řešení rozšířené CIR termínové struktury a ocenění opce dluhopisu". Matematické finance. 6 (6): 89–109. doi:10.1111 / j.1467-9965.1996.tb00113.x.
• Damiano Brigo; Fabio Mercurio (2001). Modely úrokových sazeb - teorie a praxe s úsměvem, inflací a úvěrem (2. vydání, vydání z roku 2006). Springer Verlag. ISBN  978-3-540-22149-4.
• Brigo, Damiano; Fabio Mercurio (2001b). „Rozšíření deterministického posunu u analyticky přijatelných a časově homogenních modelů s krátkou rychlostí“. Finance & Stochastics. 5 (3): 369–388. doi:10.1007 / PL00013541. S2CID  35316609.
• Knihovna Open Source implementující proces CIR v pythonu
• Orlando, Giuseppe; Mininni, Rosa Maria; Bufalo, Michele (2020). "Předpovídání úrokových sazeb prostřednictvím modelů Vasicek a CIR: přístup k rozdělení". Journal of Forecasting. 39 (4): 569–579. arXiv:1901.02246. doi:10,1002 / za. 2642. ISSN  1099-131X. S2CID  126507446.