Katalánci dohad - Catalans conjecture - Wikipedia

Pro domněnku alikvotní sekvence katalánštiny viz alikvotní sekvence.

Katalánská domněnka (nebo Mihăilescuova věta) je teorém v teorie čísel to bylo domnělý matematikem Eugène Charles Catalan v roce 1844 a prokázáno v roce 2002 Preda Mihăilescu.^[1]^[2] Celá čísla 2³ a 3² jsou dva pravomoci z přirozená čísla jejichž hodnoty (8, respektive 9) jsou po sobě jdoucí. Věta říká, že toto je pouze případ dvou po sobě jdoucích pravomocí. To znamená, že

Katalánská domněnka — jediný řešení v přirozených číslech z

{ displaystyle x ^ {a} -y ^ {b} = 1}

pro $A$ , $b$ > 1, $X$ , $y$ > 0 je $X$ = 3, $A$ = 2, $y$ = 2, $b$ = 3.

Dějiny

Historie problému sahá přinejmenším do roku Gersonides, který v roce 1343 prokázal zvláštní případ domněnky, kde (X, y) bylo omezeno na (2, 3) nebo (3, 2). První významný pokrok poté, co Catalan učinil jeho domněnku, přišel v roce 1850, kdy Victor-Amédée Lebesgue případem se zabýval b = 2.^[3]

V roce 1976 Robert Tijdeman aplikovaný Bakerova metoda v teorie transcendence vytvořit vazbu na a, b a použít existující ohraničení výsledků X,y ve smyslu A, b dát efektivní horní mez pro X,y,A,b. Michel Langevin vypočítal hodnotu ${ displaystyle exp exp exp exp 730 přibližně 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 ^ {317}}}}}$ pro vázané.^[4] To vyřešilo katalánskou domněnku až na konečný počet případů. Konečný výpočet vyžadovaný k dokončení důkazu věty byl nicméně příliš časově náročný na provedení.

Katalánská domněnka byla prokázána Preda Mihăilescu v dubnu 2002. Důkaz byl zveřejněn v Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Ve velké míře využívá teorii cyklotomická pole a Galoisovy moduly. Expozici důkazu poskytl Jurij Bilu v Seminář Bourbaki.^[5] V roce 2005 vydal Mihăilescu zjednodušený důkaz.^[6]

Zobecnění

Je to domněnka, že pro každé přirozené číslo n, existuje pouze konečně mnoho párů dokonalé síly s rozdílem n. Níže uvedený seznam ukazuje, pro n ≤ 64, všechna řešení pro dokonalé výkony menší než 10¹⁸, tak jako OEIS: A076427. Viz také OEIS: A103953 pro nejmenší řešení (> 0).

n	řešení počet	čísla k takhle k a k + n jsou obě dokonalé síly	n	řešení počet	čísla k takhle k a k + n jsou obě dokonalé síly
1	1	8	33	2	16, 256
2	1	25	34	0	žádný
3	2	1, 125	35	3	1, 289, 1296
4	3	4, 32, 121	36	2	64, 1728
5	2	4, 27	37	3	27, 324, 14348907
6	0	žádný	38	1	1331
7	5	1, 9, 25, 121, 32761	39	4	25, 361, 961, 10609
8	3	1, 8, 97336	40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16, 27, 216, 64000	41	3	8, 128, 400
10	1	2187	42	0	žádný
11	4	16, 25, 3125, 3364	43	1	441
12	2	4, 2197	44	3	81, 100, 125
13	3	36, 243, 4900	45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	žádný	46	1	243
15	3	1, 49, 1295029	47	6	81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16	3	9, 16, 128	48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904	49	3	32, 576, 274576
18	3	9, 225, 343	50	0	žádný
19	5	8, 81, 125, 324, 503284356	51	2	49, 625
20	2	16, 196	52	1	144
21	2	4, 100	53	2	676, 24336
22	2	27, 2187	54	2	27, 289
23	4	4, 9, 121, 2025	55	3	9, 729, 175561
24	5	1, 8, 25, 1000, 542939080312	56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100, 144	57	3	64, 343, 784
26	3	1, 42849, 6436343	58	0	žádný
27	3	9, 169, 216	59	1	841
28	7	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044	60	4	4, 196, 2515396, 2535525316
29	1	196	61	2	64, 900
30	1	6859	62	0	žádný
31	2	1, 225	63	4	1, 81, 961, 183250369
32	4	4, 32, 49, 7744	64	4	36, 64, 225, 512

Pillaiho domněnka

Nevyřešený problém v matematice:

Vyskytuje se každé kladné celé číslo jen konečně mnohokrát jako rozdíl dokonalých sil?

(více nevyřešených úloh z matematiky)

Pillaiho domněnka se týká obecného rozdílu dokonalých sil (sekvence A001597 v OEIS ): jedná se o otevřený problém, který původně navrhl S. S. Pillai, kteří se domnívali, že mezery v posloupnosti dokonalých sil mají sklon k nekonečnu. To odpovídá tvrzení, že každé kladné celé číslo se vyskytuje jen konečně mnohokrát jako rozdíl dokonalých sil: obecněji v roce 1931 Pillai předpokládal, že pro pevná kladná celá čísla A, B, C rovnice ${ displaystyle Ax ^ {n} -By ^ {m} = C}$ má jen konečně mnoho řešení (X, y, m, n) s (m, n) ≠ (2, 2). Pillai dokázal, že rozdíl ${ displaystyle | Ax ^ {n} -By ^ {m} | gg x ^ { lambda n}}$ pro jakékoli λ menší než 1, rovnoměrně v m a n.^[7]

Obecná domněnka by vyplývala z ABC domněnka.^[7]^[8]

Paul Erdős domnělý^{[Citace je zapotřebí ]} že vzestupná posloupnost ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ dokonalé síly uspokojí ${ displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n}> n ^ {c}}$ pro nějakou pozitivní konstantu C a všechny dostatečně velkén.

Viz také

Poznámky

^ Weisstein, Eric W., Katalánská domněnka, MathWorld
^ Mihăilescu 2004
^ Victor-Amédée Lebesgue (1850), „Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation X^m=y²+1", Nouvelles annales de mathématiques, 1^re série, 9: 178–181
^ Ribenboim, Paulo (1979), 13 přednášek o Fermatově poslední větě, Springer-Verlag, str. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl 0456.10006
^ Bilu, Yuri (2004), „Katalánská domněnka“, Séminaire Bourbaki sv. 2003/04 Vystavuje 909-923, Astérisque, 294, s. 1–26
^ Mihăilescu 2005
^ ^A ^b Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Racionální teorie čísel ve 20. století: Od PNT k FLTSpringer Monografie z matematiky, Springer-Verlag, str.253 –254, ISBN 978-0-857-29531-6
^ Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine aproximace a Diophantine rovnicePřednášky z matematiky, 1467 (2. vyd.), Springer-Verlag, str. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020

Reference

Bilu, Yuri (2004), „Katalánská domněnka (po Mihăilescuovi)“, Astérisque, 294: vii, 1–26, PAN 2111637
Katalánština, Eugene (1844), „Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur“, J. Reine Angew. Matematika. (francouzsky), 27: 192, doi:10,1515 / crll.1844.27.192, PAN 1578392
Cohen, Henri (2005). Démonstration de la contraecture de Catalan [Důkaz katalánské domněnky]. Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes (ve francouzštině). Palaiseau: Éditions de l'École Polytechnique. s. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0. PAN 0222434.
Metsänkylä, Tauno (2004), „Katalánská domněnka: vyřešen další starý problém s diofantinem“ (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 41 (1): 43–57, doi:10.1090 / S0273-0979-03-00993-5, PAN 2015449
Mihăilescu, Preda (2004), „Primární cyklomatomické jednotky a důkaz katalánské domněnky“, J. Reine Angew. Matematika., 2004 (572): 167–195, doi:10.1515 / crll.2004.048, PAN 2076124
Mihăilescu, Preda (2005), „Reflexe, Bernoulliho čísla a důkaz katalánského dohadu“ (PDF), Evropský kongres matematiky, Curych: Eur. Matematika. Soc .: 325–340, PAN 2185753
Ribenboim, Paulo (1994), Katalánská domněnka, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, PAN 1259738 Předchází Mihăilescuův důkaz.
Tijdeman, Robert (1976), „Na rovnici katalánštiny“ (PDF), Acta Arith., 29 (2): 197–209, doi:10.4064 / aa-29-2-197-209, PAN 0404137

externí odkazy

[1] Weisstein, Eric W., Katalánská domněnka, MathWorld

[2] Mihăilescu 2004

[3] Victor-Amédée Lebesgue (1850), „Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation X^m=y²+1", Nouvelles annales de mathématiques, 1^re série, 9: 178–181

[4] Ribenboim, Paulo (1979), 13 přednášek o Fermatově poslední větě, Springer-Verlag, str. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl 0456.10006

[5] Bilu, Yuri (2004), „Katalánská domněnka“, Séminaire Bourbaki sv. 2003/04 Vystavuje 909-923, Astérisque, 294, s. 1–26

[6] Mihăilescu 2005

[rnt-7] A ^b Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Racionální teorie čísel ve 20. století: Od PNT k FLTSpringer Monografie z matematiky, Springer-Verlag, str.253 –254, ISBN 978-0-857-29531-6

[8] Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine aproximace a Diophantine rovnicePřednášky z matematiky, 1467 (2. vyd.), Springer-Verlag, str. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl 0754.11020

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]