Goldbach – Eulerova věta - Goldbach–Euler theorem
v matematika, Goldbach – Eulerova věta (také známý jako Goldbachova věta), uvádí, že součet 1 / (str - 1) přes sadu dokonalé síly str, kromě 1 a vynechání opakování, konverguje do 1:
Tento výsledek byl poprvé publikován v Euler papír 1737 "Různorodá pozorování kolem řady infinitas". Euler připsal výsledek dopisu (nyní ztracenému) od Goldbach.
Důkaz
Goldbachův původní důkaz Eulerovi zahrnoval přiřazení konstanty harmonická řada:, který je odlišný. Takový důkaz moderní standardy nepovažují za důsledný. Existuje velká podobnost mezi metodou prosévání pravomocí použitých v jeho důkazu a metodou metoda faktorizace použitá k odvození Eulerova vzorce produktu pro funkci Riemann zeta.
Nechť x je dáno
Protože součet převrácené hodnoty každé mocniny dvou je , odečtením členů s mocninami dvou od x dává
Opakujte postup s podmínkami s mocnostmi tří:
Ve výše uvedeném součtu nyní chybí všechny termíny s mocninami dva a tři. Pokračujte odstraněním výrazů s mocninami 5, 6 atd., Dokud nebude pravá strana vyčerpána na hodnotu 1. Nakonec získáme rovnici
do kterého se přeskupujeme
kde jmenovatelé se skládají ze všech kladných celých čísel, která jsou bez mocnin mínus jedna. Odečtením předchozí rovnice od výše uvedené definice x získáme
kde se jmenovatelé nyní skládají pouze z dokonalých sil minus jedna.
I když postrádá matematickou přesnost, Goldbachův důkaz poskytuje rozumně intuitivní argument pro pravdivost věty. Důkladné důkazy vyžadují řádné a pečlivější zacházení s odlišnými podmínkami harmonické řady. Další důkazy využívají skutečnosti, že součet 1 /str přes sadu dokonalých sil str, s výjimkou 1, ale včetně opakování, konverguje k 1 prokázáním rovnocennosti:
Zobecněná série
Zobecněná řada Euler-Goldbach, s , je definován jako:
Pro Re to lze vyjádřit jako: [1]
kde je Funkce Riemann zeta. Používáním Teleskopická řada speciální případ lze ukázat jako rovnocenné .
Viz také
Reference
- Viader, Pelegrí; Bibiloni, Lluís; Paradís, Jaume (2006). „Na sérii Goldbach a Euler“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 113 (3): 206–220. doi:10.2307/27641889. JSTOR 27641889..
- Graham, Ronald; Donald Knuth; Oren Patashnik (1988). Konkrétní matematika. Addison-Wesley. ISBN 0-201-14236-8.
- ^ Munkhammar, Joakim (2020). "Riemannova zeta funguje jako součet geometrických řad". Matematický věstník. 104 (561): 527–530. doi:10.1017 / mag.2020.110.