Seznam témat skutečné analýzy - List of real analysis topics

Toto je seznam článků, které jsou zvažovány skutečná analýza témat.

Obecná témata

Limity

Limit posloupnosti
- Následný limit - limit nějaké subsekvence
Limit funkce (vidět Seznam limitů seznam omezení běžných funkcí)
- Jednostranný limit - jedna ze dvou mezí funkcí reálných proměnných x, protože x se blíží k bodu shora nebo zdola
- Zmáčkněte větu - potvrdí limit funkce porovnáním se dvěma dalšími funkcemi
- Velká O notace - slouží k popisu omezujícího chování funkce, když argument směřuje k určité hodnotě nebo nekonečnu, obvykle ve smyslu jednodušších funkcí

Sekvence a série

(viz také seznam matematických řad )

Aritmetický postup - posloupnost čísel taková, že rozdíl mezi po sobě následujícími členy je konstantní
- Zobecněný aritmetický postup - posloupnost čísel, takže rozdíl mezi po sobě následujícími členy může být jednou z několika možných konstant
Geometrický průběh - posloupnost čísel tak, že každý po sobě jdoucí člen je nalezen vynásobením předchozího pevným nenulovým číslem
Harmonický postup - posloupnost vytvořená převzetím převrácených hodnot aritmetického postupu
Konečná posloupnost – vidět sekvence
Nekonečná sekvence – vidět sekvence
Odlišná sekvence – vidět limit posloupnosti nebo divergentní série
Konvergentní sekvence – vidět limit posloupnosti nebo konvergentní série
- Cauchyova posloupnost - sekvence, jejíž prvky se postupem času sekvence libovolně přibližují
Konvergentní série - řada, jejíž posloupnost dílčích součtů konverguje
Divergentní série - řada, jejíž posloupnost dílčích součtů se liší
Silová řada - řada formuláře ${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} left (xc right) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} (xc) ^ {1} + a_ {2} (xc) ^ {2} + a_ {3} (xc) ^ {3} + cdots}$ $f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} left (xc right) ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} (xc) ^ {1} + a_ {2} (xc) ^ {2} + a_ {3} (xc) ^ {3} + cdots$
- Taylor série - řada formuláře ${ displaystyle f (a) + { frac {f '(a)} {1!}} (xa) + { frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + { frac {f ^ {(3)} (a)} {3!}} (xa) ^ {3} + cdots.}$ $f (a) + { frac {f '(a)} {1!}} (xa) + { frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + { frac {f ^ {(3)} (a)} {3!}} (xa) ^ {3} + cdots.$
  - Řada Maclaurin – vidět Taylor série
    - Binomická řada - Maclaurinova řada funkce F dána F(X) = (1 + X)^α
Teleskopická řada
Střídavá řada
Geometrická řada
- Odlišné geometrické řady
Harmonická řada
Fourierova řada
Lambertova řada

Shrnutí metody

Cesàro součet
Eulerův součet
Lambertův součet
Borelův součet
Souhrn podle částí - transformuje součet součinů na jiné součty
Cesàro znamená
Abelův součtový vzorec

Pokročilejší témata

Konvoluce
- Cauchyho produkt –Je diskrétní konvoluce dvou sekvencí
Farey sekvence - posloupnost zcela redukované frakce mezi 0 a 1
Kmitání - je chování posloupnosti reálných čísel nebo funkce se skutečnou hodnotou, která nekonverguje, ale také se neodchyluje na + ∞ nebo −∞; a je také kvantitativním měřítkem.
Neurčité formy - algebraické výrazy získané v kontextu limitů. Neurčité formy zahrnují 0⁰, 0/0, 1^∞, ∞ - ∞, ∞ / ∞, 0 × ∞ a ∞⁰.

Konvergence

Distribuce

Variace

Deriváty

Druhá derivace
- Inflexní bod - nalezeno pomocí druhých derivátů
Směrový derivát, Celkový derivát, Parciální derivace

Pravidla diferenciace

Linearita diferenciace
Pravidlo produktu
Pravidlo kvocientu
Řetězové pravidlo
Věta o inverzní funkci - dává dostatečné podmínky pro to, aby byla funkce invertovatelná v sousedství bodu v jeho doméně, dává také vzorec pro derivaci inverzní funkce

Diferenciace v geometrii a topologii

viz také Seznam témat diferenciální geometrie

Diferencovatelné potrubí
Diferencovatelná struktura
Ponoření - diferencovatelná mapa mezi diferencovatelnými varietami, jejichž diferenciál je všudypřítomný

Integrály

(viz také Seznamy integrálů )

Antiderivativní
- Základní věta o počtu - věta o primitivních látkách
Vícenásobný integrál
Iterovaný integrál
Nesprávný integrál
- Hodnota Cauchyho jistiny - metoda pro přiřazování hodnot určitým nesprávným integrálům
Čára integrální
Andersonova věta - říká, že integrál integrovatelné, symetrické, unimodální, nezáporné funkce nad n-rozměrné konvexní tělo (K.) nesnižuje, pokud K. je přeložen dovnitř směrem k původu

Teorie integrace a míry

viz také Seznam témat teorie integrace a měření

Základní věty

Monotónní věta o konvergenci - souvisí monotónnost s konvergencí
Věta o střední hodnotě - uvádí, že pro každou hodnotu mezi nejmenší horní a největší dolní hranicí obrazu spojité funkce je v její doméně alespoň jeden bod, který funkce mapuje na tuto hodnotu
Rolleova věta - v podstatě uvádí, že diferencovatelná funkce, která dosahuje stejných hodnot ve dvou odlišných bodech, musí mít bod někde mezi nimi, kde je první derivace nula
Věta o střední hodnotě - že vzhledem k oblouku diferencovatelné křivky je na tomto oblouku alespoň jeden bod, ve kterém se derivace křivky rovná „průměrné“ derivaci oblouku
Taylorova věta - udává aproximaci a ${ displaystyle k}$ krát diferencovatelná funkce kolem daného bodu o a ${ displaystyle k}$ - Taylorův polynom řádu. řádu.
Pravidlo L'Hôpital - používá deriváty k vyhodnocení limitů zahrnujících neurčité formy
Ábelova věta - vztahuje limit výkonové řady k součtu jejích koeficientů
Lagrangeova věta o inverzi - dává Taylorovu řadu inverze analytické funkce
Darbouxova věta - uvádí, že všechny funkce, které jsou výsledkem diferenciace jiných funkcí, mají vlastnost mezilehlé hodnoty: obraz intervalu je také intervalem
Heine – Borelův teorém - někdy se používá jako definující vlastnost kompaktnosti
Bolzano – Weierstrassova věta - uvádí, že každá ohraničená sekvence v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ má konvergentní subsekvenci
Věta o extrémní hodnotě - uvádí, že pokud je funkce ${ displaystyle f}$ je spojitý v uzavřeném a ohraničeném intervalu ${ displaystyle [a, b]}$ , pak musí dosáhnout maxima a minima

Základní témata

Čísla

Skutečná čísla

Konkrétní čísla

Sady

Mapy

Mapování kontrakcí
Metrická mapa
Pevný bod - bod funkce, který se mapuje sám na sebe

Aplikované matematické nástroje

Nekonečné výrazy

Nerovnosti

Vidět seznam nerovností

Prostředek

Ortogonální polynomy

Klasické ortogonální polynomy

Prostory

Euklidovský prostor
Metrický prostor
- Banachova věta o pevném bodě - zaručuje existenci a jedinečnost pevných bodů určitých samo-map metrických prostorů, poskytuje způsob jejich vyhledání
- Kompletní metrický prostor
Topologický prostor
- Funkční prostor
  - Sekvenční prostor
Kompaktní prostor

Opatření

Lebesgueovo opatření
Vnější opatření
- Hausdorffovo opatření
Věta o dominantní konvergenci - poskytuje dostatečné podmínky, za kterých dojíždí dva mezní procesy, a to integrace Lebesgue a téměř všude konvergence posloupnosti funkcí.

Pole množin

Sigma-algebra

Historické postavy

Michel Rolle (1652–1719)
Brook Taylor (1685–1731)
Leonhard Euler (1707–1783)
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)
Joseph Fourier (1768–1830)
Bernard Bolzano (1781–1848)
Augustin Cauchy (1789–1857)
Niels Henrik Abel (1802–1829)
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)
Karl Weierstrass (1815–1897)
Eduard Heine (1821–1881)
Pafnuty Čebyšev (1821–1894)
Leopold Kronecker (1823–1891)
Bernhard Riemann (1826–1866)
Richard Dedekind (1831–1916)
Rudolf Lipschitz (1832–1903)
Camille Jordan (1838–1922)
Jean Gaston Darboux (1842–1917)
Georg Cantor (1845–1918)
Ernesto Cesàro (1859–1906)
Otto Hölder (1859–1937)
Hermann Minkowski (1864–1909)
Alfred Tauber (1866–1942)
Felix Hausdorff (1868–1942)
Émile Borel (1871–1956)
Henri Lebesgue (1875–1941)
Wacław Sierpiński (1882–1969)
Johann Radon (1887–1956)
Karl Menger (1902–1985)

Související pole analýzy

Asymptotická analýza - studuje metodu popisu omezujícího chování
Konvexní analýza - studuje vlastnosti konvexních funkcí a konvexních množin
- Seznam témat konvexity
Harmonická analýza - studuje reprezentaci funkcí nebo signálů jako superpozice základních vln
- Seznam témat harmonické analýzy
Fourierova analýza - studuje Fourierovy řady a Fourierovy transformace
- Seznam témat Fourierovy analýzy
- Seznam Fourierových transformací
Složitá analýza - studuje rozšíření reálné analýzy o komplexní čísla
Funkční analýza - studuje vektorové prostory vybavené strukturami souvisejícími s limity a lineárními operátory působícími na tyto prostory
Nestandardní analýza - studie matematická analýza s přísným zacházením s nekonečně malá čísla.

Viz také

Počet, klasický Newtonův a Leibnizův kalkul.
Nestandardní počet, přísná aplikace nekonečně malá čísla, ve smyslu nestandardní analýza, ke klasickému počtu Newtona a Leibnize.

Seznam témat skutečné analýzy - List of real analysis topics

Obecná témata

Sekvence a série

Shrnutí metody

Pokročilejší témata

Konvergence

Kontinuita

Variace

Diferenciace v geometrii a topologii

Teorie integrace a míry

Základní věty

Základní témata

Konkrétní čísla

Aplikované matematické nástroje

Historické postavy

Viz také