Cauchy – Schwarzova nerovnost - Cauchy–Schwarz inequality

v matematika, Cauchy – Schwarzova nerovnost, také známý jako Cauchy – Bunyakovsky – Schwarzova nerovnost, je užitečné nerovnost v mnoha matematických oborech, jako např lineární algebra, analýza, teorie pravděpodobnosti, vektorová algebra a další oblasti. Považuje se to za jednu z nejdůležitějších nerovností v celé matematice.^[1]

Nerovnost pro částky zveřejnil Augustin-Louis Cauchy (1821 ), zatímco odpovídající nerovnost pro integrály byla poprvé prokázánaViktor Bunyakovsky (1859 ). Moderní důkaz integrální verze poskytl Hermann Schwarz (1888 ).^[1]

Prohlášení o nerovnosti

Cauchy – Schwarzova nerovnost říká, že pro všechny vektory ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ z vnitřní produktový prostor je pravda, že

{displaystyle | langle mathbf {u}, mathbf {v} úhel | ^ {2} leq langle mathbf {u}, mathbf {u} úhel cdot langle mathbf {v}, mathbf {v} úhel,}

kde ${displaystyle langle cdot, cdot angle}$ je vnitřní produkt. Mezi příklady vnitřních produktů patří skutečné a komplexní Tečkovaný produkt; viz příklady ve vnitřním produktu. Ekvivalentně tím, že vezmeme druhou odmocninu obou stran a odkazujeme na normy z vektorů je nerovnost zapsána jako^[2]^[3]

{displaystyle | langle mathbf {u}, mathbf {v} úhel | leq | mathbf {u} || mathbf {v} |.}

Navíc jsou si obě strany rovné právě tehdy ${displaystyle mathbf {u}}$ a ${displaystyle mathbf {v}}$ jsou lineárně závislé (což znamená, že jsou paralelní: jeden z vektorů je skalární násobek druhého, nebo jeden z jejich velikostí je nula).^[4]^[5]

Li ${displaystyle u_ {1}, ldots, u_ {n} v mathbb {C}}$ a ${displaystyle v_ {1}, ldots, v_ {n} v mathbb {C}}$ , a vnitřní produkt je standardní komplexní vnitřní produkt, potom lze nerovnost přepracovat explicitněji následovně (kde se používá sloupcová notace pro komplexní konjugace ): pro ${displaystyle mathbf {u}, mathbf {v} v mathbb {C} ^ {n}}$ , my máme

{displaystyle left | langle mathbf {u}, mathbf {v} angle ight | ^ {2} = left | sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} {ar {v}} _ {k} ight | ^ {2} leq langle mathbf {u}, mathbf {u} úhel langle mathbf {v}, mathbf {v} úhel = vlevo (součet _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} {ar {u }} _ {k} ight) vlevo (součet _ {k = 1} ^ {n} v_ {k} {ar {v}} _ {k} ight) = součet _ {j = 1} ^ {n} | u_ {j} | ^ {2} součet _ {k = 1} ^ {n} | v_ {k} | ^ {2}}

To znamená,

{displaystyle | u_ {1} {ar {v}} _ {1} + cdots + u_ {n} {ar {v}} _ {n} | ^ {2} leq (| u_ {1} | ^ {2 } + cdots + | u_ {n} | ^ {2}) (| v_ {1} | ^ {2} + cdots + | v_ {n} | ^ {2})}

Důkazy

Důkaz 1 —

Nechat ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ být libovolné vektory ve vektorovém prostoru ${displaystyle mathbb {F}}$ s vnitřním produktem, kde ${displaystyle mathbb {F}}$ je pole reálných nebo komplexních čísel. Dokazujeme nerovnost

{displaystyle {ig |} jazyk u, vangle {ig |} leq | u || v |}

a tato rovnost platí tehdy a jen tehdy ${displaystyle u}$ nebo ${displaystyle v}$ je násobkem toho druhého (který zahrnuje speciální případ, kterým je buď nulový vektor).

Li ${displaystyle v = 0}$ , je jasné, že v tomto případě existuje rovnost ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ jsou také lineárně závislé, bez ohledu na ${displaystyle u}$ , takže věta je pravdivá. Podobně pokud ${displaystyle u = 0}$ . Jeden to nadále předpokládá ${displaystyle v}$ je nenulová.

Nechat

{displaystyle z = u-u_ {v} = u- {frac {langle u, vangle} {langle v, vangle}} v.}

Potom, podle linearity vnitřního produktu v jeho prvním argumentu, jeden má

{displaystyle langle z, vangle = leftlangle u- {frac {langle u, vangle} {langle v, vangle}} v, vightangle = langle u, vangle - {frac {langle u, vangle} {langle v, vangle}} langle v, vangle = 0.}

Proto, ${displaystyle z}$ je vektor kolmý na vektor ${displaystyle v}$ (Vskutku, ${displaystyle z}$ je projekce z ${displaystyle u}$ na rovinu kolmou na ${displaystyle v}$ .) Můžeme tedy použít Pythagorova věta na

{displaystyle u = {frac {langle u, vangle} {langle v, vangle}} v + z}

který dává

{displaystyle | u | ^ {2} = vlevo | {frac {langle u, vangle} {langle v, vangle}} ight | ^ {2} | v | ^ {2} + | z | ^ {2} = { frac {| langle u, vangle | ^ {2}} {(| v | ^ {2}) ^ {2}}}, | v | ^ {2} + | z | ^ {2} = {frac {| langle u, vangle | ^ {2}} {| v | ^ {2}}} + | z | ^ {2} geq {frac {| langle u, vangle | ^ {2}} {| v | ^ {2 }}}}

a po vynásobení ${displaystyle | v | ^ {2}}$ a druhou odmocninou dostaneme Cauchy – Schwarzovu nerovnost. Navíc, pokud je to relace ${displaystyle geq}$ ve výše uvedeném výrazu je tedy vlastně rovnost ${displaystyle | z | ^ {2} = 0}$ a tudíž ${displaystyle z = 0}$ ; definice ${displaystyle z}$ pak stanoví vztah lineární závislosti mezi ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ . Na druhou stranu, pokud ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ jsou lineárně závislé, pak existuje ${displaystyle cin mathbb {F}}$ takhle ${displaystyle u = ccdot v}$ (od té doby ${displaystyle veq 0}$ ). Pak

{displaystyle | langle u, vangle | = | langle ccdot v, vangle | = left | c | v | ^ {2} ight | = | c || v | ^ {2} = | ccdot v || v | = | u || v |.}

Tím se stanoví věta.

Důkaz 2 —

Nechat ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ být libovolné vektory ve vnitřním prostoru produktu ${displaystyle mathbb {C}}$ .

Ve zvláštním případě ${displaystyle v = 0}$ věta je triviálně pravdivá. Nyní předpokládejme, že ${displaystyle veq 0}$ . Nechat ${displaystyle lambda in mathbb {C}}$ být dán ${displaystyle lambda = langle u, vangle / | v | ^ {2}}$ , pak

{displaystyle {egin {aligned} 0 & leq | u-lambda cdot v | ^ {2} & = langle u, uangle -langle lambda cdot v, uangle -langle u, lambda cdot vangle + langle lambda cdot v, lambda cdot vangle & = langle u, uangle -lambda langle v, uangle - {overline {lambda}} langle u, vangle + lambda {overline {lambda}} langle v, vangle & = | u | ^ {2} -lambda {overline { langle u, vangle}} - {overline {lambda}} langle u, vangle + lambda {overline {lambda}} | v | ^ {2} & = | u | ^ {2} - {frac {| langle u, vangle | ^ {2}} {| v | ^ {2}}} - {frac {| langle u, vangle | ^ {2}} {| v | ^ {2}}} + {frac {| langle u, vangle | ^ {2}} {| v | ^ {2}}} & = | u | ^ {2} - {frac {| langle u, vangle | ^ {2}} {| v | ^ {2} }}. konec {zarovnáno}}}

Proto, ${displaystyle 0leq | u | ^ {2} - {frac {| langle u, vangle | ^ {2}} {| v | ^ {2}}}}$ nebo ${displaystyle | langle u, vangle | leq | u || v |}$ .

Pokud nerovnost platí jako rovnost, pak ${displaystyle | u-lambda cdot v | = 0}$ a tak ${displaystyle u-lambda cdot v = 0}$ , tím pádem ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ jsou lineárně závislé. Na druhou stranu, pokud ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v}$ jsou tedy lineárně závislé ${displaystyle | langle u, vangle | = | u || v |}$ , jak je uvedeno v prvním dokladu.

Další důkazy

Existuje mnoho různých důkazů^[6] Cauchy-Schwarzovy nerovnosti jiné než výše uvedené dva příklady.^[1]^[3] Při konzultaci s jinými zdroji často existují dva zdroje záměny. Nejprve definují někteří autoři $⟨\cdot,\cdot⟩$ být lineární v druhý argument spíše než první. Zadruhé, některé důkazy jsou platné pouze v případě, že pole je ${displaystyle mathbb {R}}$ a ne ${displaystyle mathbb {C}}$ .^[7]

Speciální případy

Tituovo lemma

Tituovo lemma (pojmenované po Titu Andreescu, také známý jako T2 lemma, Engelova forma nebo Sedrakyanova nerovnost) uvádí, že pro pozitivní reálné oblasti

{displaystyle {frac {left (sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ight) ^ {2}} {sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i}}} leq sum _ {i = 1} ^ {n} {frac {u_ {i} ^ {2}} {v_ {i}}}.}

Je to přímý důsledek Cauchy-Schwarzovy nerovnosti, dosažené při střídání ${displaystyle u_ {i} '= {frac {u_ {i}} {sqrt {v_ {i}}}}}$ a ${displaystyle v_ {i} '= {sqrt {v_ {i}}}.}$ Tato forma je obzvláště užitečná, když nerovnost zahrnuje zlomky, kde je čitatel dokonalý čtverec.

R² (obyčejný dvourozměrný prostor)

Cauchy-Schwarzova nerovnost v jednotkové kružnici euklidovské roviny

V obvyklém 2-dimenzionálním prostoru s Tečkovaný produkt, nechť ${displaystyle v = (v_ {1}, v_ {2})}$ a ${displaystyle u = (u_ {1}, u_ {2})}$ . To je Cauchy – Schwarzova nerovnost

{displaystyle langle u, vangle ^ {2} = (| u || v | cos heta) ^ {2} leq | u | ^ {2} | v | ^ {2},}

kde ${displaystyle heta}$ je úhel mezi ${displaystyle u}$ a ${displaystyle v.}$

Forma výše je možná nejjednodušší, jak pochopit nerovnost, protože čtverec kosinu může být nanejvýš 1, což nastane, když jsou vektory ve stejném nebo opačném směru. Lze jej také přepracovat, pokud jde o vektorové souřadnice ${displaystyle v_ {1}, v_ {2}, u_ {1}}$ a ${displaystyle u_ {2}}$ tak jako

{displaystyle (u_ {1} v_ {1} + u_ {2} v_ {2}) ^ {2} leq (u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2}) (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2}),}

kde platí rovnost právě tehdy, když vektor ${displaystyle (u_ {1}, u_ {2})}$ je ve stejném nebo opačném směru jako vektor ${displaystyle (v_ {1}, v_ {2}),}$ nebo pokud je jedním z nich nulový vektor.

Rⁿ (n-dimenzionální euklidovský prostor)

v Euklidovský prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ se standardním vnitřním produktem je Cauchy – Schwarzova nerovnost

{displaystyle left (sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} v_ {i} ight) ^ {2} leq left (sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2 } ight) vlevo (součet _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} ^ {2} ight)}

Cauchy-Schwarzovu nerovnost lze v tomto případě dokázat pouze pomocí myšlenek ze základní algebry. Zvažte následující kvadratický polynom v ${displaystyle x}$

{displaystyle 0leq (u_ {1} x + v_ {1}) ^ {2} + cdots + (u_ {n} x + v_ {n}) ^ {2} = vlevo (součet u_ {i} ^ {2} ight) x ^ {2} + 2left (součet u_ {i} v_ {i} ight) x + součet v_ {i} ^ {2}.}

Protože je nezáporný, má maximálně jeden skutečný kořen pro ${displaystyle x}$ , proto jeho diskriminující je menší nebo roven nule. To znamená,

{displaystyle left (sum u_ {i} v_ {i} ight) ^ {2} -sum {u_ {i} ^ {2}} součet {v_ {i} ^ {2}} leq 0,}

což vede k Cauchy-Schwarzově nerovnosti.

L²

Pro vnitřní produktový prostor čtvercově integrovatelný komplexní funkce, jeden má

{displaystyle left | int _ {mathbb {R} ^ {n}} f (x) {overline {g (x)}}, dxight | ^ {2} leq int _ {mathbb {R} ^ {n}} | f (x) | ^ {2}, dxint _ {mathbb {R} ^ {n}} | g (x) | ^ {2}, dx.}

Zobecněním tohoto je Hölderova nerovnost.

Aplikace

Analýza

The nerovnost trojúhelníku pro Euklidovská norma je často zobrazen jako důsledek Cauchy-Schwarzovy nerovnosti, a to následovně.

Dané vektory X a y,

{displaystyle {egin {aligned} | x + y | ^ {2} & = langle x + y, x + yangle & = | x | ^ {2} + langle x, yangle + langle y, xangle + | y ​​| ^ {2} & = | x | ^ {2} + 2operatorname {Re} langle x, yangle + | y ​​| ^ {2} & leq | x | ^ {2} +2 | langle x, yangle | + | y | ^ {2} & leq | x | ^ {2} +2 | x || y | + | y ​​| ^ {2} & = (| x | + | y ​​|) ^ {2}. end { zarovnaný}}}

Vezmeme-li odmocniny, dostaneme nerovnost trojúhelníku.

{displaystyle | x + y | leq | x | + | y ​​|}

Cauchy – Schwarzova nerovnost se používá k prokázání, že vnitřní produkt je a spojitá funkce s respektem k topologie vyvolaný samotným vnitřním produktem.^[8]^[9]

Geometrie

Cauchy – Schwarzova nerovnost umožňuje jednomu rozšířit pojem „úhlu mezi dvěma vektory“ na libovolný nemovitý vnitřní produktový prostor definováním:^[10]^[11]

{displaystyle cos heta _ {xy} = {frac {langle x, yangle} {| x || y |}}.}

Cauchy – Schwarzova nerovnost dokazuje, že tato definice je rozumná, protože ukazuje, že pravá strana leží v intervalu [−1, 1] a ospravedlňuje představu, že (skutečná) Hilbertovy prostory jsou prostě zobecnění Euklidovský prostor. Lze jej také použít k definování úhlu v komplex vnitřní produktové prostory, tím, že vezmeme absolutní hodnotu nebo skutečnou část pravé strany,^[12]^[13] jak se to dělá při extrahování metriky z kvantová věrnost.

Teorie pravděpodobnosti

Nechat X, Y být náhodné proměnné, pak kovarianční nerovnost^[14]^[15] je dána

{displaystyle operatorname {Var} (Y) geq {frac {operatorname {Cov} (Y, X) ^ {2}} {operatorname {Var} (X)}}.}

Po definování vnitřního produktu na množině náhodných proměnných pomocí očekávání jejich produktu,

{displaystyle langle X, Yangle: = operatorname {E} (XY),}

Cauchy – Schwarzova nerovnost se stává

{displaystyle | operatorname {E} (XY) | ^ {2} leq operatorname {E} (X ^ {2}) operatorname {E} (Y ^ {2}).}

Abychom dokázali kovarianční nerovnost pomocí Cauchy-Schwarzovy nerovnosti, dovolme ${displaystyle mu = operatorname {E} (X)}$ a ${displaystyle u = operatorname {E} (Y)}$ , pak

{displaystyle {egin {aligned} | operatorname {Cov} (X, Y) | ^ {2} & = | operatorname {E} ((X-mu) (Yu)) | ^ {2} & = | langle X -mu, Yu úhel | ^ {2} & leq langle X-mu, X-mu úhel langle Yu, Yu úhel & = operatorname {E} ((X-mu) ^ {2}) operatorname {E} (( Yu) ^ {2}) & = operatorname {Var} (X) operatorname {Var} (Y), konec {zarovnáno}}}

kde ${displaystyle operatorname {Var}}$ označuje rozptyl, a ${displaystyle operatorname {Cov}}$ označuje kovariance.

Zobecnění

Existují různé zevšeobecnění Cauchy-Schwarzovy nerovnosti. Hölderova nerovnost zobecňuje to ${displaystyle L ^ {p}}$ normy. Obecněji lze interpretovat jako zvláštní případ definice normy lineárního operátoru na a Banachův prostor (Jmenovitě, když je prostor a Hilbertův prostor ). Další zobecnění jsou v kontextu teorie operátorů, např. pro operátorově konvexní funkce a operátorské algebry, kde jsou doména a / nebo rozsah nahrazeny a C * -algebra nebo W * -algebra.

Vnitřní produkt lze použít k definování a pozitivní lineární funkční. Například dostal Hilbertův prostor ${displaystyle L ^ {2} (m), m}$ protože je konečným měřítkem, standardní vnitřní produkt vede k pozitivní funkci ${displaystyle varphi}$ podle ${displaystyle varphi (g) = langle g, 1angle}$ . Naopak každá pozitivní lineární funkce ${displaystyle varphi}$ na ${displaystyle L ^ {2} (m)}$ lze použít k definování vnitřního produktu ${displaystyle langle f, gangle _ {varphi}: = varphi (g ^ {*} f)}$ , kde ${displaystyle g ^ {*}}$ je bodově komplexní konjugát z ${displaystyle g}$ . V tomto jazyce se stává Cauchy-Schwarzova nerovnost^[16]

{displaystyle | varphi (g ^ {*} f) | ^ {2} leq varphi (f ^ {*} f) varphi (g ^ {*} g),}

který doslovně rozšiřuje na pozitivní funkcionály na C * -algebrách:

Teorém (Cauchy – Schwarzova nerovnost pro pozitivní funkcionály na C * -algebrách):^[17]^[18] Li ${displaystyle varphi}$ je kladná lineární funkce na C * -algebře ${displaystyle A,}$ pak pro všechny ${displaystyle a, bin A}$ , ${displaystyle | varphi (b ^ {*} a) | ^ {2} leq varphi (b ^ {*} b) varphi (a ^ {*} a)}$ .

Další dvě věty jsou dalšími příklady v operátorové algebře.

Teorém (Kadison – Schwarzova nerovnost,^[19]^[20] pojmenoval podle Richard Kadison ): Pokud ${displaystyle varphi}$ je jednotná pozitivní mapa, pak pro každého normální prvek ${displaystyle a}$ v jeho doméně máme ${displaystyle varphi (a ^ {*} a) geq varphi (a ^ {*}) varphi (a)}$ a ${displaystyle varphi (a ^ {*} a) geq varphi (a) varphi (a ^ {*})}$ .

To rozšiřuje skutečnost ${displaystyle varphi (a ^ {*} a) cdot 1geq varphi (a) ^ {*} varphi (a) = | varphi (a) | ^ {2}}$ , když ${displaystyle varphi}$ je lineární funkční. Případ, kdy ${displaystyle a}$ je samo-adjunkt, tj. ${displaystyle a = a ^ {*},}$ je někdy známý jako Kadisonova nerovnost.

Teorém (Upravená Schwarzova nerovnost pro 2-pozitivní mapy):^[21] Pro 2-pozitivní mapu ${displaystyle varphi}$ mezi C * -algebrami, pro všechny ${displaystyle a, b}$ ve své doméně,

{displaystyle varphi (a) ^ {*} varphi (a) leq Vert varphi (1) Vert varphi (a ^ {*} a), {ext {and}}}

{displaystyle Vert varphi (a ^ {*} b) Vert ^ {2} leq Vert varphi (a ^ {*} a) Vert cdot Vert varphi (b ^ {*} b) Vert.}

Další zobecnění je upřesnění získané interpolací Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti mezi oběma stranami:

Teorém (Nerovnost Callebaut)^[22] Skutečně ${displaystyle 0leqslant sleqslant tleqslant 1}$ ,

{displaystyle {Bigl (} součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} {Bigr)} ^ {2} leqslant součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {1 + s} b_ {i} ^ {1-s} součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {1-s} b_ {i} ^ {1 + s} leqslant součet _ { i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {1 + t} b_ {i} ^ {1-t} součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {1-t} b_ {i} ^ {1 + t} leqslant součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} součet _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2}.}

To lze snadno dokázat Hölderova nerovnost.^[23] K dispozici jsou také nekomutativní verze pro operátory a tenzorové produkty matic.^[24]

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C Steele, J. Michael (2004). Master Class Cauchy – Schwarz: Úvod do umění matematických nerovností. Matematická asociace Ameriky. p. 1. ISBN 978-0521546775. ... není pochyb o tom, že se jedná o jednu z nejpoužívanějších a nejdůležitějších nerovností v celé matematice.
^ Strang, Gilbert (19. července 2005). „3,2“. Lineární algebra a její aplikace (4. vydání). Stamford, CT: Cengage Learning. str. 154–155. ISBN 978-0030105678.
^ ^A ^b Hunter, John K .; Nachtergaele, Bruno (2001). Aplikovaná analýza. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
^ Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (06.12.2012). Fourierova a waveletová analýza. Springer Science & Business Media. p. 14. ISBN 9781461205050.
^ Hassani, Sadri (1999). Matematická fyzika: Moderní úvod do jejích základů. Springer. p. 29. ISBN 0-387-98579-4. Rovnost platí, pokud = 0 nebo | c> = 0. Z definice | c> usuzujeme, že | a> a | b> musí být proporcionální.
^ Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (duben 2009). „Různé důkazy Cauchy-Schwarzovy nerovnosti“ (PDF). Matematický časopis Octogon. 17 (1): 221–229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN 1222-5657. Citováno 18. května 2016.
^ Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (02.05.2007). Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540326960.
^ Bachman, George; Narici, Lawrence (26.09.2012). Funkční analýza. Courier Corporation. p. 141. ISBN 9780486136554.
^ Swartz, Charles (1994-02-21). Měření, integrace a funkční prostory. World Scientific. p. 236. ISBN 9789814502511.
^ Ricardo, Henry (21. 10. 2009). Moderní úvod do lineární algebry. CRC Press. p. 18. ISBN 9781439894613.
^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (06.06.2014). Lineární algebra a maticová analýza pro statistiku. CRC Press. p. 181. ISBN 9781482248241.
^ Valenza, Robert J. (06.12.2012). Lineární algebra: Úvod do abstraktní matematiky. Springer Science & Business Media. p. 146. ISBN 9781461209010.
^ Constantin, Adrian (2016-05-21). Fourierova analýza s aplikacemi. Cambridge University Press. p. 74. ISBN 9781107044104.
^ Mukhopadhyay, Nitis (2000-03-22). Pravděpodobnost a statistická inference. CRC Press. p. 150. ISBN 9780824703790.
^ Keener, Robert W. (08.09.2010). Teoretická statistika: Témata základního kurzu. Springer Science & Business Media. p. 71. ISBN 9780387938394.
^ Faria, Edson de; Melo, Welington de (08.08.2010). Matematické aspekty teorie kvantového pole. Cambridge University Press. p. 273. ISBN 9781139489805.
^ Lin, Huaxin (2001-01-01). Úvod do klasifikace Amenable C * -algebras. World Scientific. p. 27. ISBN 9789812799883.
^ Arveson, W. (06.12.2012). Pozvánka do C * -Algebry. Springer Science & Business Media. p. 28. ISBN 9781461263715.
^ Størmer, Erling (2012-12-13). Pozitivní lineární mapy operátorových algeber. Springer Monografie z matematiky. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642343698.
^ Kadison, Richard V. (01.01.1952). „Zobecněná Schwarzova nerovnost a algebraické invarianty pro operátorské algebry“. Annals of Mathematics. 56 (3): 494–503. doi:10.2307/1969657. JSTOR 1969657.
^ Paulsen, Vern (2002). Zcela ohraničené mapy a operátorské algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 78. Cambridge University Press. p. 40. ISBN 9780521816694.
^ Callebaut, D.K. (1965). „Zevšeobecnění Cauchy-Schwarzovy nerovnosti“. J. Math. Anální. Appl. 12 (3): 491–494. doi:10.1016 / 0022-247X (65) 90016-8.
^ Callebautova nerovnost. Vstup na AoPS Wiki.
^ Moslehian, M.S .; Matharu, J.S .; Aujla, J.S. (2011). "Nekomutativní nerovnost Callebaut". arXiv:1112.3003 [matematika. FA ].

Reference

Aldaz, J. M .; Barza, S .; Fujii, M .; Moslehian, M. S. (2015), „Advances in Operator Cauchy — Schwarz inequalities and their rubes“, Annals of Functional Analysis, 6 (3): 275–295, doi:10.15352 / afa / 06-3-20
Bityutskov, V. I. (2001) [1994], "Bunyakovskii nerovnost", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Bunyakovsky, V. (1859), „Sur quelques inegalités fines les intégrales aux différences finies“ (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg, 7 (1): 9
Cauchy, A.-L. (1821), „Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur> ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités“, Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377
Dragomir, S. S. (2003), „Průzkum diskrétních nerovností typu Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz, Journal of Nerovnosti v čisté a aplikované matematice, 4 (3): 142 stran, archivováno z originál dne 2008-07-20
Grinshpan, A. Z. (2005), „Obecné nerovnosti, důsledky a aplikace“, Pokroky v aplikované matematice, 34 (1): 71–100, doi:10.1016 / j.aam.2004.05.001
Kadison, R. V. (1952), „Zobecněná Schwarzova nerovnost a algebraické invarianty pro operátorové algebry“, Annals of Mathematics, 56 (3): 494–503, doi:10.2307/1969657, JSTOR 1969657.
Lohwater, Arthur (1982), Úvod do nerovností, Online elektronická kniha ve formátu PDF
Paulsen, V. (2003), Zcela ohraničené mapy a operátorské algebry, Cambridge University Press.
Schwarz, H. A. (1888), „Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung“ (PDF), Acta Societatis Scientiarum Fennicae, XV: 318
Solomentsev, E. D. (2001) [1994], "Cauchyova nerovnost", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
Steele, J. M. (2004), Cauchy – Schwarz Master Class, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54677-X

externí odkazy

Nejčasnější použití: Záznam o Cauchy-Schwarzově nerovnosti obsahuje některé historické informace.
Příklad aplikace Cauchy-Schwarzovy nerovnosti k určení lineárně nezávislých vektorů Výukový program a interaktivní program.

[Steele-1] A ^b ^C Steele, J. Michael (2004). Master Class Cauchy – Schwarz: Úvod do umění matematických nerovností. Matematická asociace Ameriky. p. 1. ISBN 978-0521546775. ... není pochyb o tom, že se jedná o jednu z nejpoužívanějších a nejdůležitějších nerovností v celé matematice.

[Strang5-2] Strang, Gilbert (19. července 2005). „3,2“. Lineární algebra a její aplikace (4. vydání). Stamford, CT: Cengage Learning. str. 154–155. ISBN 978-0030105678.

[:0-3] A ^b Hunter, John K .; Nachtergaele, Bruno (2001). Aplikovaná analýza. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.

[4] Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (06.12.2012). Fourierova a waveletová analýza. Springer Science & Business Media. p. 14. ISBN 9781461205050.

[5] Hassani, Sadri (1999). Matematická fyzika: Moderní úvod do jejích základů. Springer. p. 29. ISBN 0-387-98579-4. Rovnost platí, pokud = 0 nebo | c> = 0. Z definice | c> usuzujeme, že | a> a | b> musí být proporcionální.

[6] Wu, Hui-Hua; Wu, Shanhe (duben 2009). „Různé důkazy Cauchy-Schwarzovy nerovnosti“ (PDF). Matematický časopis Octogon. 17 (1): 221–229. ISBN 978-973-88255-5-0. ISSN 1222-5657. Citováno 18. května 2016.

[7] Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (02.05.2007). Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540326960.

[8] Bachman, George; Narici, Lawrence (26.09.2012). Funkční analýza. Courier Corporation. p. 141. ISBN 9780486136554.

[9] Swartz, Charles (1994-02-21). Měření, integrace a funkční prostory. World Scientific. p. 236. ISBN 9789814502511.

[10] Ricardo, Henry (21. 10. 2009). Moderní úvod do lineární algebry. CRC Press. p. 18. ISBN 9781439894613.

[11] Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (06.06.2014). Lineární algebra a maticová analýza pro statistiku. CRC Press. p. 181. ISBN 9781482248241.

[12] Valenza, Robert J. (06.12.2012). Lineární algebra: Úvod do abstraktní matematiky. Springer Science & Business Media. p. 146. ISBN 9781461209010.

[13] Constantin, Adrian (2016-05-21). Fourierova analýza s aplikacemi. Cambridge University Press. p. 74. ISBN 9781107044104.

[14] Mukhopadhyay, Nitis (2000-03-22). Pravděpodobnost a statistická inference. CRC Press. p. 150. ISBN 9780824703790.

[15] Keener, Robert W. (08.09.2010). Teoretická statistika: Témata základního kurzu. Springer Science & Business Media. p. 71. ISBN 9780387938394.

[16] Faria, Edson de; Melo, Welington de (08.08.2010). Matematické aspekty teorie kvantového pole. Cambridge University Press. p. 273. ISBN 9781139489805.

[17] Lin, Huaxin (2001-01-01). Úvod do klasifikace Amenable C * -algebras. World Scientific. p. 27. ISBN 9789812799883.

[18] Arveson, W. (06.12.2012). Pozvánka do C * -Algebry. Springer Science & Business Media. p. 28. ISBN 9781461263715.

[19] Størmer, Erling (2012-12-13). Pozitivní lineární mapy operátorových algeber. Springer Monografie z matematiky. Springer Science & Business Media. ISBN 9783642343698.

[20] Kadison, Richard V. (01.01.1952). „Zobecněná Schwarzova nerovnost a algebraické invarianty pro operátorské algebry“. Annals of Mathematics. 56 (3): 494–503. doi:10.2307/1969657. JSTOR 1969657.

[21] Paulsen, Vern (2002). Zcela ohraničené mapy a operátorské algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 78. Cambridge University Press. p. 40. ISBN 9780521816694.

[22] Callebaut, D.K. (1965). „Zevšeobecnění Cauchy-Schwarzovy nerovnosti“. J. Math. Anální. Appl. 12 (3): 491–494. doi:10.1016 / 0022-247X (65) 90016-8.

[23] Callebautova nerovnost. Vstup na AoPS Wiki.

[24] Moslehian, M.S .; Matharu, J.S .; Aujla, J.S. (2011). "Nekomutativní nerovnost Callebaut". arXiv:1112.3003 [matematika. FA ].

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Hilbertovy prostory
Základní pojmy	Sousední Vnitřní produkt a L-polo-vnitřní produkt Hilbertův prostor a Prehilbertův prostor
Hlavní výsledky	Besselova nerovnost Cauchy – Schwarzova nerovnost Rieszovo zastoupení
Další výsledky	Parsevalova identita Polarizační identita
Mapy	Kompaktní operátor na Hilbertově prostoru Hustě definované Poustevnická forma Hilbert – Schmidt Normální Samonastavitelný Sesquilineární forma Sledovací třída Unitary
Příklady	Cⁿ(K.) s K. kompaktní & n<∞ Segal – Bargmann F