Laguerrovy polynomy - Laguerre polynomials - Wikipedia

v matematika, Laguerrovy polynomy, pojmenoval podle Edmond Laguerre (1834–1886), jsou řešení Laguerrova rovnice:

${ displaystyle xy '' + (1-x) y '+ ny = 0}$

což je druhého řádu lineární diferenciální rovnice. Tato rovnice má nesingulární řešení, pouze pokud n je nezáporné celé číslo.

Někdy jméno Laguerrovy polynomy se používá pro řešení

${ displaystyle xy '' + ( alpha + 1-x) y '+ ny = 0 ~.}$

kde n je stále nezáporné celé číslo. Poté se také pojmenují zobecněné Laguerrovy polynomy, jak bude provedeno zde (alternativně související Laguerrovy polynomy nebo zřídka Soninovy ​​polynomy, po jejich vynálezci^[1] Nikolay Jakovlevič Sonin ).

Obecněji, a Laguerrova funkce je řešením, když n není nutně nezáporné celé číslo.

Laguerrovy polynomy se také používají pro Gaussova kvadratura k numerickému výpočtu integrálů formuláře

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} f (x) e ^ {- x} , dx.}$

Tyto polynomy, obvykle označované L₀, L₁, ..., plocha polynomiální sekvence které mohou být definovány Rodriguesův vzorec,

${ displaystyle L_ {n} (x) = { frac {e ^ {x}} {n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} vlevo (e ^ { -x} x ^ {n} right) = { frac {1} {n!}} left ({ frac {d} {dx}} - 1 right) ^ {n} x ^ {n} ,}$

redukce na uzavřenou formu následující sekce.

Oni jsou ortogonální polynomy s ohledem na vnitřní produkt

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {0} ^ { infty} f (x) g (x) e ^ {- x} , dx.}$

Posloupnost Laguerrových polynomů n! L_n je Shefferova sekvence,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} L_ {n} = vlevo ({ frac {d} {dx}} - 1 vpravo) L_ {n-1}.}$

The havarované polynomy v kombinatorice jsou víceméně stejné jako Laguerrovy polynomy, až po elementární změny proměnných. Dále viz Tricomi – Carlitzovy polynomy.

Laguerrovy polynomy vznikají v kvantové mechanice v radiální části řešení Schrödingerova rovnice pro atom s jedním elektronem. Také popisují statické Wignerovy funkce oscilátorových systémů v kvantová mechanika ve fázovém prostoru. Dále vstupují do kvantové mechaniky Morseův potenciál a 3D izotropní harmonický oscilátor.

Fyzici někdy používají definici Laguerrových polynomů, která je větší o faktor n! než zde použitá definice. (Podobně mohou někteří fyzici používat poněkud odlišné definice takzvaných Laguerrových polynomů.)

Prvních několik polynomů

Toto je prvních několik Laguerrových polynomů:

n	${ displaystyle L_ {n} (x) ,}$
0	${ displaystyle 1 ,}$
1	${ displaystyle -x + 1 ,}$
2	${ displaystyle { tfrac {1} {2}} (x ^ {2} -4x + 2) ,}$
3	${ displaystyle { tfrac {1} {6}} (- x ^ {3} + 9x ^ {2} -18x + 6) ,}$
4	${ displaystyle { tfrac {1} {24}} (x ^ {4} -16x ^ {3} + 72x ^ {2} -96x + 24) ,}$
5	${ displaystyle { tfrac {1} {120}} (- x ^ {5} + 25x ^ {4} -200x ^ {3} + 600x ^ {2} -600x + 120) ,}$
6	${ displaystyle { tfrac {1} {720}} (x ^ {6} -36x ^ {5} + 450x ^ {4} -2400x ^ {3} + 5400x ^ {2} -4320x + 720) , }$
n	${ displaystyle { tfrac {1} {n!}} ((- x) ^ {n} + n ^ {2} (- x) ^ {n-1} + ... + n ({n!} ) (- x) + n!) ,}$

Prvních šest Laguerrových polynomů.

Rekurzivní definice, uzavřená forma a generující funkce

Lze také definovat Laguerrovy polynomy rekurzivně, přičemž první dva polynomy definujeme jako

${ displaystyle L_ {0} (x) = 1}$

${ displaystyle L_ {1} (x) = 1-x}$

a poté použijte následující relace opakování pro všechny k ≥ 1:

${ displaystyle L_ {k + 1} (x) = { frac {(2k + 1-x) L_ {k} (x) -kL_ {k-1} (x)} {k + 1}}.}$

Při řešení některých problémů s hraničními hodnotami mohou být užitečné charakteristické hodnoty:

${ displaystyle L_ {k} (0) = 1, L_ {k} '(0) = - k.}$

The uzavřená forma je

${ displaystyle L_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} { frac {(-1) ^ {k}} {k!} } x ^ {k}.}$

The generující funkce pro ně také následuje,

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} t ^ {n} L_ {n} (x) = { frac {1} {1-t}} e ^ {- tx / (1- t)}.}$

Polynomy záporného indexu lze vyjádřit pomocí těch s kladným indexem:

${ displaystyle L _ {- n} (x) = e ^ {x} L_ {n-1} (- x).}$

Zobecněné Laguerrovy polynomy

Pro libovolné reálné α polynomiální řešení diferenciální rovnice^[2]

${ displaystyle x , y '' + ( alpha + 1-x) , y '+ n , y = 0}$

jsou nazývány zobecněné Laguerrovy polynomynebo související Laguerrovy polynomy.

Lze také rekurzivně definovat zobecněné Laguerreovy polynomy, přičemž první dva polynomy definujeme jako

${ displaystyle L_ {0} ^ {( alpha)} (x) = 1}$

${ displaystyle L_ {1} ^ {( alpha)} (x) = 1 + alpha -x}$

a poté použijte následující relace opakování pro všechny k ≥ 1:

${ displaystyle L_ {k + 1} ^ {( alpha)} (x) = { frac {(2k + 1 + alpha -x) L_ {k} ^ {( alpha)} (x) - ( k + alpha) L_ {k-1} ^ {( alpha)} (x)} {k + 1}}.}$

Zvláštní případ jsou jednoduché Laguerrovy polynomy α = 0 zobecněných Laguerrových polynomů:

${ displaystyle L_ {n} ^ {(0)} (x) = L_ {n} (x).}$

The Rodriguesův vzorec pro ně je

${ displaystyle { begin {aligned} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) & = {x ^ {- alpha} e ^ {x} over n!} {d ^ {n} přes dx ^ {n}} vlevo (e ^ {- x} x ^ {n + alpha} vpravo) [4pt] & = x ^ {- alpha} { frac { vlevo ({ frac {d} {dx}} - 1 right) ^ {n}} {n!}} x ^ {n + alpha}. end {aligned}}}$

The generující funkce pro ně je

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} t ^ {n} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = { frac {1} {(1-t) ^ { alpha +1}}} e ^ {- tx / (1-t)}.}$

Prvních několik zobecněných Laguerrových polynomů, L_n^(k)(X)

Explicitní příklady a vlastnosti zobecněných Laguerrových polynomů

• Laguerrovy funkce jsou definovány konfluentní hypergeometrické funkce a Kummerova transformace jako^[3]

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x): = {n + alpha zvolit n} M (-n, alpha + 1, x).}$

${ displaystyle {n + alpha zvolit n}}$ je zobecněný binomický koeficient. Když n je celé číslo, které funkce redukuje na polynom stupně n. Má alternativní výraz^[4]

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}} U (-n, alpha + 1, x)}$

ve smyslu Kummerova funkce druhého druhu.

• Uzavřená forma pro tyto zobecněné Laguerrovy polynomy stupně n je^[5]

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {n + alpha zvolit ni} { frac { x ^ {i}} {i!}}}$

odvozeno aplikací Leibnizova věta o diferenciaci produktu podle Rodriguesova vzorce.

• Prvních několik zobecněných Laguerrových polynomů je:

${ displaystyle { begin {aligned} L_ {0} ^ {( alpha)} (x) & = 1 L_ {1} ^ {( alpha)} (x) & = - x + alpha +1 L_ {2} ^ {( alpha)} (x) & = { frac {x ^ {2}} {2}} - ( alpha +2) x + { frac {( alpha +2) ( alpha +1)} {2}} L_ {3} ^ {( alpha)} (x) & = { frac {-x ^ {3}} {6}} + { frac {( alpha +3) x ^ {2}} {2}} - { frac {( alpha +2) ( alpha +3) x} {2}} + { frac {( alpha +1) ( alpha +2) ( alpha +3)} {6}} end {zarovnáno}}}$

• The součinitel hlavního termínu je (−1)ⁿ/n!;
• The konstantní termín, což je hodnota na 0, je

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (0) = {n + alpha zvolit n} = { frac {n ^ { alpha}} { Gamma ( alpha +1)}} + O left (n ^ { alpha -1} right);}$

• Li α není tedy negativní L_n^(α) má n nemovitý, přísně pozitivní kořeny (všimněte si toho ${ displaystyle left ((- 1) ^ {n-i} L_ {n-i} ^ {( alpha)} right) _ {i = 0} ^ {n}}$ je Sturmův řetěz ), které jsou všechny v interval ${ displaystyle left (0, n + alpha + (n-1) { sqrt {n + alpha}} , right].}$^{[Citace je zapotřebí ]}
• Asymptotické chování polynomů pro velké n, ale opraveno α a X > 0, darováno^[6][7]

${ displaystyle { begin {aligned} & L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = { frac {n ^ {{ frac { alpha} {2}} - { frac {1} { 4}}}} { sqrt { pi}}} { frac {e ^ { frac {x} {2}}} {x ^ {{ frac { alpha} {2}} + { frac {1} {4}}}}} sin left (2 { sqrt {nx}} - { frac { pi} {2}} left ( alpha - { frac {1} {2} } right) right) + O left (n ^ {{ frac { alpha} {2}} - { frac {3} {4}}} right), [6pt] & L_ {n } ^ {( alpha)} (- x) = { frac {(n + 1) ^ {{ frac { alpha} {2}} - { frac {1} {4}}}} {2 { sqrt { pi}}}} { frac {e ^ {- x / 2}} {x ^ {{ frac { alpha} {2}} + { frac {1} {4}}} }} e ^ {2 { sqrt {x (n + 1)}}} cdot left (1 + O left ({ frac {1} { sqrt {n + 1}}} right) vpravo), end {zarovnáno}}}$

a shrnutí pomocí

${ displaystyle { frac {L_ {n} ^ {( alpha)} left ({ frac {x} {n}} right)} {n ^ { alpha}}} přibližně e ^ {x / 2n} cdot { frac {J _ { alpha} vlevo (2 { sqrt {x}} vpravo)} {{ sqrt {x}} ^ { alpha}}},}$

kde ${ displaystyle J _ { alpha}}$ je Besselova funkce.

Jako obrysový integrál

Vzhledem k výše uvedené generující funkci lze polynomy vyjádřit pomocí a konturový integrál

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = { frac {1} {2 pi i}} mast _ {C} { frac {e ^ {- xt / (1- t)}} {(1-t) ^ { alpha +1} , t ^ {n + 1}}} ; dt,}$

kde obrys obíhá počátek jednou proti směru hodinových ručiček, aniž by uzavřel základní singularitu na 1

Vztahy opakování

Sčítací vzorec pro Laguerrovy polynomy:^[8]

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha + beta +1)} (x + y) = součet _ {i = 0} ^ {n} L_ {i} ^ {( alpha)} (x ) L_ {ni} ^ {( beta)} (y)}$.

Laguerrovy polynomy uspokojují relace opakování

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} L_ {ni} ^ {( alpha + i)} (y) { frac { (yx) ^ {i}} {i!}},}$

zejména

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa +1)} (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} L_ {i} ^ {( alpha)} (x)}$

a

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} { alpha - beta + ni-1 zvolte ni} L_ {i} ^ { ( beta)} (x),}$

nebo

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = součet _ {i = 0} ^ {n} { alpha - beta + n vyberte ni} L_ {i} ^ {( beta -i)} (x);}$

navíc

${ displaystyle { begin {zarovnáno} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) - součet _ {j = 0} ^ { Delta -1} {n + alpha zvolit nj} (- 1 ) ^ {j} { frac {x ^ {j}} {j!}} & = (- 1) ^ { Delta} { frac {x ^ { Delta}} {( Delta -1)! }} sum _ {i = 0} ^ {n- Delta} { frac {n + alpha select n- Delta -i} {(ni) {n zvolit i}}} L_ {i} ^ {( alpha + Delta)} (x) [6pt] & = (- 1) ^ { Delta} { frac {x ^ { Delta}} {( Delta -1)!}} součet _ {i = 0} ^ {n- Delta} { frac {n + alpha -i-1 vyberte n- Delta -i} {(ni) {n zvolit i}}} L_ {i} ^ {(n + alpha + Delta -i)} (x) end {zarovnáno}}}$

Mohou být použity k odvození čtyř tříbodových pravidel

${ displaystyle { begin {aligned} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) & = L_ {n} ^ {( alpha +1)} (x) -L_ {n-1} ^ { ( alpha +1)} (x) = součet _ {j = 0} ^ {k} {k vyberte j} L_ {nj} ^ {( alpha + k)} (x), [10 bodů ] nL_ {n} ^ {( alpha)} (x) & = (n + alpha) L_ {n-1} ^ {( alpha)} (x) -xL_ {n-1} ^ {( alpha +1)} (x), [10 bodů] & { text {or}} { frac {x ^ {k}} {k!}} L_ {n} ^ {( alpha)} ( x) & = sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} {n + i zvolit i} {n + alpha zvolit ki} L_ {n + i} ^ {( alpha -k)} (x), [10 bodů] nL_ {n} ^ {( alpha +1)} (x) & = (nx) L_ {n-1} ^ {( alpha +1)} (x) + (n + alpha) L_ {n-1} ^ {( alpha)} (x) [10 bodů] xL_ {n} ^ {( alpha +1)} (x) & = (n + alpha) L_ {n-1} ^ {( alpha)} (x) - (nx) L_ {n} ^ {( alpha)} (x); end {zarovnáno}}}$

v kombinaci dávají tyto další užitečné relace opakování

${ displaystyle { begin {aligned} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) & = left (2 + { frac { alpha -1-x} {n}} right) L_ { n-1} ^ {( alpha)} (x) - left (1 + { frac { alpha -1} {n}} right) L_ {n-2} ^ {( alpha)} ( x) [10pt] & = { frac { alpha + 1-x} {n}} L_ {n-1} ^ {( alpha +1)} (x) - { frac {x} { n}} L_ {n-2} ^ {( alpha +2)} (x) end {zarovnáno}}}$

Od té doby ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x)}$ je monický polynom stupně ${ displaystyle n}$ v ${ displaystyle alpha}$, tam je rozklad částečné frakce

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {n! , L_ {n} ^ {( alpha)} (x)} {( alpha +1) _ {n}}} & = 1- součet _ {j = 1} ^ {n} (- 1) ^ {j} { frac {j} { alpha + j}} {n vyberte j} L_ {n} ^ {(- j)} ( x) & = 1- sum _ {j = 1} ^ {n} { frac {x ^ {j}} { alpha + j}} , , { frac {L_ {nj} ^ {(j)} (x)} {(j-1)!}} & = 1-x sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {L_ {ni} ^ {(- alpha)} (x) L_ {i-1} ^ {( alpha +1)} (- x)} { alpha + i}}. end {zarovnáno}}}$

Druhá rovnost následuje následující identitou, platnou pro celé číslo i a n a bezprostředně po výrazu ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x)}$ ve smyslu Charlierovy polynomy:

${ displaystyle { frac {(-x) ^ {i}} {i!}} L_ {n} ^ {(in)} (x) = { frac {(-x) ^ {n}} {n !}} L_ {i} ^ {(ni)} (x).}$

Pro třetí rovnost použijte čtvrtou a pátou identitu této části.

Deriváty zobecněných Laguerrových polynomů

Diferenciace reprezentace výkonových řad zobecněného Laguerrova polynomu k časy vedou k

${ displaystyle { frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = { begin {cases} (- 1) ^ {k} L_ {nk} ^ {( alpha + k)} (x) & { text {if}} k leq n, 0 & { text {jinak.}} End {případy}}}$

To ukazuje na zvláštní případ (α = 0) výše uvedeného vzorce: pro celé číslo α = k zobecněný polynom může být zapsán

${ displaystyle L_ {n} ^ {(k)} (x) = (- 1) ^ {k} { frac {d ^ {k} L_ {n + k} (x)} {dx ^ {k} }},}$

posun o k někdy způsobovat záměnu s obvyklou závorkou pro derivaci.

Navíc platí následující rovnice:

${ displaystyle { frac {1} {k!}} { frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} x ^ { alpha} L_ {n} ^ {( alpha)} ( x) = {n + alpha choose k} x ^ { alpha -k} L_ {n} ^ {( alpha -k)} (x),}$

který zobecňuje s Cauchyho vzorec na

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha ')} (x) = ( alpha' - alpha) { alpha '+ n vybrat alpha' - alpha} int _ {0} ^ { x} { frac {t ^ { alpha} (xt) ^ { alpha '- alpha -1}} {x ^ { alpha'}}} L_ {n} ^ {( alpha)} (t ) , dt.}$

Derivát vzhledem k druhé proměnné α má formu,^[9]

${ displaystyle { frac {d} {d alpha}} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = součet _ {i = 0} ^ {n-1} { frac {L_ { i} ^ {( alpha)} (x)} {ni}}.}$

To je patrné z níže uvedeného integrálního obrysu obrysu.

Zobecněné Laguerrovy polynomy se řídí diferenciální rovnicí

${ displaystyle xL_ {n} ^ {( alpha) prime prime} (x) + ( alpha + 1-x) L_ {n} ^ {( alpha) prime} (x) + nL_ {n } ^ {( alpha)} (x) = 0,}$

které lze porovnat s rovnicí dodržovanou kth derivát obyčejného Laguerrova polynomu,

${ displaystyle xL_ {n} ^ {[k] prime prime} (x) + (k + 1-x) L_ {n} ^ {[k] prime} (x) + (nk) L_ {n } ^ {[k]} (x) = 0,}$

kde ${ displaystyle L_ {n} ^ {[k]} (x) equiv { frac {d ^ {k} L_ {n} (x)} {dx ^ {k}}}}$ pouze pro tuto rovnici.

v Forma Sturm – Liouville diferenciální rovnice je

${ displaystyle - left (x ^ { alpha +1} e ^ {- x} cdot L_ {n} ^ {( alpha)} (x) ^ { prime} right) ^ { prime} = n cdot x ^ { alpha} e ^ {- x} cdot L_ {n} ^ {( alpha)} (x),}$

což ukazuje L^(α)
_n je vlastní vektor pro vlastní hodnotu n.

Ortogonalita

Zobecněné Laguerrovy polynomy jsou kolmé [0, ∞) s ohledem na míru s funkcí vážení X^α E^−X:^[10]

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ { alpha} e ^ {- x} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) L_ {m} ^ {( alfa) } (x) dx = { frac { Gamma (n + alpha +1)} {n!}} delta _ {n, m},}$

který vyplývá z

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ { alpha '-1} e ^ {- x} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) dx = { alpha - alfa '+ n zvolit n} gama ( alfa').}$

Li ${ displaystyle Gamma (x, alfa +1,1)}$ označuje rozdělení gama, pak lze vztah ortogonality zapsat jako

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) L_ {m} ^ {( alpha)} (x) gama (x, alpha + 1,1) dx = {n + alpha zvolit n} delta _ {n, m},}$

Přidružený symetrický jádrový polynom má reprezentace (Vzorec Christoffel – Darboux )^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle { begin {aligned} K_ {n} ^ {( alpha)} (x, y) &: = { frac {1} { Gamma ( alpha +1)}} sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {L_ {i} ^ {( alpha)} (x) L_ {i} ^ {( alpha)} (y)} { alpha + i zvolit i}} [4pt] & = { frac {1} { Gamma ( alpha +1)}} { frac {L_ {n} ^ {( alpha)} (x) L_ {n + 1} ^ { ( alpha)} (y) -L_ {n + 1} ^ {( alpha)} (x) L_ {n} ^ {( alpha)} (y)} {{ frac {xy} {n + 1}} {n + alpha choose n}}} [4pt] & = { frac {1} { Gamma ( alpha +1)}} sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {x ^ {i}} {i!}} { frac {L_ {ni} ^ {( alpha + i)} (x) L_ {ni} ^ {( alpha + i + 1)} ( y)} {{ alfa + n vybrat n} {n zvolit i}}}; end {zarovnáno}}}$

rekurzivně

${ displaystyle K_ {n} ^ {( alfa)} (x, y) = { frac {y} { alfa +1}} K_ {n-1} ^ {( alfa +1)} (x , y) + { frac {1} { Gamma ( alpha +1)}} { frac {L_ {n} ^ {( alpha +1)} (x) L_ {n} ^ {( alpha )} (y)} { alpha + n vyberte n}}.}$

Navíc,^{[je zapotřebí objasnění Limit jako n jde do nekonečna?]}

${ displaystyle y ^ { alpha} e ^ {- y} K_ {n} ^ {( alpha)} ( cdot, y) do delta (y- cdot).}$

Turánovy nerovnosti zde lze odvodit, což je

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) ^ {2} -L_ {n-1} ^ {( alpha)} (x) L_ {n + 1} ^ {( alpha) } (x) = sum _ {k = 0} ^ {n-1} { frac { alpha + n-1 vyberte nk} {n {n zvolit k}}} L_ {k} ^ {( alpha -1)} (x) ^ {2}> 0.}$

Následující integrál je potřebný při kvantově mechanické úpravě atom vodíku,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ { alpha +1} e ^ {- x} vlevo [L_ {n} ^ {( alpha)} (x) vpravo] ^ { 2} dx = { frac {(n + alpha)!} {N!}} (2n + alpha +1).}$

Rozšíření série

Nechť funkce má (formální) rozšíření řady

${ displaystyle f (x) = součet _ {i = 0} ^ { infty} f_ {i} ^ {( alpha)} L_ {i} ^ {( alpha)} (x).}$

Pak

${ displaystyle f_ {i} ^ {( alpha)} = int _ {0} ^ { infty} { frac {L_ {i} ^ {( alpha)} (x)} {i + alpha zvolte i}} cdot { frac {x ^ { alpha} e ^ {- x}} { Gamma ( alpha +1)}} cdot f (x) , dx.}$

Řada konverguje v přidružené Hilbertův prostor L²[0, ∞) kdyby a jen kdyby

${ displaystyle | f | _ {L ^ {2}} ^ {2}: = int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ { alpha} e ^ {- x}} { Gamma ( alpha +1)}} | f (x) | ^ {2} , dx = sum _ {i = 0} ^ { infty} {i + alpha vyberte i} | f_ {i } ^ {( alpha)} | ^ {2} < infty.}$

Další příklady rozšíření

Monomials jsou reprezentovány jako

${ displaystyle { frac {x ^ {n}} {n!}} = součet _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} {n + alpha zvolit ni} L_ {i } ^ {( alpha)} (x),}$

zatímco dvojčleny mít parametrizaci

${ displaystyle {n + x zvolit n} = součet _ {i = 0} ^ {n} { frac { alpha ^ {i}} {i!}} L_ {ni} ^ {(x + i )} ( alfa).}$

To vede přímo k

${ displaystyle e ^ {- gamma x} = součet _ {i = 0} ^ { infty} { frac { gamma ^ {i}} {(1+ gamma) ^ {i + alpha +1 }}} L_ {i} ^ {( alpha)} (x) qquad { text {konvergentní iff}} Re ( gamma)> - { tfrac {1} {2}}}$

pro exponenciální funkci. The neúplná funkce gama má zastoupení

${ displaystyle Gamma ( alpha, x) = x ^ { alpha} e ^ {- x} součet _ {i = 0} ^ { infty} { frac {L_ {i} ^ {( alpha )} (x)} {1 + i}} qquad left ( Re ( alpha)> - 1, x> 0 right).}$

V kvantové mechanice

V kvantové mechanice Schrödingerova rovnice pro atom podobný vodíku je přesně řešitelný oddělením proměnných ve sférických souřadnicích. Radiální část vlnové funkce je (zobecněný) Laguerrův polynom.^[11]

Vibronické přechody ve Franck-Condonově aproximaci lze také popsat pomocí Laguerrových polynomů.^[12]

Věty o násobení

Erdélyi dává následující dva věty o násobení ^[13]

${ displaystyle { begin {aligned} & t ^ {n + 1 + alpha} e ^ {(1-t) z} L_ {n} ^ {( alpha)} (zt) = součet _ {k = n} ^ { infty} {k zvolit n} vlevo (1 - { frac {1} {t}} vpravo) ^ {kn} L_ {k} ^ {( alfa)} (z), [6pt] & e ^ {(1-t) z} L_ {n} ^ {( alpha)} (zt) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(1- t) ^ {k} z ^ {k}} {k!}} L_ {n} ^ {( alpha + k)} (z). end {zarovnáno}}}$

Vztah k Hermitovým polynomům

Zobecněné Laguerrovy polynomy souvisejí s Hermitovy polynomy:

${ displaystyle { begin {sladěno} H_ {2n} (x) & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2n} n! L_ {n} ^ {(- 1/2)} (x ^ { 2}) [4pt] H_ {2n + 1} (x) & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2n + 1} n! XL_ {n} ^ {(1/2)} (x ^ {2}) end {zarovnáno}}}$

Kde H_n(X) jsou Hermitovy polynomy na základě funkce vážení exp (-X²), tzv. „verze pro fyzika“.

Z tohoto důvodu vznikají zobecněné Laguerrovy polynomy při léčbě kvantový harmonický oscilátor.

Vztah k hypergeometrickým funkcím

Laguerrovy polynomy lze definovat z hlediska hypergeometrické funkce, konkrétně konfluentní hypergeometrické funkce, tak jako

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = {n + alpha vybrat n} M (-n, alpha + 1, x) = { frac {( alpha +1) _ {n}} {n!}} , _ {1} F_ {1} (- n, alpha + 1, x)}$

kde ${ displaystyle (a) _ {n}}$ je Pochhammer symbol (což v tomto případě představuje rostoucí faktoriál).

Hardy – Hilleův vzorec

Zobecněné Laguerrovy polynomy splňují Hardy-Hilleův vzorec^[14][15]

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {n! , Gamma left ( alpha +1 right)} { Gamma left (n + alpha +1 right )}} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) L_ {n} ^ {( alpha)} (y) t ^ {n} = { frac {1} {(1-t) ^ { alpha +1}}} e ^ {- (x + y) t / (1-t)} , _ {0} F_ {1} left (; alpha +1; { frac {xyt} {(1-t) ^ {2}}} vpravo),}$

kde řada vlevo konverguje pro ${ displaystyle alpha> -1}$ a ${ displaystyle | t | <1}$. Používání identity

${ displaystyle , _ {0} F_ {1} (; alpha +1; z) = , Gamma ( alpha +1) z ^ {- alpha / 2} I _ { alpha} vlevo ( 2 { sqrt {z}} vpravo),}$

(vidět generalizovaná hypergeometrická funkce ), toto lze také napsat jako

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {n!} { Gamma (1+ alpha + n)}} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) L_ {n} ^ {( alpha)} (y) t ^ {n} = { frac {1} {(xyt) ^ { alpha / 2} (1-t)}} e ^ {- (x + y) t / (1-t)} I _ { alpha} left ({ frac {2 { sqrt {xyt}}} {1-t}} right).}$

Tento vzorec je zobecněním Mehlerovo jádro pro Hermitovy polynomy, které z něj lze získat pomocí výše uvedených vztahů mezi Laguerreovými a Hermitovými polynomy.

Viz také

• Angelescuovy polynomy
• Příčný režim, důležitá aplikace Laguerrových polynomů k popisu intenzity pole v profilu vlnovodu nebo laserového paprsku.

Poznámky

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 22“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 773. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• G. Szegő, Ortogonální polynomy, 4. vydání, Amer. Matematika. Soc. Colloq. Publ., sv. 23, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 1975.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Ortogonální polynomy“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• B. Španělsko, M.G. Kovář, Funkce matematické fyziky„Van Nostrand Reinhold Company, Londýn, 1970. Kapitola 10 se zabývá Laguerrovými polynomy.
• „Laguerrovy polynomy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein, "Laguerrův polynom ", Z MathWorld - webový zdroj Wolfram.
• George Arfken a Hans Weber (2000). Matematické metody pro fyziky. Akademický tisk. ISBN  978-0-12-059825-0.

externí odkazy

• Timothy Jones. „Legendrovy a Laguerrovy polynomy a elementární kvantově mechanický model atomu vodíku“.
• Weisstein, Eric W. "Laguerreův polynom". MathWorld.