Ortogonální polynomy - Orthogonal polynomials

v matematika, an ortogonální polynomiální sekvence je rodina polynomy takové, že jakékoli dva různé polynomy v sekvenci jsou ortogonální navzájem pod některými vnitřní produkt.

Nejpoužívanějšími ortogonálními polynomy jsou klasické ortogonální polynomy, skládající se z Hermitovy polynomy, Laguerrovy polynomy a Jacobiho polynomy společně s jejich zvláštními případy Gegenbauerovy polynomy, Čebyševovy polynomy a Legendární polynomy.

Pole ortogonálních polynomů se vyvinulo koncem 19. století ze studie pokračující zlomky podle P. L. Čebyšev a byl pronásledován A. A. Markov a T. J. Stieltjes. Někteří z matematiků, kteří pracovali na ortogonálních polynomech, zahrnují Gábor Szegő, Sergej Bernstein, Naum Akhiezer, Arthur Erdélyi, Jakov Geronimus, Wolfgang Hahn, Theodore Seio Chihara, Mourad Ismail, Waleed Al-Salam, a Richard Askey.

Definice případu 1 proměnné pro skutečnou míru

Vzhledem k jakékoli neklesající funkci α na reálných číslech můžeme definovat Lebesgue – Stieltjes integrál

${ displaystyle int f (x) ; d alfa (x)}$

funkce F. Pokud je tento integrál konečný pro všechny polynomy F, můžeme definovat vnitřní součin na dvojicích polynomů F a G podle

${ displaystyle langle f, g rangle = int f (x) g (x) ; d alfa (x).}$

Tato operace je pozitivní semidefinit vnitřní produkt na vektorový prostor všech polynomů a je kladně definitivní, pokud má funkce α nekonečný počet bodů růstu. Vyvolává představu ortogonalita obvyklým způsobem, totiž že dva polynomy jsou kolmé, pokud je jejich vnitřní součin nulový.

Pak sekvence (P_n)_n=0^∞ ortogonálních polynomů je definováno relacemi

${ displaystyle deg P_ {n} = n ~, quad langle P_ {m}, , P_ {n} rangle = 0 quad { text {pro}} quad m neq n ~.}$

Jinými slovy, sekvence je získána ze sekvence monomiálů 1, X, X², ... podle Gram – Schmidtův proces s ohledem na tento vnitřní produkt.

Obvykle je vyžadováno pořadí ortonormální, jmenovitě

${ displaystyle langle P_ {n}, P_ {n} rangle = 1 ~,}$

někdy se však používají i jiné normalizace.

Absolutně nepřetržitý případ

Někdy máme

${ displaystyle d alpha (x) = W (x) , dx}$

kde

${ displaystyle W: [x_ {1}, x_ {2}] to mathbb {R}}$

je nezáporná funkce s podporou v určitém intervalu [X₁, X₂] ve skutečné linii (kde X₁ = −∞ a X₂ = ∞ jsou povoleny). Takový Ž se nazývá a váhová funkcePotom je vnitřní produkt dán

${ displaystyle langle f, g rangle = int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) g (x) W (x) ; dx.}$

Existuje však mnoho příkladů ortogonálních polynomů, kde míra dα (X) má body s nenulovou mírou, kde je funkce α diskontinuální, takže ji nelze určit váhovou funkcí Ž jak je uvedeno výše.

Příklady ortogonálních polynomů

Nejčastěji používané ortogonální polynomy jsou ortogonální pro míru s podporou v reálném intervalu. To zahrnuje:

• Klasické ortogonální polynomy (Jacobiho polynomy, Laguerrovy polynomy, Hermitovy polynomy a jejich zvláštní případy Gegenbauerovy polynomy, Čebyševovy polynomy a Legendární polynomy ).
• The Wilsonovy polynomy, které zobecňují Jacobiho polynomy. Zahrnují mnoho ortogonálních polynomů jako speciální případy, například Meixner – Pollaczekovy polynomy, spojité Hahnovy polynomy, spojité duální Hahnovy polynomy a klasické polynomy popsané v Schéma Askey
• The Polynomy Askey – Wilson zavést další parametr q do Wilsonových polynomů.

Diskrétní ortogonální polynomy jsou kolmé vzhledem k určité diskrétní míře. Někdy má míra konečnou podporu, v takovém případě je rodina ortogonálních polynomů konečná, spíše než nekonečná posloupnost. The Racahovy polynomy jsou příklady diskrétních ortogonálních polynomů a zahrnují jako zvláštní případy Hahnovy polynomy a duální Hahnovy polynomy, které zase zahrnují jako zvláštní případy Meixnerovy polynomy, Krawtchoukovy polynomy, a Charlierovy polynomy.

Proseté ortogonální polynomy, tak jako proseté ultrasférické polynomy, proseté Jacobiho polynomy, a proseté Pollaczekovy polynomy, upravili relace opakování.

Lze také uvažovat ortogonální polynomy pro nějakou křivku ve složité rovině. Nejdůležitějším případem (kromě skutečných intervalů) je situace, kdy je křivka jednotkový kruh, který dává ortogonální polynomy na jednotkové kružnici, tak jako Rogers – Szegő polynomy.

Existují některé rodiny ortogonálních polynomů, které jsou kolmé na rovinné oblasti, jako jsou trojúhelníky nebo disky. Někdy je lze psát jako Jacobiho polynomy. Například, Zernikeovy polynomy jsou na disku jednotky kolmé.

Výhoda ortogonality mezi různými řády Hermitovy polynomy se aplikuje na strukturu GFDM (Generalized Frequency Division Multiplexing). V každé mřížce časově-frekvenční mřížky lze nést více než jeden symbol.^[1]

Vlastnosti

Ortogonální polynomy jedné proměnné definované nezápornou mírou na reálné linii mají následující vlastnosti.

Vztah k okamžikům

Ortogonální polynomy P_n lze vyjádřit pomocí momenty

${ displaystyle m_ {n} = int x ^ {n} , d alpha (x)}$

jak následuje:

${ displaystyle P_ {n} (x) = c_ {n} , det { begin {bmatrix} m_ {0} & m_ {1} & m_ {2} & cdots & m_ {n} m_ {1} & m_ {2} & m_ {3} & cdots & m_ {n + 1} && vdots && vdots m_ {n-1} & m_ {n} & m_ {n + 1} & cdots & m_ {2n- 1} 1 & x & x ^ {2} & cdots & x ^ {n} end {bmatrix}} ~,}$

kde konstanty C_n jsou libovolné (závisí na normalizaci P_n).

Vztah opakování

Polynomy P_n uspokojit relaci opakování formuláře

${ displaystyle P_ {n} (x) = (A_ {n} x + B_ {n}) P_ {n-1} (x) + C_ {n} P_ {n-2} (x) ~.}$

Vidět Favardova věta pro obrácený výsledek.

Vzorec Christoffel – Darboux

Nuly

Pokud je opatření dα je podporováno v intervalu [A, b], všechny nuly P_n ležet v [A, b]. Nuly navíc mají následující vlastnost prokládání: if m < n, je nula P_n mezi libovolnými dvěma nulamiP_m.

Vícerozměrné ortogonální polynomy

The Macdonaldovy polynomy jsou ortogonální polynomy v několika proměnných, v závislosti na volbě afinního kořenového systému. Zahrnují mnoho dalších rodin vícerozměrných ortogonálních polynomů jako speciální případy, včetně Jackovy polynomy, Hall – Littlewoodovy polynomy, Heckman – Opdamovy polynomy a Koornwinderovy polynomy. The Polynomy Askey – Wilson jsou zvláštním případem Macdonaldových polynomů pro určitý neredukovaný kořenový systém 1. úrovně.

Viz také

• Appellova sekvence
• Schéma Askey hypergeometrických ortogonálních polynomů
• Favardova věta
• Polynomiální sekvence binomického typu
• Biortogonální polynomy
• Zobecněná Fourierova řada
• Sekundární opatření
• Shefferova sekvence
• Teorie Sturm-Liouville
• Pupeční kalkul

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 22“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 773. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• Chihara, Theodore Seio (1978). Úvod do ortogonálních polynomů. Gordon and Breach, New York. ISBN  0-677-04150-0.
• Chihara, Theodore Seio (2001). „45 let ortogonálních polynomů: pohled z křídel“. Proceedings of the Fifth International Symposium on Orthogonal Polynomials, Special Functions and their Applications (Patras, 1999). Journal of Computational and Applied Mathematics. 133 (1): 13–21. Bibcode:2001JCoAM.133 ... 13C. doi:10.1016 / S0377-0427 (00) 00632-4. ISSN  0377-0427. PAN  1858267.
• Foncannon, J. J .; Foncannon, J. J .; Pekonen, Osmo (2008). "Recenze Klasické a kvantové ortogonální polynomy v jedné proměnné Mourad Ismail ". Matematický zpravodaj. Springer New York. 30: 54–60. doi:10.1007 / BF02985757. ISSN  0343-6993. S2CID  118133026.
• Ismail, Mourad E. H. (2005). Klasické a kvantové ortogonální polynomy v jedné proměnné. Cambridge: Cambridge Univ. Lis. ISBN  0-521-78201-5.
• Jackson, Dunham (2004) [1941]. Fourierova řada a ortogonální polynomy. New York: Dover. ISBN  0-486-43808-2.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Ortogonální polynomy“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• „Ortogonální polynomy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Szegő, Gábor (1939). Ortogonální polynomy. Publikace kolokvia. XXIII. Americká matematická společnost. ISBN  978-0-8218-1023-1. PAN  0372517.
• P. Sircar, R.B. Pachori a R. Kumar, Analýza rytmů signálů EEG pomocí ortogonální polynomiální aproximace, ACM International Conference on Convergence and Hybrid Information Technology, str. 176–180, 27. – 29. Srpna 2009, Daejeon, Jižní Korea.
• Totik, Vilmos (2005). "Ortogonální polynomy". Průzkumy v teorii aproximace. 1: 70–125. arXiv:math.CA/0512424.
• C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, arXiv:1712.03155.