Vlastnost nejméně horní hranice - Least-upper-bound property

Každá neprázdná podmnožina

{displaystyle M}

reálných čísel

{displaystyle mathbb {R}}

který je omezen shora, má nejméně horní mez.

v matematika, vlastnost s nejmenší horní hranicí (někdy nazývané úplnost nebo nadřazená vlastnost nebo l.u.b. vlastnictví)^[1] je základní vlastností reálná čísla. Obecněji, a částečně objednaná sada $X$ má vlastnost nejmenší horní hranice, pokud není neprázdná podmnožina z $X$ s horní hranice má nejméně horní hranice (supremum) v $X$ . Ne každá (částečně) objednaná sada má vlastnost nejméně horní hranice. Například sada ${displaystyle mathbb {Q}}$ ze všech racionální čísla s jeho přirozeným řádem ne mít vlastnost nejméně horní hranice.

Vlastnost nejmenšího ohraničení je jednou z forem axiom úplnosti pro reálná čísla a někdy se označuje jako Dedekindova úplnost.^[2] Může být použit k prokázání mnoha základních výsledků skutečná analýza, tak jako věta o střední hodnotě, Bolzano – Weierstrassova věta, věta o extrémní hodnotě a Heine – Borelův teorém. Obvykle se to bere jako syntetický axiom konstrukce reálných čísel (vidět nejmenší horní mez ), a to také úzce souvisí s konstrukcí reálných čísel pomocí Dedekind škrty.

v teorie objednávek, tuto vlastnost lze zobecnit na pojem úplnost pro všechny částečně objednaná sada. A lineárně uspořádaná množina to je hustý a má vlastnost s nejmenší horní mezí se nazývá a lineární kontinuum.

Prohlášení o majetku

Výpis pro reálná čísla

Nechat $S$ být neprázdnou sadou reálná čísla.

Skutečné číslo $X$ se nazývá horní hranice pro $S$ -li $X \geq s$ pro všechny $s \in S$ .
Skutečné číslo $X$ je nejmenší horní mez (nebo supremum) pro $S$ -li $X$ je horní mez pro $S$ a $X \leq y$ pro každou horní hranici $y$ z $S$ .

The vlastnost s nejmenší horní hranicí uvádí, že každá neprázdná množina reálných čísel, která má horní mez, musí mít nejmenší horní mez reálná čísla.

Zobecnění na objednané množiny

Červené: sada

{displaystyle left {xin mathbf {Q}: x ^ {2} leq 2ight}}

. Modrý: množina jeho horních mezí v

{displaystyle mathbf {Q}}

.

Obecněji lze definovat horní mez a nejméně horní mez pro libovolnou podmnožina a částečně objednaná sada $X$ , s „skutečné číslo“ nahrazeno „prvkem z $X$ “. V tomto případě to říkáme $X$ má vlastnost nejméně horní hranice, pokud je každá neprázdná podmnožina $X$ s horní mezí má nejmenší horní mez v $X$ .

Například sada $Q$ z racionální čísla nemá vlastnost nejméně horní hranice v obvyklém pořadí. Například sada

{displaystyle left {xin mathbf {Q}: x ^ {2} leq 2ight} = mathbf {Q} čepice vlevo (- {sqrt {2}}, {sqrt {2}} ight)}

má horní mez v $Q$ , ale nemá nejmenší horní mez v $Q$ (protože druhá odmocnina ze dvou je iracionální ). The konstrukce reálných čísel použitím Dedekind škrty využívá tohoto neúspěchu definováním iracionálních čísel jako nejmenších horních mezí určitých podmnožin racionálních hodnot.

Důkaz

Logický stav

Vlastnost nejméně horní hranice je ekvivalentní s jinými formami axiom úplnosti, například konvergence Cauchyovy sekvence nebo věta o vnořených intervalech. Logický stav vlastnosti závisí na konstrukce reálných čísel použitý: v syntetický přístup, vlastnost je obvykle brána jako axiom reálných čísel (viz nejmenší horní mez ); v konstruktivním přístupu musí být vlastnost prokázána jako a teorém, buď přímo z konstrukce, nebo v důsledku nějaké jiné formy úplnosti.

Důkaz pomocí Cauchyových sekvencí

Je možné dokázat vlastnost nejméně horní hranice za předpokladu, že každá Cauchyova posloupnost reálných čísel konverguje. Nechat $S$ být neprázdný množina reálných čísel, a předpokládejme, že $S$ má horní mez $B 1$ . Od té doby $S$ je neprázdné, existuje reálné číslo $A 1$ to není horní mez pro $S$ . Definujte sekvence $A 1, A 2, A 3, ...$ a $B 1, B 2, B 3, ...$ rekurzivně takto:

Zkontrolujte, zda $(A n + B n) ⁄ 2$ je horní mez pro $S$ .
Pokud ano, nechte $A n +1 = A n$ a nechte $B n +1 = (A n + B n) ⁄ 2$ .
Jinak musí existovat prvek $s$ v $S$ aby $s >(A n + B n) ⁄ 2$ . Nechat $A n +1 = s$ a nechte $B n +1 = B n$ .

Pak $A 1 \leq A 2 \leq A 3 \leq \dots \leq B 3 \leq B 2 \leq B 1$ a $| A n - B n | \to 0$ tak jako $n \to \infty$ . Z toho vyplývá, že obě sekvence jsou Cauchy a mají stejný limit $L$ , což musí být nejméně horní mez pro $S$ .

Aplikace

Vlastnost nejmenší horní meze $R$ lze použít k prokázání mnoha hlavních základních vět v skutečná analýza.

Věta o střední hodnotě

Nechat $F : [A, b] \to R$ být spojitá funkce a předpokládejme to $F (A) < 0$ a $F (b) > 0$ . V tomto případě věta o střední hodnotě tvrdí, že $F$ musí mít vykořenit v intervalu $[A, b]$ . Tuto větu lze dokázat zvážením množiny

S = {s \in [A, b] : F (X) <0 pro všechny X \leq s}

.

To znamená $S$ je počátečním segmentem $[A, b]$ který bere záporné hodnoty pod $F$ . Pak $b$ je horní mez pro $S$ a nejmenší horní mez musí být kořenem $F$ .

Bolzano – Weierstrassova věta

The Bolzano – Weierstrassova věta pro $R$ uvádí, že každý sekvence $X n$ reálných čísel v uzavřeném intervalu $[A, b]$ musí mít konvergentní subsekvence. Tuto větu lze dokázat zvážením množiny

S = {s \in [A, b] : s \leq X n pro nekonečně mnoho n}

.

Jasně $b$ je horní mez pro $S$ , tak $S$ má nejmenší horní mez $C$ . Pak $C$ musí být mezní bod sekvence $X n$ a z toho vyplývá $X n$ má subsekvenci, která konverguje k $C$ .

Věta o extrémní hodnotě

Nechat $F : [A, b] \to R$ být spojitá funkce a nechte $M = sup F ([A, b])$ , kde $M = \infty$ -li $F ([A, b])$ nemá horní mez. The věta o extrémní hodnotě tvrdí, že $M$ je konečný a $F (C) = M$ pro některé $C \in [A, b]$ . To lze prokázat zvážením sady

S = {s \in [A, b]: sup F ([s, b]) = M}

.

Li $C$ je nejmenší horní mez této množiny, pak to z kontinuity vyplývá $F (C) = M$ .

Heine – Borelův teorém

Nechat $[A, b]$ být uzavřeným intervalem v $R$ a nechte ${U α}$ být sbírkou otevřené sady že kryty $[A, b]$ . Pak Heine – Borelův teorém uvádí, že nějaká konečná podkolekce ${U α}$ kryty $[A, b]$ také. Toto tvrzení lze prokázat zvážením množiny

S = {s \in [A, b] : [A, s] může pokrýt konečně mnoho U α}

.

Tato sada musí mít nejméně horní mez $C$ . Ale $C$ je sám o sobě prvkem nějaké otevřené množiny $U α$ a z toho vyplývá $[A, C + δ]$ může být pokryta konečně mnoha $U α$ pro některé dostatečně malé $δ > 0$ . To dokazuje $C + δ \in S$ , a také přináší rozpor, pokud $C = b$ .

Dějiny

Důležitost vlastnosti nejméně horního ohraničení byla poprvé uznána Bernard Bolzano ve svém příspěvku z roku 1817 Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewäahren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege.^[3]

Viz také

Seznam témat skutečné analýzy

Poznámky

^ Bartle a Sherbert (2011) definují „vlastnost úplnosti“ a říkají, že se jí také říká „vlastnost supremum“. (str. 39)
^ Willard říká, že uspořádaný prostor „X je Dedekind úplný, pokud má každá podmnožina X, která má horní mez, nejméně horní mez.“ (str. 124-5, problém 17E.)
^ Raman-Sundström, Manya (srpen – září 2015). „Pedagogická historie kompaktnosti“. Americký matematický měsíčník. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619.

Reference

Abbott, Stephen (2001). Porozumění analýze. Pregraduální texty z matematiky. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen (1998). Principy reálné analýzy (Třetí vydání.). Akademický. ISBN 0-12-050257-7.

Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2011). Úvod do reálné analýzy (4. vyd.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6.
Bressoud, David (2007). Radikální přístup ke skutečné analýze. MAA. ISBN 0-88385-747-2.
Browder, Andrew (1996). Matematická analýza: Úvod. Pregraduální texty z matematiky. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Úvodní skutečná analýza. Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6.
Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3. vyd.). McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
Willard, Stephen (2004) [1970]. Obecná topologie. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 9780486434797.

[1] Bartle a Sherbert (2011) definují „vlastnost úplnosti“ a říkají, že se jí také říká „vlastnost supremum“. (str. 39)

[2] Willard říká, že uspořádaný prostor „X je Dedekind úplný, pokud má každá podmnožina X, která má horní mez, nejméně horní mez.“ (str. 124-5, problém 17E.)

[Sundström-3] Raman-Sundström, Manya (srpen – září 2015). „Pedagogická historie kompaktnosti“. Americký matematický měsíčník. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619.

[1]

[2]

[3]