Bolzano – Weierstrassova věta - Bolzano–Weierstrass theorem
v matematika, konkrétně v skutečná analýza, Bolzano – Weierstrassova věta, pojmenoval podle Bernard Bolzano a Karl Weierstrass, je základním výsledkem konvergence v konečně-dimenzionální Euklidovský prostor Rn. Věta říká, že každý ohraničená sekvence v Rn má konvergentní subsekvence.[1] Ekvivalentní formulace je, že a podmnožina z Rn je postupně kompaktní právě když je Zavřeno a ohraničený.[2] Věta se někdy nazývá věta o sekvenční kompaktnosti.[3]
Historie a význam
Bolzano – Weierstrassova věta je pojmenována podle matematiků Bernard Bolzano a Karl Weierstrass. Bylo to skutečně poprvé prokázáno Bolzanem v roce 1817 jako lemma v dokladu o věta o střední hodnotě. Asi o padesát let později byl výsledek identifikován jako významný sám o sobě a znovu ho prokázal Weierstrass. Od té doby se stala základní teorém o analýza.
Důkaz
Nejprve dokážeme teorém, když , v takovém případě je objednání dne lze dobře využít. Ve skutečnosti máme následující výsledek.
Lemma: Každá nekonečná sekvence v má monotónní subsekvence.
Důkaz: Nazveme kladné celé číslo avrchol sekvence "pokud naznačuje tj., pokud je větší než každý následující termín v pořadí. Předpokládejme nejprve, že sekvence má nekonečně mnoho vrcholů, . Potom subsekvence odpovídající těmto vrcholům monotónně klesá. Předpokládejme tedy, že vrcholů je jen konečně mnoho, dovolte být posledním vrcholem a . Pak není vrchol, protože , což znamená existenci s a . Znovu, není vrchol, proto existuje kde s . Opakování tohoto procesu vede k nekonečné neklesající subsekvenci , podle přání.[4]
Předpokládejme, že jeden má ohraničená sekvence v ; lemmatem tady existuje monotónní subsekvence, nutně ohraničená. Vyplývá to z monotónní věta o konvergenci že tato subsekvence musí konvergovat.
Nakonec lze obecný případ omezit na případ takto: vzhledem k ohraničené sekvenci v , posloupnost prvních souřadnic je ohraničená skutečná posloupnost, proto má konvergentní subsekvenci. Jeden pak může extrahovat subsubsequence, na které se sbíhají druhé souřadnice, a tak dále, dokud nakonec nepřejdeme z původní sekvence do subsekvence časy - což je stále subsekvence původní sekvence - na které konverguje každá souřadnicová sekvence, a proto je samotná subsekvence konvergentní.
Alternativní důkaz
Existuje také alternativní důkaz použití Bolzano-Weierstrassovy věty vnořené intervaly. Začínáme ohraničenou sekvencí :
Protože je ohraničený, tato sekvence má spodní hranici a horní mez .
Bereme jako první interval pro sekvenci vnořených intervalů.
Pak jsme se rozdělili uprostřed do dvou stejně velkých podintervalů.
Bereme tento subinterval jako druhý interval sekvence vnořených intervalů, která obsahuje nekonečně mnoho členů . Protože každá sekvence má nekonečně mnoho členů, musí existovat alespoň jeden podinterval, který obsahuje nekonečně mnoho členů.
Pak jsme se rozdělili opět uprostřed do dvou stejně velkých podintervalů.
Znovu bereme tento subinterval jako třetí subinterval sekvence vnořených intervalů, která obsahuje nekonečně mnoho členů .
V tomto procesu pokračujeme nekonečně mnohokrát. Tak dostaneme posloupnost vnořených intervalů.
Protože v každém kroku snižujeme délku intervalu na polovinu, je limit délky intervalu nula. Existuje tedy číslo který je v každém intervalu . Teď to ukazujeme je akumulační bod .
Vezměte sousedství z . Protože délka intervalů konverguje k nule, existuje interval což je podmnožina . Protože obsahuje podle konstrukce nekonečně mnoho členů a , taky obsahuje nekonečně mnoho členů . To dokazuje je akumulační bod . Existuje tedy subsekvence který konverguje k .
Sekvenční kompaktnost v euklidovských prostorech
Předpokládat A je podmnožinou Rn s vlastností, ve které je každá sekvence A má posloupnost konvergující k prvku A. Pak A musí být ohraničené, protože jinak existuje sekvence Xm v A s || Xm || ≥ m pro všechny m, a pak je každá subsekvence neomezená, a proto není konvergentní. Navíc, A musí být uzavřeno, protože z neinteriérového bodu X v doplňku A, lze postavit A- hodnotná sekvence konvergující k X. Tedy podmnožiny A z Rn pro které je každá sekvence v A má posloupnost konvergující k prvku A - tj. Podmnožiny, které jsou postupně kompaktní v topologie podprostoru - jsou přesně uzavřené a ohraničené podmnožiny.
Tato forma věty objasňuje zvláště analogii k Heine – Borelova věta, který tvrdí, že podmnožina Rn je kompaktní právě když je uzavřený a ohraničený. Obecná topologie nám ve skutečnosti říká, že a měřitelný prostor je kompaktní tehdy a jen tehdy, když je postupně kompaktní, takže věty Bolzano – Weierstrass a Heine – Borel jsou v zásadě stejné.
Aplikace na ekonomii
Existují různé důležité rovnováha koncepty v ekonomii, jejichž důkazy o existenci často vyžadují variace Bolzano – Weierstrassovy věty. Jedním z příkladů je existence a Pareto efektivní přidělení. Alokace je a matice svazků spotřeby pro agenty v ekonomice a alokace je Pareto efektivní, pokud v ní nelze provést žádnou změnu, která by nijak nezhoršila žádného agenta a alespoň jednoho agenta lépe (zde musí být řádky alokační matice preferenční vztah ). Bolzano – Weierstrassova věta umožňuje dokázat, že pokud je soubor alokací kompaktní a neprázdný, pak má systém Pareto-efektivní alokaci.
Viz také
Poznámky
Reference
- Bartle, Robert G .; Sherbert, Donald R. (2000). Úvod do reálné analýzy (3. vyd.). New York: J. Wiley.
- Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Pokročilý počet (2. vyd.). Belmont, Kalifornie: Thomson Brooks / Cole. ISBN 0-534-37603-7.