Normální konvergence - Normal convergence
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Prosinec 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika normální konvergence je typ konvergence pro série z funkce. Jako absolutní konvergence, má užitečnou vlastnost, že je zachována při změně pořadí součtu.
Dějiny
Koncept normální konvergence poprvé představil René Baire v roce 1908 ve své knize Leçons sur les théories générales de l'analyse.
Definice
Vzhledem k sadě S a funkce (nebo komukoli normovaný vektorový prostor ), série
je nazýván normálně konvergentní pokud série jednotné normy podmínek řady konverguje,[1] tj.,
Rozdíly
Normální konvergence naznačuje, ale neměla by být zaměňována s jednotná absolutní konvergence, tj. uniformní konvergence řady nezáporných funkcí . Pro ilustraci zvažte
Pak série je jednotně konvergentní (pro všechny ε vzít n ≥ 1/ε), ale řada jednotných norem je harmonická řada a tak se rozcházejí. Příklad použití spojitých funkcí lze provést nahrazením těchto funkcí funkcemi bump výšky 1 /n a šířka 1 na střed u každého přirozeného číslan.
Normální konvergence řady se také liší od konvergence norm-topologie, tj. konvergence sekvence částečného součtu v topologii vyvolané jednotnou normou. Normální konvergence implikuje konvergenci norm-topologie právě tehdy, když je uvažovaný prostor funkcí kompletní s ohledem na jednotnou normu. (Konverzace neplatí ani pro úplné funkční prostory: například považujte harmonickou řadu za posloupnost konstantních funkcí).
Zobecnění
Místní normální konvergence
Řadu lze nazvat „místně normálně konvergentní na X"pokud každý bod X v X má sousedství U taková, že řada funkcí ƒn omezeno na doménu U
je obvykle konvergentní, tj. takový, že
kde je norma je supremum nad doménouU.
Kompaktní normální konvergence
Řada se říká, že je „normálně konvergentní u kompaktních podmnožin X"nebo" kompaktně normálně konvergentní na X"pokud pro každou kompaktní podmnožinu K. z X, řada funkcí ƒn omezeno na K.
je obvykle konvergentníK..
Poznámka: pokud X je místně kompaktní (i v nejslabším smyslu) jsou místní normální konvergence a kompaktní normální konvergence rovnocenné.
Vlastnosti
- Každá normální konvergentní řada je rovnoměrně konvergentní, lokálně rovnoměrně konvergentní a kompaktně rovnoměrně konvergentní. To je velmi důležité, protože zajišťuje, že jakékoli nové uspořádání řady, jakékoli deriváty nebo integrály řady a součty a produkty s jinými konvergentními řadami budou konvergovat na „správnou“ hodnotu.
- Li je obvykle konvergentní k , pak jakékoli nové uspořádání sekvence (ƒ1, ƒ2, ƒ3 ...) také normálně konverguje ke stejné ƒ. To znamená pro každého bijekce , je obvykle konvergentní k .