Nekonečný produkt - Infinite product - Wikipedia

v matematika, pro sekvence komplexních čísel A₁, A₂, A₃, ... nekonečný produkt

{ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} = a_ {1} a_ {2} a_ {3} cdots}

je definován jako omezit z dílčí produkty A₁A₂...A_n tak jako n zvyšuje bez vazby. Produkt se říká, že konvergovat když limit existuje a není nula. Jinak se o produktu říká rozcházejí se. S limitem nula se zachází zvlášť, aby se získaly výsledky analogické těm pro nekonečné částky. Některé zdroje umožňují konvergenci na 0, pokud existuje pouze konečný počet nulových faktorů a součin nenulových faktorů je nenulový, ale pro jednoduchost to zde nepovolíme. Pokud produkt konverguje, pak je limit posloupnosti A_n tak jako n zvýšení bez omezení musí být 1, zatímco konverzace obecně není pravdivá.

Nejznámějšími příklady nekonečných produktů jsou pravděpodobně některé vzorce pro π, například následující dva produkty, resp Viète (Vièteův vzorec, první publikovaný nekonečný produkt v matematice) a John Wallis (Produkt Wallis ):

{ displaystyle { frac {2} { pi}} = { frac { sqrt {2}} {2}} cdot { frac { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}} 2}} cdot { frac { sqrt {2 + { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} {2}} cdot ; cdots}

{ displaystyle { frac { pi} {2}} = { Big (} { frac {2} {1}} cdot { frac {2} {3}} { Big)} cdot { Big (} { frac {4} {3}} cdot { frac {4} {5}} { Big)} cdot { Big (} { frac {6} {5}} cdot { frac {6} {7}} { Big)} cdot { Big (} { frac {8} {7}} cdot { frac {8} {9}} { Big)} cdot ; cdots = prod _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {4n ^ {2}} {4n ^ {2} -1}} right).}

Konvergenční kritéria

Produkt kladných reálných čísel

{ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}

konverguje na nenulové reálné číslo právě tehdy, je-li součet

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} log (a_ {n})}

konverguje. To umožňuje překlad konvergenčních kritérií pro nekonečné součty do konvergenčních kritérií pro nekonečné produkty. Stejné kritérium platí pro produkty libovolných komplexních čísel (včetně záporných reálných hodnot), pokud je logaritmus chápán jako fixní větev logaritmu který splňuje ln (1) = 0, s podmínkou, že nekonečný součin se rozchází, když je nekonečně mnoho A_n spadají mimo doménu ln, zatímco konečně mnoho takových A_n lze v součtu ignorovat.

Pro produkty realit, ve kterých každý ${ displaystyle a_ {n} geq 1}$ , psaný jako například ${ displaystyle a_ {n} = 1 + p_ {n},}$ kde ${ displaystyle p_ {n} geq 0}$ , hranice

{ displaystyle 1+ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} leq prod _ {n = 1} ^ {N} left (1 + p_ {n} right) leq exp left ( sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} right)}

ukazují, že nekonečný součin konverguje, pokud je nekonečný součet p_n konverguje. To závisí na Monotónní věta o konvergenci. Můžeme ukázat konverzaci pozorováním, že pokud ${ displaystyle p_ {n} až 0}$ , pak

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (1 + p_ {n})} {p_ {n}}} = lim _ {x to 0} { frac { protokol (1 + x)} {x}} = 1,}

a podle limitní srovnávací test z toho vyplývá, že obě série

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} log (1 + p_ {n}) quad { text {a}} quad sum _ {n = 1} ^ { infty} p_ {n},}

jsou ekvivalentní, což znamená, že se oba sbíhají nebo se rozcházejí.

Stejný důkaz také ukazuje, že pokud ${ displaystyle a_ {n} = 1-q_ {n}}$ pro některé ${ displaystyle 0 leq q_ {n} <1,}$ pak ${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} (1-q_ {n})}$ konverguje na nenulové číslo právě tehdy ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} q_ {n}}$ konverguje.

Pokud série ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} log (a_ {n})}$ rozchází se ${ displaystyle - infty}$ , pak posloupnost dílčích produktů A_n konverguje k nule. Nekonečný produkt se říká rozcházejí se na nulu.^[1]

Pro případ, kdy ${ displaystyle p_ {n}}$ mít libovolné znaky, konvergence součtu ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} p_ {n}}$ nezaručuje konvergenci produktu ${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} (1 + p_ {n})}$ . Například pokud ${ displaystyle p_ {n} = { frac {(-1) ^ {n}} { sqrt {n}}}}$ , pak ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} p_ {n}}$ konverguje, ale ${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} (1 + p_ {n})}$ se rozchází na nulu. Pokud však ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} | p_ {n} |}$ je konvergentní, pak produkt ${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} (1 + p_ {n})}$ konverguje Absolutně- to znamená, že faktory mohou být přeskupeny v jakémkoli pořadí, aniž by došlo ke změně konvergence nebo mezní hodnoty nekonečného produktu.^[2] Také pokud ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} | p_ {n} | ^ {2}}$ je konvergentní, pak součet ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} p_ {n}}$ a produkt ${ displaystyle prod _ {n = 1} ^ { infty} (1 + p_ {n})}$ jsou buď konvergentní, nebo oba odlišné.^[3]

Reprezentace funkcí produktu

Jedním důležitým výsledkem nekonečných produktů je, že každý celá funkce F(z) (tj. každá funkce, která je.) holomorfní přes celý složité letadlo ) lze zapracovat do nekonečného produktu celých funkcí, z nichž každá má maximálně jeden kořen. Obecně, pokud F má kořen řádu m v původu a má další složité kořeny v u₁, u₂, u₃, ... (uvedeny s multiplicitami rovnými jejich objednávkám), poté

{ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ { phi (z)} prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {z} {u_ {n }}} right) exp left lbrace { frac {z} {u_ {n}}} + { frac {1} {2}} left ({ frac {z} {u_ {n} }} right) ^ {2} + cdots + { frac {1} { lambda _ {n}}} left ({ frac {z} {u_ {n}}} right) ^ { lambda _ {n}} right rbrace}

kde λ_n jsou nezáporná celá čísla, která lze zvolit, aby se produkt sblížil, a ${ displaystyle phi (z)}$ je nějaká celá funkce (což znamená, že výraz před produktem nebude mít žádné kořeny v komplexní rovině). Výše uvedená faktorizace není jedinečná, protože závisí na výběru hodnot pro λ_n. U většiny funkcí však bude existovat určité minimální nezáporné celé číslo p takhle λ_n = p dává konvergentní produkt zvaný kanonické zastoupení produktu. Tento p se nazývá hodnost kanonického produktu. V případě, že p = 0, toto má formu

{ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ { phi (z)} prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {z} {u_ {n }}}že jo).}

Lze to považovat za zobecnění základní věta o algebře, protože pro polynomy se produkt stává konečným a φ(z) je konstantní.

Kromě těchto příkladů je třeba věnovat zvláštní pozornost následujícím reprezentacím:

Funkce	Nekonečné zastoupení produktu	Poznámky
Jednoduchá tyč	${ displaystyle { begin {aligned} { frac {c} {cz}} & = prod _ {n = 1} ^ { infty} e ^ {{ frac {1} {n}} , vlevo ({ frac {z} {c}} vpravo) ^ {n}} { frac {1} {1-z}} & = prod _ {n = 0} ^ { infty} vlevo (1 + z ^ {2 ^ {n}} vpravo) end {zarovnáno}}}$
Funkce Sinc	${ displaystyle { frac { sin pi z} { pi z}} = prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - { frac {z ^ {2}} {n ^ {2}}} vpravo)}$	To je způsobeno Euler. Wallisův vzorec pro π je to zvláštní případ.
Reciproční gama funkce	${ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} { Gamma (z)}} & = ze ^ { gamma z} prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1+ { frac {z} {n}} vpravo) e ^ {- { frac {z} {n}}} & = z prod _ {n = 1} ^ { infty} { frac { 1 + { frac {z} {n}}} { left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {z}}} end {aligned}}}$	Schlömilch
Weierstrassova sigma funkce	${ displaystyle sigma (z) = z prod _ { omega v Lambda _ {*}} vlevo (1 - { frac {z} { omega}} vpravo) e ^ {{ frac {z ^ {2}} {2 omega ^ {2}}} + { frac {z} { omega}}}}$	Tady ${ displaystyle Lambda _ {*}}$ je mřížka bez původu.
Symbol Q-Pochhammer	${ displaystyle (z; q) _ { infty} = prod _ {n = 0} ^ { infty} (1-zq ^ {n})}$	Široce používán v q-analog teorie. The Eulerova funkce je zvláštní případ.
Funkce Ramanujan theta	${ displaystyle { begin {zarovnáno} f (a, b) & = sum _ {n = - infty} ^ { infty} a ^ { frac {n (n + 1)} {2}} b ^ { frac {n (n-1)} {2}} & = prod _ {n = 0} ^ { infty} (1 + a ^ {n + 1} b ^ {n}) ( 1 + a ^ {n} b ^ {n + 1}) (1-a ^ {n + 1} b ^ {n + 1}) end {zarovnáno}}}$	Vyjádření Trojitý produkt Jacobi, také použitý ve výrazu Jacobi funkce theta
Funkce Riemann zeta	${ displaystyle zeta (z) = prod _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {1-p_ {n} ^ {- z}}}}$	Tady p_n označuje n'th prvočíslo. Toto je zvláštní případ Produkt Euler.

Poslední z nich není produktová reprezentace stejného druhu diskutovaná výše, jako ζ není celá. Spíše výše uvedené zastoupení produktu ζ(z) konverguje přesně pro Re (z)> 1, kde se jedná o analytickou funkci. Technikami analytické pokračování, tuto funkci lze jedinečně rozšířit na analytickou funkci (stále označenou ζ(z)) na celé komplexní rovině kromě bodu z = 1, kde má jednoduché pól.

Viz také

Reference

^ Jeffreys, Harold; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). Metody matematické fyziky. Cambridge Mathematical Library (3. přepracované vydání). Cambridge University Press. str. 52. ISBN 1107393671.
^ Trench, William F. (1999). „Podmíněná konvergence nekonečných produktů“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 106: 646–651. doi:10.1080/00029890.1999.12005098. Citováno 10. prosince 2018.
^ Knopp, Konrad (1954). Teorie a aplikace nekonečných sérií. London: Blackie & Son Ltd.

Knopp, Konrad (1990). Teorie a aplikace nekonečných sérií. Dover Publications. ISBN 978-0-486-66165-0.
Rudin, Walter (1987). Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.). Boston: McGraw Hill. ISBN 0-07-054234-1.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

externí odkazy

[1] Jeffreys, Harold; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). Metody matematické fyziky. Cambridge Mathematical Library (3. přepracované vydání). Cambridge University Press. str. 52. ISBN 1107393671.

[Trench1999-2] Trench, William F. (1999). „Podmíněná konvergence nekonečných produktů“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 106: 646–651. doi:10.1080/00029890.1999.12005098. Citováno 10. prosince 2018.

[Knopp-3] Knopp, Konrad (1954). Teorie a aplikace nekonečných sérií. London: Blackie & Son Ltd.

[1]

[2]

[3]