Odlišné geometrické řady - Divergent geometric series

v matematika, an nekonečná geometrická řada formuláře

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} ar ^ {k} = a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots}$

je odlišný jen a jen pokud |r | ≥ 1. Metody pro součet divergentních řad jsou někdy užitečné a obvykle hodnotí divergentní geometrické řady na součet, který souhlasí s vzorcem pro konvergentní případ

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} ar ^ {k} = { frac {a} {1-r}}.}$

To platí pro jakoukoli metodu sčítání, která má vlastnosti pravidelnost, linearita a stabilita.

Příklady

Ve vzestupném pořadí obtížnosti lze shrnout:

• 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·, jehož společný poměr je −1
• 1 − 2 + 4 − 8 + · · ·, jehož společný poměr je −2
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·, jehož společný poměr je 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·, jehož společný poměr je 1.

Motivace ke studiu

Je užitečné zjistit, které metody součtu vytvářejí vzorec geometrické řady, pro které jsou běžné poměry. Jednou z aplikací pro tyto informace je tzv Princip Borel-Okada: Pokud metoda pravidelného sčítání součty Σzⁿ do 1 / (1 - z) pro všechny z v podmnožině S z složité letadlo, vzhledem k určitým omezením na S, pak metoda také dává analytické pokračování jakékoli jiné funkce F(z) = ΣA_nzⁿ na křižovatce S s Hvězda Mittag-Leffler pro F.^[1]

Sumarizace podle regionů

Otevřete disk jednotky

Obyčejný součet je úspěšný pouze pro běžné poměry |z| < 1.

Uzavřený disk jednotky

• Cesàro součet
• Abelův součet

Větší disky

• Eulerův součet

Polorovina

Série je Borel lze shrnout pro každého z se skutečnou částí <1. Každá taková řada je také sumarizovatelná zobecněnou Eulerovou metodou (E, A) pro vhodné A.

Zastíněné letadlo

Určitý metody momentové konstanty kromě Borelova součtu lze sčítat geometrické řady na celé hvězdě Mittag-Leffler funkce 1 / (1 - z), tedy pro všechny z kromě paprsku z ≥ 1.^[2]

Všude

Poznámky

Reference