Darbouxova věta (analýza) - Darbouxs theorem (analysis) - Wikipedia

V matematice Darbouxova věta je teorém v skutečná analýza, pojmenoval podle Jean Gaston Darboux. Uvádí, že každá funkce, která je výsledkem diferenciace jiné funkce má vlastnost střední hodnoty: obraz z interval je také interval.

Když ƒ je průběžně diferencovatelné (ƒ v C¹([A,b])), je to důsledek věta o střední hodnotě. Ale i když ƒ ′ je ne spojitá, Darbouxova věta zavádí přísné omezení toho, čím to může být.

Darbouxova věta

Nechat ${ displaystyle I}$ být uzavřený interval, ${ displaystyle f colon I to mathbb {R}}$ reálně ocenitelná diferencovatelná funkce. Pak ${ displaystyle f '}$ má vlastnost střední hodnoty: Pokud ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou body v ${ displaystyle I}$ s ${ displaystyle a$, pak pro každého ${ displaystyle y}$ mezi ${ displaystyle f '(a)}$ a ${ displaystyle f '(b)}$, existuje ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle (a, b)}$ takhle ${ displaystyle f '(x) = y}$.^[1][2][3]

Důkazy

Důkaz 1. První důkaz je založen na věta o extrémní hodnotě.

Li ${ displaystyle y}$ rovná se ${ displaystyle f '(a)}$ nebo ${ displaystyle f '(b)}$, pak nastavení ${ displaystyle x}$ rovná ${ displaystyle a}$ nebo ${ displaystyle b}$dává požadovaný výsledek. Nyní předpokládejme, že ${ displaystyle y}$ je striktně mezi ${ displaystyle f '(a)}$ a ${ displaystyle f '(b)}$, a zejména to ${ displaystyle f '(a)> y> f' (b)}$. Nechat ${ displaystyle varphi tlustého střeva I až mathbb {R}}$ takhle ${ displaystyle varphi (t) = f (t) -yt}$. Pokud tomu tak je ${ displaystyle f '(a)$ upravujeme náš níže uvedený důkaz, místo toho to tvrdíme ${ displaystyle varphi}$ má své minimum na ${ displaystyle [a, b]}$.

Od té doby ${ displaystyle varphi}$ je spojitý v uzavřeném intervalu ${ displaystyle [a, b]}$, maximální hodnota ${ displaystyle varphi}$ na ${ displaystyle [a, b]}$ je dosaženo v určitém okamžiku v ${ displaystyle [a, b]}$, podle věta o extrémní hodnotě.

Protože ${ displaystyle varphi '(a) = f' (a) -y> 0}$, víme ${ displaystyle varphi}$ nemůže dosáhnout své maximální hodnoty při ${ displaystyle a}$. (Pokud ano, pak ${ displaystyle ( varphi (t) - varphi (a)) / (t-a) leq 0}$ pro všechny ${ displaystyle t v [a, b]}$, což znamená ${ displaystyle varphi '(a) leq 0}$.)

Stejně tak proto ${ displaystyle varphi '(b) = f' (b) -y <0}$, víme ${ displaystyle varphi}$ nemůže dosáhnout své maximální hodnoty při ${ displaystyle b}$.

Proto, ${ displaystyle varphi}$ musí v určitém okamžiku dosáhnout své maximální hodnoty ${ displaystyle x in (a, b)}$. Proto tím, že Fermatova věta, ${ displaystyle varphi '(x) = 0}$, tj. ${ displaystyle f '(x) = y}$.

Důkaz 2. Druhý důkaz je založen na kombinaci věta o střední hodnotě a věta o střední hodnotě.^[1][2]

Definovat ${ displaystyle c = { frac {1} {2}} (a + b)}$.Pro ${ displaystyle a leq t leq c,}$ definovat ${ displaystyle alpha (t) = a}$ a ${ displaystyle beta (t) = 2t-a}$.A pro ${ displaystyle c leq t leq b,}$ definovat ${ displaystyle alpha (t) = 2t-b}$ a ${ displaystyle beta (t) = b}$.

Tedy pro ${ displaystyle t in (a, b)}$ my máme ${ displaystyle a leq alpha (t) < beta (t) leq b}$.Nyní definujte ${ displaystyle g (t) = { frac {(f circ beta) (t) - (f circ alpha) (t)} { beta (t) - alpha (t)}}}$ s ${ displaystyle a$.${ displaystyle , g}$ je nepřetržitý v ${ displaystyle (a, b)}$.

Dále ${ displaystyle g (t) rightarrow {f} '(a)}$ když ${ displaystyle t rightarrow a}$ a ${ displaystyle g (t) rightarrow {f} '(b)}$ když ${ displaystyle t rightarrow b}$; tedy z věty o střední hodnotě, pokud ${ displaystyle y in ({f} '(a), {f}' (b))}$ pak existuje ${ displaystyle t_ {0} in (a, b)}$ takhle ${ displaystyle g (t_ {0}) = y}$Opravy ${ displaystyle t_ {0}}$.

Z věty o střední hodnotě existuje bod ${ displaystyle x in ( alpha (t_ {0}), beta (t_ {0}))}$ takhle ${ displaystyle {f} '(x) = g (t_ {0})}$.Proto, ${ displaystyle {f} '(x) = y}$.

Funkce Darboux

A Funkce Darboux je funkce se skutečnou hodnotou ƒ který má "vlastnost střední hodnoty": pro jakékoli dvě hodnoty A a b v doméně ƒa jakékoli y mezi ƒ(A) a ƒ(b), tam jsou některé C mezi A a b s ƒ(C) = y.^[4] Podle věta o střední hodnotě, každý spojitá funkce na nemovitý interval je funkce Darboux. Příspěvek společnosti Darboux měl ukázat, že existují diskontinuální funkce Darboux.

Každý diskontinuita funkce Darboux je nezbytný, to znamená, že v jakémkoli bodě diskontinuity neexistuje alespoň jeden z limitů levé a pravé ruky.

Příkladem funkce Darboux, která je v jednom bodě nespojitá, je sinusová křivka topologa funkce:

${ displaystyle x mapsto { begin {cases} sin (1 / x) & { text {for}} x neq 0, 0 & { text {for}} x = 0. end {případy }}}$

Podle Darbouxovy věty je derivací jakékoli diferencovatelné funkce funkce Darboux. Zejména derivace funkce ${ displaystyle x mapsto x ^ {2} sin (1 / x)}$ je funkce Darboux, i když v jednom okamžiku není spojitá.

Příklad funkce Darboux, která je nikde nepřetržitý je Funkce Conway base 13.

Funkce Darboux jsou celkem obecnou třídou funkcí. Ukazuje se, že každá skutečná funkce ƒ na reálném řádku lze zapsat jako součet dvou funkcí Darboux.^[5] To zejména znamená, že třída funkcí Darboux není při přidání uzavřena.

A silně Darboux funkce je takový, pro který je obrazem každého (neprázdného) otevřeného intervalu celá reálná čára. The Funkce Conway base 13 je opět příkladem.^[4]

Poznámky

externí odkazy

• Tento článek obsahuje materiál z Darbouxovy věty PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.
• „Darbouxova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]