Gegenbauerovy polynomy - Gegenbauer polynomials

v matematika, Gegenbauerovy polynomy nebo ultrasférické polynomy C^(α)
_n(X) jsou ortogonální polynomy na intervalu [−1,1] vzhledem k váhová funkce (1 − X²)^α–1/2. Zobecňují Legendární polynomy a Čebyševovy polynomy a jsou to zvláštní případy Jacobiho polynomy. Jsou pojmenovány po Leopold Gegenbauer.

Charakterizace

• 

  Gegenbauerovy polynomy s α=1

• 

  Gegenbauerovy polynomy s α=2

• 

  Gegenbauerovy polynomy s α=3

• 

  Animace zobrazující polynomy na xα- letadlo pro první 4 hodnoty n.

K dispozici je řada charakterizací Gegenbauerových polynomů.

• Polynomy lze definovat z hlediska jejich generující funkce (Stein & Weiss 1971, §IV.2):

${ displaystyle { frac {1} {(1-2xt + t ^ {2}) ^ { alpha}}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} C_ {n} ^ {( alpha)} (x) t ^ {n}.}$

• Polynomy splňují relace opakování (Suetin 2001 ):

${ displaystyle { begin {aligned} C_ {0} ^ { alpha} (x) & = 1 C_ {1} ^ { alpha} (x) & = 2 alpha x C_ {n} ^ { alpha} (x) & = { frac {1} {n}} [2x (n + alpha -1) C_ {n-1} ^ { alpha} (x) - (n + 2 alpha -2) C_ {n-2} ^ { alpha} (x)]. End {zarovnáno}}}$

• Gegenbauerovy polynomy jsou konkrétním řešením Gegenbauerovy diferenciální rovnice (Suetin 2001 ):

${ displaystyle (1-x ^ {2}) y '' - (2 alfa +1) xy '+ n (n + 2 alfa) y = 0. ,}$

Když α = 1/2, rovnice se redukuje na Legendrovu rovnici a Gegenbauerovy polynomy se redukují na Legendární polynomy.

Když α = 1, rovnice se redukuje na Čebyševovu diferenciální rovnici a Gegenbauerovy polynomy se redukují na Čebyševovy polynomy druhého druhu.^[1]

• Jsou uvedeny jako Gaussova hypergeometrická řada v určitých případech, kdy je řada ve skutečnosti konečná:

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alpha)} (z) = { frac {(2 alpha) _ {n}} {n!}} , _ {2} F_ {1} left ( -n, 2 alpha + n; alpha + { frac {1} {2}}; { frac {1-z} {2}} vpravo).}$

(Abramowitz a Stegun str. 561 ). Zde (2α)_n je rostoucí faktoriál. Výslovně,

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)} (z) = součet _ {k = 0} ^ { lfloor n / 2 rfloor} (- 1) ^ {k} { frac { gama (n-k + alpha)} { Gamma ( alpha) k! (n-2k)!}} (2z) ^ {n-2k}.}$

• Jsou to zvláštní případy Jacobiho polynomy (Suetin 2001 ):

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alpha)} (x) = { frac {(2 alpha) _ {n}} {( alpha + { frac {1} {2}}) _ { n}}} P_ {n} ^ {( alpha -1/2, alpha -1/2)} (x).}$

ve kterém ${ displaystyle ( theta) _ {n}}$ představuje rostoucí faktoriál z ${ displaystyle theta}$.

Jeden proto také má Rodriguesův vzorec

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)} (x) = { frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} { frac { gama ( alfa + { frac {1} {2}}) Gamma (n + 2 alpha)} { Gamma (2 alpha) Gamma ( alpha + n + { frac {1} {2}})}}} (1-x ^ {2}) ^ {- alpha +1/2} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} left [(1-x ^ {2}) ^ {n + alpha -1/2} right].}$

Ortogonalita a normalizace

Pro pevné α, polynomy jsou kolmé na [−1, 1] vzhledem k váhové funkci (Abramowitz & Stegun str. 774 )

${ displaystyle w (z) = left (1-z ^ {2} right) ^ { alpha - { frac {1} {2}}}.}$

Pro vtip, pro n ≠ m,

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} C_ {n} ^ {( alpha)} (x) C_ {m} ^ {( alpha)} (x) (1-x ^ {2} ) ^ { alpha - { frac {1} {2}}} , dx = 0.}$

Normalizují se

${ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} left [C_ {n} ^ {( alpha)} (x) right] ^ {2} (1-x ^ {2}) ^ { alpha - { frac {1} {2}}} , dx = { frac { pi 2 ^ {1-2 alpha} Gamma (n + 2 alpha)} {n! (n + alpha) [ Gamma ( alpha)] ^ {2}}}.}$

Aplikace

Gegenbauerovy polynomy vypadají přirozeně jako rozšíření Legendrových polynomů v kontextu teorie potenciálu a harmonická analýza. The Newtonovský potenciál v Rⁿ má expanzi, platí pro α = (n − 2)/2,

${ displaystyle { frac {1} {| mathbf {x} - mathbf {y} | ^ {n-2}}} = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {| mathbf {x} | ^ {k}} {| mathbf {y} | ^ {k + n-2}}} C_ {k} ^ {( alpha)} ( mathbf {x} cdot mathbf {y}).}$

Když n = 3, toto dává Legendrovu polynomiální expanzi gravitační potenciál. Podobné výrazy jsou k dispozici pro rozšíření Poissonovo jádro v kouli (Stein & Weiss 1971 ).

Z toho vyplývá, že množství ${ displaystyle C_ {k} ^ {((n-2) / 2)} ( mathbf {x} cdot mathbf {y})}$ jsou sférické harmonické, pokud je považována za funkci X pouze. Ve skutečnosti jsou přesně tím zonální sférické harmonické, až do normalizační konstanty.

Gegenbauerovy polynomy se také objevují v teorii Pozitivní funkce.

The Nerovnost Askey – Gasper čte

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {n} { frac {C_ {j} ^ { alpha} (x)} {2 alpha + j-1 vyberte j}} geq 0 qquad (x geq -1, , alpha geq 1/4).}$

Viz také

• Rogersovy polynomy, q-analog Gegenbauerových polynomů
• Čebyševovy polynomy
• Romanovského polynomy

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 22“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 773. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.*Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Ortogonální polynomy“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Úvod do Fourierovy analýzy na euklidovských prostorech, Princeton, N.J .: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9.
• Suetin, P.K. (2001) [1994], „Ultrasférické polynomy“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.

Charakteristický