Věta Stolz – Cesàro - Stolz–Cesàro theorem - Wikipedia

v matematika, Věta Stolz – Cesàro je kritériem pro prokázání konvergence posloupnosti. Věta je pojmenována po matematici Otto Stolz a Ernesto Cesàro, který uvedl a prokázal to poprvé.

Větu Stolz – Cesàro lze považovat za zobecnění Cesàro znamená, ale také jako l'Hôpitalovo pravidlo pro sekvence.

Prohlášení věty pro ∙/∞ případ

Nechat ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ a ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ být dva sekvence z reálná čísla. Předpokládat, že ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ je přísně monotónní a divergentní sekvence (tj. přísně se zvyšuje a blíží se ${ displaystyle + infty}$nebo přísně klesá a blíží se ${ displaystyle - infty}$) a následující omezit existuje:

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = l. }$

Potom limit

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l. }$

Prohlášení věty pro 0/0 případ

Nechat ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ a ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ být dva sekvence z reálná čísla. Předpokládejme, že teď ${ displaystyle (a_ {n}) až 0}$ a ${ displaystyle (b_ {n}) až 0}$ zatímco ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ je přísně monotónní. Li

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = l, }$

pak

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = l. }$^[1]

Důkazy

Důkaz věty pro ${ displaystyle cdot / infty}$ případ

Případ 1: předpokládat ${ displaystyle (b_ {n})}$ přísně roste a liší se ${ displaystyle + infty}$, a ${ displaystyle l < infty}$. Podle hypotézy to máme pro všechny ${ displaystyle epsilon / 2> 0}$ tady existuje ${ displaystyle nu> 0}$ takhle ${ displaystyle forall n> nu}$

${ displaystyle left | , { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} - l , right | <{ frac { epsilon} {2}},}$

což znamená

${ displaystyle l- epsilon / 2 <{ frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} nu.}$

Od té doby ${ displaystyle (b_ {n})}$ se přísně zvyšuje, ${ displaystyle b_ {n + 1} -b_ {n}> 0}$a následující blokování

${ displaystyle (l- epsilon / 2) (b_ {n + 1} -b_ {n}) nu}$.

Dále si toho všimneme

${ displaystyle a_ {n} = [(a_ {n} -a_ {n-1}) + tečky + (a _ { nu +2} -a _ { nu +1})] + a _ { nu + 1}}$

tedy aplikací výše uvedené nerovnosti na každý z výrazů v hranatých závorkách získáme

${ displaystyle { begin {aligned} & (l- epsilon / 2) (b_ {n} -b _ { nu +1}) + a _ { nu +1} = (l- epsilon / 2) [ (b_ {n} -b_ {n-1}) + dots + (b _ { nu +2} -b _ { nu +1})] + a _ { nu +1}$

Nyní, protože ${ displaystyle b_ {n} až + infty}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$, tady je ${ displaystyle n_ {0}> 0}$ takhle ${ displaystyle b_ {n} gneq 0}$ pro všechny ${ displaystyle n> n_ {0}}$, a můžeme rozdělit dvě nerovnosti ${ displaystyle b_ {n}}$ pro všechny ${ displaystyle n> max { nu, n_ {0} }}$

${ displaystyle (l- epsilon / 2) + { frac {a _ { nu +1} -b _ { nu +1} (l- epsilon / 2)} {b_ {n}}} <{ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} <(l + epsilon / 2) + { frac {a _ { nu +1} -b _ { nu +1} (l + epsilon / 2)} {b_ {n}}}.}$

Tyto dvě sekvence (které jsou definovány pouze pro ${ displaystyle n> n_ {0}}$ jak by mohl být ${ displaystyle N leq n_ {0}}$ takhle ${ displaystyle b_ {N} = 0}$)

${ displaystyle c_ {n} ^ { pm}: = { frac {a _ { nu +1} -b _ { nu +1} (l pm epsilon / 2)} {b_ {n}}} }$

jsou od té doby nekonečně malé ${ displaystyle b_ {n} až + infty}$ a čitatel je konstantní číslo, tedy pro všechny ${ displaystyle epsilon / 2> 0}$ existují ${ displaystyle n _ { pm}> n_ {0}> 0}$, takový, že

${ displaystyle { begin {aligned} & | c_ {n} ^ {+} | < epsilon / 2, quad forall n> n _ {+}, & | c_ {n} ^ {-} | < epsilon / 2, quad forall n> n _ {-}, end {zarovnáno}}}$

proto

${ displaystyle l- epsilon max lbrace nu, n _ { pm} rbrace =: N> 0,}$

který uzavírá důkaz. Případ s ${ displaystyle (b_ {n})}$ přísně klesající a odchylující se od ${ displaystyle - infty}$, a ${ displaystyle l < infty}$ je podobný.

Případ 2: Předpokládáme ${ displaystyle (b_ {n})}$ přísně roste a liší se ${ displaystyle + infty}$, a ${ displaystyle l = + infty}$. Postupujeme jako dříve, pro všechny ${ displaystyle { frac {3} {2}} M> 0}$ tady existuje ${ displaystyle nu> 0}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle n> nu}$

${ displaystyle { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M.}$

Opět platí, že aplikováním výše uvedené nerovnosti na každý z termínů v hranatých závorkách získáme

${ displaystyle a_ {n}> { frac {3} {2}} M (b_ {n} -b _ { nu +1}) + a _ { nu +1}, quad forall n> nu ,}$

a

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + { frac {a _ { nu +1} - { frac {3} { 2}} Mb _ { nu +1}} {b_ {n}}}, quad forall n> max { nu, n_ {0} }.}$

Sekvence ${ displaystyle (c_ {n}) _ {n> n_ {0}}}$ definován

${ displaystyle c_ {n}: = { frac {a _ { nu +1} - { frac {3} {2}} Mb _ { nu +1}} {b_ {n}}}}$

je tedy nekonečně malý

${ displaystyle forall M / 2> 0 , existuje { bar {n}}> n_ {0}> 0 { text {takový, že}} - M / 2 { bar {n}},}$

kombinací této nerovnosti s předchozí jsme dospěli k závěru

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + c_ {n}> M, quad forall n> max { nu, { bar {n}} } =: N.}$

Důkazy ostatních případů s ${ displaystyle (b_ {n})}$ přísně roste nebo klesá a blíží se ${ displaystyle + infty}$ nebo ${ displaystyle - infty}$ respektive a ${ displaystyle l = pm infty}$ všechny postupují stejným způsobem.

Důkaz věty pro ${ displaystyle 0/0}$ případ

Případ 1: nejprve zvážíme případ s ${ displaystyle l < infty}$ a ${ displaystyle (b_ {n})}$ přísně se zvyšuje. Tentokrát pro každého ${ displaystyle m> 0}$, můžeme psát

${ displaystyle a_ {n} = (a_ {n} -a_ {n-1}) + tečky + (a_ {m + nu +1} -a_ {m + nu}) + a_ {m + nu}, }$

a

${ displaystyle { begin {aligned} & (l- epsilon / 2) (b_ {n} -b _ { nu + m}) + a _ { nu + m} = (l- epsilon / 2) [ (b_ {n} -b_ {n-1}) + dots + (b _ { nu + m + 1} -b _ { nu + m})] + a _ { nu + m}$

Tyto dvě sekvence

${ displaystyle c_ {m} ^ { pm}: = { frac {a _ { nu + m} -b _ { nu + m} (l pm epsilon / 2)} {b_ {n}}} }$

jsou nekonečně malé, protože hypotehsis ${ displaystyle a_ {m}, b_ {m} až 0}$, tedy pro všechny ${ displaystyle epsilon / 2> 0}$ existují ${ displaystyle n ^ { pm}> 0}$ takhle

${ displaystyle { begin {aligned} & | c_ {m} ^ {+} | < epsilon / 2, quad forall m> n _ {+}, & | c_ {m} ^ {-} | < epsilon / 2, quad forall m> n _ {-}, end {zarovnáno}}}$

tedy výběr ${ displaystyle m}$ přiměřeně (tj. při zohlednění limitu s ohledem na ${ displaystyle m}$) získáváme

${ displaystyle l- epsilon max { nu, n_ {0} },}$

který uzavírá důkaz.

Případ 2: Předpokládáme ${ displaystyle l = + infty}$ a ${ displaystyle (b_ {n})}$ přísně se zvyšuje. pro všechny ${ displaystyle { frac {3} {2}} M> 0}$ tady existuje ${ displaystyle nu> 0}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle n> nu}$

${ displaystyle { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M.}$

Proto pro každého ${ displaystyle m> 0}$

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + { frac {a _ { nu + m} - { frac {3} { 2}} Mb _ { nu + m}} {b_ {n}}}, quad forall n> max { nu, n_ {0} }.}$

Sekvence

${ displaystyle c_ {m}: = { frac {a _ { nu + m} - { frac {3} {2}} Mb _ { nu + m}} {b_ {n}}}}$

konverguje k ${ displaystyle 0}$ (vedení ${ displaystyle n}$ pevné), tedy

${ displaystyle forall M / 2> 0 , existuje { bar {n}}> 0 { text {takový, že}} - M / 2 { bar {n}},}$

a výběr ${ displaystyle m}$ pohodlně uzavřeme důkaz

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}> { frac {3} {2}} M + c_ {m}> M, quad forall n> max { nu, n_ {0} }.}$

Aplikace a příklady

Věta o ${ displaystyle cdot / infty}$ případ má několik pozoruhodných důsledků, které jsou užitečné při výpočtu limitů.

Aritmetický průměr

Nechat ${ displaystyle (x_ {n})}$ být posloupnost reálných čísel, která konverguje k ${ displaystyle l}$, definovat

${ displaystyle a_ {n}: = součet _ {m = 1} ^ {n} x_ {m} = x_ {1} + tečky + x_ {n}, quad b_ {n}: = n}$

pak ${ displaystyle (b_ {n})}$ se přísně zvyšuje a rozchází se ${ displaystyle + infty}$. Vypočítáváme

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = lim _ {n do infty} x_ {n + 1} = lim _ {n do infty} x_ {n} = l}$

proto

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {x_ {1} + dots + x_ {n}} {n}} = lim _ {n to infty} x_ {n}. }$

Vzhledem k jakékoli posloupnosti ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n geq 1}}$ reálných čísel, předpokládejme to

${ displaystyle lim _ {n až infty} x_ {n}}$

existuje (konečný nebo nekonečný)

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {x_ {1} + dots + x_ {n}} {n}} = lim _ {n to infty} x_ {n}. }$

Geometrický průměr

Nechat ${ displaystyle (x_ {n})}$ být posloupností kladných reálných čísel konvergujících k ${ displaystyle l}$ a definovat

${ displaystyle a_ {n}: = log (x_ {1} cdots x_ {n}), quad b_ {n}: = n,}$

opět počítáme

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} = lim _ {n do infty} log { Big (} { frac {x_ {1} cdots x_ {n + 1}} {x_ {1} cdots x_ {n}}} { Big)} = lim _ {n to infty} log (x_ {n + 1}) = lim _ {n to infty} log (x_ {n}) = log (l),}$

kde jsme použili skutečnost, že logaritmus je spojitý. Tím pádem

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (x_ {1} cdots x_ {n})} {n}} = lim _ {n to infty} log { Big (} (x_ {1} cdots x_ {n}) ^ { frac {1} {n}} { Big)} = log (l),}$

protože logaritmus je spojitý i injektivní, můžeme z toho usoudit

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {x_ {1} cdots x_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n}}$.

Vzhledem k jakékoli posloupnosti ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n geq 1}}$ (přísně) kladných reálných čísel, předpokládejme, že

${ displaystyle lim _ {n až infty} x_ {n}}$

existuje (konečný nebo nekonečný)

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {x_ {1} cdots x_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n}. }$

Předpokládejme, že máme sekvenci ${ displaystyle (y_ {n}) _ {n geq 1}}$ a my jsme požádáni o výpočet

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {y_ {n}}},}$

definování ${ displaystyle y_ {0} = 1}$ a ${ displaystyle x_ {n} = y_ {n} / y_ {n-1}}$ získáváme

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {x_ {1} dots x_ {n}}} = lim _ {n to infty} { sqrt [{ n}] { frac {y_ {1} tečky y_ {n}} {y_ {0} cdot y_ {1} tečky y_ {n-1}}}}} = lim _ {n to infty } { sqrt [{n}] {y_ {n}}},}$

použijeme-li výše uvedenou vlastnost

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {y_ {n}}} = lim _ {n to infty} x_ {n} = lim _ {n do infty} { frac {y_ {n}} {y_ {n-1}}}.}$

Tento poslední formulář je obvykle nejužitečnější pro výpočet limitů

Vzhledem k jakékoli posloupnosti ${ displaystyle (y_ {n}) _ {n geq 1}}$ (přísně) kladných reálných čísel, předpokládejme, že

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {y_ {n + 1}} {y_ {n}}}}$

existuje (konečný nebo nekonečný)

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {y_ {n}}} = lim _ {n to infty} { frac {y_ {n + 1}} {y_ {n}}}.}$

Příklady

Příklad 1

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {n}} = lim _ {n to infty} { frac {n + 1} {n}} = 1 .}$

Příklad 2

${ displaystyle { begin {aligned} lim _ {n to infty} { frac { sqrt [{n}] {n!}} {n}} & = lim _ {n to infty } { frac {(n + 1)! (n ^ {n})} {n! (n + 1) ^ {n + 1}}} & = lim _ {n to infty} { frac {n ^ {n}} {(n + 1) ^ {n}}} = lim _ {n to infty} { frac {1} {(1 + { frac {1} {n }}) ^ {n}}} = { frac {1} {e}}. end {zarovnáno}}}$

použili jsme reprezentaci ${ displaystyle e}$ jako limit posloupnosti v posledním kroku.

Příklad 3

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (n!)} {n log (n)}} = lim _ {n to infty} { frac { log ({ sqrt [{n}] {n!}})} { log (n)}},}$

všimněte si toho

${ displaystyle lim _ {n to infty} { sqrt [{n}] {n!}} = lim _ {n to infty} { frac {(n + 1)!} {n !}} = lim _ {n to infty} (n + 1)}$

proto

${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac { log (n!)} {n log (n)}} = lim _ {n to infty} { frac { log (n + 1)} { log (n)}} = 1.}$

Příklad 4

Zvažte sekvenci

${ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n} { frac {n!} {n ^ {n}}}}$

toto lze zapsat jako

${ displaystyle a_ {n} = b_ {n} cdot c_ {n}, quad b_ {n}: = (- 1) ^ {n}, c_ {n}: = { Big (} { frac { sqrt [{n}] {n!}} {n}} { Big)} ^ {n},}$

sekvence ${ displaystyle (b_ {n})}$ je omezen (a osciluje), zatímco

${ displaystyle lim _ {n to infty} { Big (} { frac { sqrt [{n}] {n!}} {n}} { Big)} ^ {n} = lim _ {n to infty} (1 / e) ^ {n} = 0,}$

podle známý limit, protože ${ displaystyle 1 / e <1}$; proto

${ displaystyle lim _ {n to infty} (- 1) ^ {n} { frac {n!} {n ^ {n}}} = 0.}$

Dějiny

Případ ∞ / ∞ je uveden a prokázán na stranách 173–175 Stolzovy knihy z roku 1885 a také na straně 54 článku Cesàro z roku 1888.

Jeví se jako problém 70 v Pólyi a Szegő (1925).

Obecná forma

Prohlášení

Obecná forma věty Stolz – Cesàro je následující:^[2] Li ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ a ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ jsou dvě sekvence takové, že ${ displaystyle (b_ {n}) _ {n geq 1}}$ je monotónní a neomezený, pak:

${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}} leq liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n + 1} -a_ {n}} {b_ {n + 1} -b_ {n}}}.}$

Důkaz

Místo dokazování předchozího tvrzení dokážeme trochu jiné; nejprve zavedeme notaci: let ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}}$ být libovolná sekvence, její částečný součet bude označen ${ displaystyle A_ {n}: = součet _ {m geq 1} ^ {n} a_ {m}}$. Ekvivalentní prohlášení, které dokážeme, je:

Nechat ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n geq 1}, (b_ {n}) _ { geq 1}}$ být libovolné dvě sekvence reálná čísla takhle

• ${ displaystyle b_ {n}> 0, quad forall n in { mathbb {Z}} _ {> 0}}$,
• ${ displaystyle lim _ {n to infty} B_ {n} = + infty}$,

pak

${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq liminf _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}.}$

Důkaz rovnocenného prohlášení

Nejprve si všimneme, že:

• ${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ drží podle definice limit superior a limit inferior;
• ${ displaystyle liminf _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} leq liminf _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}}}$ platí právě tehdy ${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$ protože ${ displaystyle liminf _ {n to infty} x_ {n} = - limsup _ {n to infty} (- x_ {n})}$ pro libovolnou sekvenci ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n geq 1}}$.

Musíme to tedy jen ukázat ${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$. Li ${ displaystyle L: = limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = + infty}$ není co dokazovat, proto můžeme předpokládat ${ displaystyle L <+ infty}$ (může to být konečný nebo ${ displaystyle - infty}$). Podle definice ${ displaystyle limsup}$, pro všechny ${ displaystyle l> L}$ existuje přirozené číslo ${ displaystyle nu> 0}$ takhle

${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} nu.}$

Tuto nerovnost můžeme použít k psaní

${ displaystyle A_ {n} = A _ { nu} + a _ { nu +1} + tečky + a_ {n} nu,}$

Protože ${ displaystyle b_ {n}> 0}$, také máme ${ displaystyle B_ {n}> 0}$ a můžeme je rozdělit ${ displaystyle B_ {n}}$ dostat

${ displaystyle { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} <{ frac {A _ { nu} -lB _ { nu}} {B_ {n}}} + l, quad forall n> nu.}$

Od té doby ${ displaystyle B_ {n} až + infty}$ tak jako ${ displaystyle n až + infty}$, sekvence

${ displaystyle { frac {A _ { nu} -lB _ { nu}} {B_ {n}}} na 0 { text {as}} n na + infty { text {(uchování}} nu { text {fixed)}},}$

a získáme

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq l, quad forall l> L,}$

Podle definice nejmenší horní mez, to přesně znamená

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {A_ {n}} {B_ {n}}} leq L = limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n }} {b_ {n}}},}$

a máme hotovo.

Důkaz původního prohlášení

Nyní vezměte ${ displaystyle (a_ {n}), (b_ {n})}$ jako ve výroku o obecné formě Stolz-Cesàro věty a definovat

${ displaystyle alpha _ {1} = a_ {1}, alpha _ {k} = a_ {k} -a_ {k-1}, , forall k> 1 quad beta _ {1} = b_ {1}, beta _ {k} = b_ {k} -b_ {k-1} , pro všechny k> 1}$

od té doby ${ displaystyle (b_ {n})}$ je přísně monotónní (můžeme předpokládat například přísně rostoucí), ${ displaystyle beta _ {n}> 0}$ pro všechny ${ displaystyle n}$ a od té doby ${ displaystyle b_ {n} až + infty}$ taky ${ displaystyle mathrm {B} _ {n} = b_ {1} + (b_ {2} -b_ {1}) + tečky + (b_ {n} -b_ {n-1}) = b_ {n } do + infty}$, tak můžeme použít teorém, který jsme právě dokázali ${ displaystyle ( alpha _ {n}), ( beta _ {n})}$ (a jejich dílčí částky ${ displaystyle ( mathrm {A} _ {n}), ( mathrm {B} _ {n})}$)

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} = limsup _ {n to infty} { frac { mathrm {A} _ {n}} { mathrm {B} _ {n}}} leq limsup _ {n to infty} { frac { alpha _ {n}} { beta _ {n}}} = limsup _ {n to infty} { frac {a_ {n} -a_ {n-1}} {b_ {n} -b_ {n-1}}},}$

což je přesně to, co jsme chtěli dokázat.

Reference

• Mureşan, Marian (2008), Konkrétní přístup k klasické analýze, Berlín: Springer, str. 85–88, ISBN  978-0-387-78932-3.
• Stolz, Otto (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Lipsko: Teubners, str. 173–175.
• Cesàro, Ernesto (1888), „Sur la Convergence des séries“, Nouvelles annales de mathématiques, Řada 3, 7: 49–59.
• Pólya, Georgi; Szegő, Gábor (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis, Já, Berlín: Springer.
• A. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Skutečná analýza intervalů. Springer, 2014, ISBN  9788132221487, str. 59-62
• J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Věrohodná a originální rozšíření pravidla společnosti L’Hospital. Mathematics Magazine, sv. 85, č. 1 (únor 2012), s. 52–60 (JSTOR )

externí odkazy

• Pravidlo l'Hôpital a Stolz-Cesàroova věta na imomath.com
• Důkaz věty Stolz – Cesàro na PlanetMath.

Poznámky

Tento článek obsahuje materiál ze Stolz-Cesarovy věty PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.