Abelsův součtový vzorec - Abels summation formula - Wikipedia

v matematika, Abelův součtový vzorec, představil Niels Henrik Abel, se intenzivně používá v teorie čísel a studium speciální funkce počítat série.

Vzorec

Nechat ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n = 0} ^ { infty}}$ být sekvence z nemovitý nebo komplexní čísla. Definujte funkci částečného součtu ${ displaystyle A}$ podle

{ displaystyle A (t) = součet _ {0 leq n leq t} a_ {n}}

pro jakékoli reálné číslo ${ displaystyle t}$ . Opravte skutečná čísla ${ displaystyle x$ a nechte ${ displaystyle phi}$ být průběžně diferencovatelné funkce na ${ displaystyle [x, y]}$ . Pak:

{ displaystyle sum _ {x

Vzorec je odvozen použitím integrace po částech pro Riemann – Stieltjesův integrál k funkcím ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle phi}$ .

Variace

Vezmeme-li levý koncový bod ${ displaystyle -1}$ dává vzorec

{ displaystyle sum _ {0 leq n leq x} a_ {n} phi (n) = A (x) phi (x) - int _ {0} ^ {x} A (u) phi '(u) , du.}

Pokud sekvence ${ displaystyle (a_ {n})}$ je indexován od ${ displaystyle n = 1}$ , pak můžeme formálně definovat ${ displaystyle a_ {0} = 0}$ . Předchozí vzorec se stane

{ displaystyle sum _ {1 leq n leq x} a_ {n} phi (n) = A (x) phi (x) - int _ {1} ^ {x} A (u) phi '(u) , du.}

Běžným způsobem, jak použít Abelův součtový vzorec, je vzít limit jednoho z těchto vzorců jako ${ displaystyle x to infty}$ . Výsledné vzorce jsou

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} A ( x) phi (x) { bigr)} - int _ {0} ^ { infty} A (u) phi '(u) , du, součet _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} A (x) phi (x) { bigr)} - int _ {1} ^ { infty} A (u) phi '(u) , du. end {zarovnáno}}}

Tyto rovnice platí vždy, když existují oba limity na pravé straně a jsou konečné.

Obzvláště užitečným případem je sekvence ${ displaystyle a_ {n} = 1}$ pro všechny ${ displaystyle n geq 0}$ . V tomto případě, ${ displaystyle A (x) = lfloor x + 1 rfloor}$ . Pro tuto sekvenci se Abelův součtový vzorec zjednodušuje na

{ Displaystyle sum _ {0 leq n leq x} phi (n) = lfloor x + 1 rfloor phi (x) - int _ {0} ^ {x} lfloor u + 1 rfloor phi '(u) , du.}

Podobně pro sekvenci ${ displaystyle a_ {0} = 0}$ a ${ displaystyle a_ {n} = 1}$ pro všechny ${ displaystyle n geq 1}$ , vzorec se stane

{ Displaystyle sum _ {1 leq n leq x} phi (n) = lfloor x rfloor phi (x) - int _ {1} ^ {x} lfloor u rfloor phi ' (u) , du.}

Po převzetí limitu jako ${ displaystyle x to infty}$ , shledáváme

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 0} ^ { infty} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} lfloor x + 1 rfloor phi (x) { bigr)} - int _ {0} ^ { infty} lfloor u + 1 rfloor phi '(u) , du, součet _ {n = 1} ^ { infty} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} lfloor x rfloor phi (x) { bigr)} - int _ {1} ^ { infty} lfloor u rfloor phi '(u) , du, end {zarovnáno}}}

za předpokladu, že oba výrazy na pravé straně existují a jsou konečné.

Abelův součtový vzorec lze zobecnit na případ, kdy ${ displaystyle phi}$ se předpokládá, že je spojitý, pouze pokud je integrál interpretován jako a Riemann – Stieltjesův integrál:

{ displaystyle sum _ {x

Tím, že ${ displaystyle phi}$ být funkcí částečného součtu spojenou s nějakou posloupností, to vede k součet podle částí vzorec.

Příklady

Harmonická čísla

Li ${ displaystyle a_ {n} = 1}$ pro ${ displaystyle n geq 1}$ a ${ displaystyle phi (x) = 1 / x,}$ pak ${ displaystyle A (x) = lfloor x rfloor}$ a výtěžek vzorce

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { lfloor x rfloor} { frac {1} {n}} = { frac { lfloor x rfloor} {x}} + int _ {1 } ^ {x} { frac { lfloor u rfloor} {u ^ {2}}} , du.}

Levá strana je harmonické číslo ${ displaystyle H _ { lfloor x rfloor}}$ .

Reprezentace Riemannovy zeta funkce

Opravte komplexní číslo ${ displaystyle s}$ . Li ${ displaystyle a_ {n} = 1}$ pro ${ displaystyle n geq 1}$ a ${ displaystyle phi (x) = x ^ {- s},}$ pak ${ displaystyle A (x) = lfloor x rfloor}$ a vzorec se stane

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { lfloor x rfloor} { frac {1} {n ^ {s}}} = { frac { lfloor x rfloor} {x ^ {s} }} + s int _ {1} ^ {x} { frac { lfloor u rfloor} {u ^ {1 + s}}} , du.}

Li ${ displaystyle Re (s)> 1}$ , pak limit jako ${ displaystyle x to infty}$ existuje a dává vzorec

{ displaystyle zeta (s) = s int _ {1} ^ { infty} { frac { lfloor u rfloor} {u ^ {1 + s}}} , du.}

To lze použít k odvození Dirichletovy věty, která ${ displaystyle zeta (s)}$ má jednoduchý pól s zbytek 1 v $s = 1$ .

Reciproční funkce Riemann zeta

Technika z předchozího příkladu může být použita i na jiné Dirichletova řada. Li ${ displaystyle a_ {n} = mu (n)}$ je Möbiova funkce a ${ displaystyle phi (x) = x ^ {- s}}$ , pak ${ displaystyle A (x) = M (x) = součet _ {n leq x} mu (n)}$ je Funkce Mertens a

{ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}}} = s int _ {1} ^ { infty} { frac {M (u)} {u ^ {1 + s}}} , du.}

Tento vzorec platí pro ${ displaystyle Re (s)> 1}$ .

Viz také

Reference

Apostol, Tom (1976), Úvod do teorie analytických čísel, Pregraduální texty z matematiky, Springer-Verlag.