Neanalytická plynulá funkce - Non-analytic smooth function
v matematika, plynulé funkce (také nazýván nekonečně rozlišitelný funkce) a analytické funkce jsou dva velmi důležité typy funkce. Dá se snadno dokázat, že jakákoli analytická funkce a nemovitý argument je hladký. The konverzovat není pravda, jak se ukázalo u protiklad níže.
Jedna z nejdůležitějších aplikací plynulých funkcí s kompaktní podpora je konstrukce tzv změkčovače, které jsou důležité v teoriích zobecněné funkce, jako Laurent Schwartz teorie o distribuce.
Existence hladkých, ale neanalytických funkcí představuje jeden z hlavních rozdílů mezi nimi diferenciální geometrie a analytická geometrie. Ve smyslu teorie svazků, tento rozdíl lze konstatovat takto: svazek diferencovatelných funkcí na a diferencovatelné potrubí je pokuta, na rozdíl od analytického případu.
K sestavení se obecně používají níže uvedené funkce rozdělení jednoty na diferencovatelné potrubí.
Příklad funkce
Definice funkce

Zvažte funkci
definováno pro každého reálné číslo X.
Funkce je plynulá
Funkce F má kontinuální deriváty všech objednávek v každém bodě X z skutečná linie. Vzorec pro tyto deriváty je
kde strn(X) je polynomiální z stupeň n - 1 dáno rekurzivně podle str1(X) = 1 a
pro všechny pozitivní celé číslo n. Z tohoto vzorce není zcela jasné, že deriváty jsou spojité při 0; to vyplývá z jednostranný limit
pro všechny nezáporné celé číslo m.
Podrobný důkaz hladkosti |
---|
Podle výkonové řady reprezentace exponenciální funkce, máme pro každého přirozené číslo (včetně nuly) protože všechny pozitivní podmínky pro jsou přidány. Dělením této nerovnosti tedy a brát limit shora, Nyní dokazujeme vzorec pro nth derivát F podle matematická indukce. Za použití řetězové pravidlo, vzájemné pravidlo a skutečnost, že derivát exponenciální funkce je opět exponenciální funkcí, vidíme, že vzorec je správný pro první derivaci F pro všechny X > 0 a to str1(X) je polynom stupně 0. Samozřejmě, derivace F je nula pro X <0. Zbývá ukázat, že derivace na pravé straně F na X = 0 je nula. Pomocí výše uvedeného limitu to vidíme Indukční krok od n na n +1 je podobné. Pro X > 0 dostaneme pro derivaci kde strn+1(X) je polynom stupně n = (n + 1) - 1. Samozřejmě, že (n + 1) první derivace F je nula pro X <0. Pro pravostrannou derivaci F (n) na X = 0 získáme s výše uvedeným limitem |
Funkce není analytická
Jak je vidět výše, funkce F je hladký a všechny jeho deriváty na původ jsou 0. Proto je Taylor série z F na počátku konverguje všude na nulová funkce,
a tak se Taylorova řada nerovná F(X) pro X > 0. V důsledku toho F není analytický na počátku.
Funkce plynulého přechodu

Funkce
má tedy přísně jmenovatele všude na reálné linii G je také hladký. Dále G(X) = 0 pro X ≤ 0 a G(X) = 1 pro X ≥ 1, proto poskytuje plynulý přechod z úrovně 0 na úroveň 1 v jednotkový interval [0, 1]. Chcete-li mít hladký přechod ve skutečném intervalu [A, b] s A < b, zvažte funkci
Pro reálná čísla A < b < C < d, plynulá funkce
se rovná 1 na uzavřeném intervalu [b, C] a zmizí mimo otevřený interval (A, d).
Hladká funkce, která není nikde skutečná analytická

Patologičtější příklad nekonečně diferencovatelné funkce, která není analytická kdykoli lze postavit pomocí a Fourierova řada jak následuje. Nechat A := { 2n : n ∈ ℕ} je množina všech sil 2 a definujte pro všechny X ∈ ℝ
Od té série konverguje pro všechny n ∈ ℕ, tato funkce je snadno viditelná jako třída C.∞standardní indukční aplikací Weierstrassův M-test předvést jednotná konvergence každé řady derivátů. Navíc pro všechny dyadic racionální násobek π, tedy pro libovolné X : = π · str/q s str ∈ ℕ a q ∈ A, a pro všechny pořadí odvození n ∈ A, n ≥ 4 a n > q my máme
kde jsme použili skutečnost, že cos (kx) = 1 pro všechny k > q. V důsledku toho při každém takovém X ∈ ℝ
takže poloměr konvergence z Taylor série z F na X je 0 u Cauchy-Hadamardův vzorec. Jelikož množina analyticity funkce je otevřená množina a protože dyadické racionály jsou husté, usuzujeme, že F není nikde analytický v ℝ.
Aplikace na Taylorovu řadu
Pro každou sekvenci α0, α1, α2, . . reálných nebo komplexních čísel ukazuje následující konstrukce existenci hladké funkce F na reálné linii, která má tato čísla jako deriváty na počátku.[1] Zejména každá posloupnost čísel se může jevit jako koeficienty Taylor série hladké funkce. Tento výsledek je znám jako Borelovo lemma, po Émile Borel.
S funkcí plynulého přechodu G jak je uvedeno výše, definujte
Tato funkce h je také hladký; rovná se 1 na uzavřeném intervalu [−1,1] a zmizí mimo otevřený interval (−2,2). Použitím h, definujte pro každé přirozené číslo n (včetně nuly) plynulá funkce
který souhlasí s monomiální Xn na [−1,1] a zmizí mimo interval (−2,2). Proto je k-tý derivát ψn na počátku splňuje
a věta o omezenosti to naznačuje ψn a každý derivát ψn je omezený. Proto konstanty
zahrnující nadřazená norma z ψn a jeho první n deriváty, jsou dobře definovaná reálná čísla. Definujte škálované funkce
Opakovanou aplikací řetězové pravidlo,
a pomocí předchozího výsledku pro k-tý derivát ψn na nule,
Zbývá ukázat, že funkce
je dobře definován a lze jej nekonečně mnohokrát rozlišovat.[2] Za tímto účelem dodržujte, že pro každého k
kde zbývající nekonečná řada konverguje k poměrový test.
Aplikace na vyšší dimenze

Pro každý poloměr r > 0,
s Euklidovská norma ||X|| definuje hladkou funkci na n-dimenzionální Euklidovský prostor s Podpěra, podpora v míč poloměru r, ale .
Složitá analýza
Tato patologie nemůže nastat s diferencovatelností funkce komplexní proměnné spíše než skutečné proměnné. Ve skutečnosti všechny holomorfní funkce jsou analytické, takže selhání funkce F definovaný v tomto článku jako analytický, i když je nekonečně diferencovatelný, naznačuje jeden z nejdramatičtějších rozdílů mezi analýzou reálných proměnných a komplexními proměnnými.
Všimněte si, že i když je funkce F má deriváty všech objednávek přes skutečnou linii, analytické pokračování z F z kladné poloviční čáry X > 0 do složité letadlo, tj. funkce
má zásadní singularita na počátku, a proto není ani spojitý, mnohem méně analytický. Podle skvělá Picardova věta, získává každou komplexní hodnotu (s výjimkou nuly) nekonečně mnohokrát v každém sousedství původu.
Viz také
Poznámky
- ^ Cvičení 12 na straně 418 v Walter Rudin, Skutečná a komplexní analýza. McGraw-Hill, New Dehli 1980, ISBN 0-07-099557-5
- ^ Viz např. Kapitola V, oddíl 2, věta 2.8 a důsledek 2.9 o diferencovatelnosti limitů posloupností funkcí v Amann, Herbert; Escher, Joachim (2005), Analýza I, Basilej: Birkhäuser Verlag, str. 373–374, ISBN 3-7643-7153-6