Bernoullisova nerovnost - Bernoullis inequality - Wikipedia

v matematika, Bernoulliho nerovnost (pojmenoval podle Jacob Bernoulli ) je nerovnost který se přibližuje umocňování 1 +X. Často se používá v skutečná analýza.

Nerovnost to říká

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} geq 1 + rx}$

pro každého celé číslo r ≥ 0 a každý reálné číslo X ≥ −1.^[1]Pokud exponent r je dokonce, pak nerovnost platí pro Všechno reálná číslaX. Čte se přísná verze nerovnosti

${ displaystyle (1 + x) ^ {r}> 1 + rx}$

pro každé celé číslo r ≥ 2 a každé reálné číslo X ≥ -1 s X ≠ 0.

K dispozici je také zobecněná verze, která říká pro každé skutečné číslo r ≥ 1 a skutečné číslo X ≥ −1,

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} geq 1 + rx,}$

zatímco pro 0 ≤r ≤ 1 a skutečné číslo X ≥ −1,

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} leq 1 + rx.}$

Bernoulliho nerovnost se často používá jako zásadní krok v EU důkaz dalších nerovností. To může být prokázáno pomocí matematická indukce, Jak je ukázáno níže.

Dějiny

Jacob Bernoulli poprvé publikoval nerovnost ve svém pojednání „Pozice Arithmeticae de Seriebus Infinitis“ (Basilej, 1689), kde nerovnost často používal.^[2]

Podle Josepha E. Hofmanna, Über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci (1963), str. 177, nerovnost je ve skutečnosti způsobena Sluseem v jeho Mesolabum (vydání z roku 1668), Kapitola IV „De maximis & minimis“.^[2]

Důkaz nerovnosti

Matematickou indukcí pokračujeme v následující podobě:

• dokážeme nerovnost pro ${ displaystyle r in {0,1 }}$,
• od platnosti pro některé r odvodíme platnost pro r + 2.

Pro r = 0,

${ displaystyle (1 + x) ^ {0} geq 1 + 0x}$

je ekvivalentní 1 ≥ 1, což je pravda.

Podobně pro r = 1 máme

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} = 1 + x geq 1 + x = 1 + rx.}$

Nyní předpokládejme, že tvrzení platí pro r = k:

${ displaystyle (1 + x) ^ {k} geq 1 + kx.}$

Potom z toho vyplývá

${ displaystyle { begin {aligned} (1 + x) ^ {k + 2} & = (1 + x) ^ {k} (1 + x) ^ {2} & geq (1 + kx) left (1 + 2x + x ^ {2} right) qquad qquad qquad { text {podle hypotézy a}} (1 + x) ^ {2} geq 0 & = 1 + 2x + x ^ {2} + kx + 2kx ^ {2} + kx ^ {3} & = 1+ (k + 2) x + kx ^ {2} (x + 2) + x ^ {2} & geq 1+ (k + 2) x end {zarovnáno}}}$

od té doby ${ displaystyle x ^ {2} geq 0}$ stejně jako ${ displaystyle x + 2 geq 0}$. Upravenou indukcí dospějeme k závěru, že tvrzení platí pro každé nezáporné celé číslo r.

Zobecnění

Zobecnění exponentu

Exponent r lze zobecnit na libovolné reálné číslo následovně: if X > -1 tedy

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} geq 1 + rx}$

pro r ≤ 0 nebo r ≥ 1 a

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} leq 1 + rx}$

pro 0 ≤r ≤ 1.

Toto zobecnění lze prokázat porovnáním deriváty Přísné verze těchto nerovností opět vyžadují X ≠ 0 ar ≠ 0, 1.

Zobecnění základny

Namísto ${ displaystyle (1 + x) ^ {n}}$ nerovnost platí také ve formě ${ displaystyle (1 + x_ {1}) (1 + x_ {2}) tečky (1 + x_ {r}) geq 1 + x_ {1} + x_ {2} + tečky + x_ {r} }$ kde ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, tečky, x_ {r}}$ jsou reálná čísla, všechna větší než -1, všechna se stejným znaménkem. Bernoulliho nerovnost je zvláštní případ, když ${ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = dots = x_ {r} = x}$. Tuto zobecněnou nerovnost lze dokázat matematickou indukcí.

Důkaz

V prvním kroku podnikneme ${ displaystyle n = 1}$. V tomto případě nerovnost ${ displaystyle 1 + x_ {1} geq 1 + x_ {1}}$ je zjevně pravda.

Ve druhém kroku předpokládáme platnost nerovnosti pro ${ displaystyle r}$ čísla a odvodit platnost pro ${ displaystyle r + 1}$ čísla.

To předpokládáme

je platný. Po vynásobení obou stran kladným číslem ${ displaystyle (x_ {r + 1} +1)}$ dostaneme:

${ displaystyle { begin {alignedat} {2} (1 + x_ {1}) (1 + x_ {2}) tečky (1 + x_ {r}) (1 + x_ {r + 1}) geq & (1 + x_ {1} + x_ {2} + dots + x_ {r}) (1 + x_ {r + 1}) geq & (1 + x_ {1} + x_ {2} + dots + x_ {r}) cdot 1+ (1 + x_ {1} + x_ {2} + dots + x_ {r}) cdot x_ {r + 1} geq & (1 + x_ {1} + x_ {2} + dots + x_ {r}) + x_ {r + 1} + x_ {1} x_ {r + 1} + x_ {2} x_ {r + 1} + dots + x_ {r} x_ {r + 1} end {alignedat}}}$

Tak jako ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, tečky x_ {r}, x_ {r + 1}}$ mít všechny stejné znaménko, produkty ${ displaystyle x_ {1} x_ {r + 1}, x_ {2} x_ {r + 1}, dots x_ {r} x_ {r + 1}}$ jsou všechna kladná čísla. Množství na pravé straně lze tedy omezit následovně:

co se mělo ukázat.

Související nerovnosti

Následující nerovnost odhaduje r-tá síla 1 +X z druhé strany. Pro všechna reálná čísla X, r s r > 0, jeden má

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} leq e ^ {rx},}$

kde E = 2.718.... To lze dokázat pomocí nerovnosti (1 + 1 /k)^k < E.

Alternativní forma

Alternativní forma Bernoulliho nerovnosti pro ${ displaystyle t geq 1}$ a ${ displaystyle 0 leq x leq 1}$ je:

${ displaystyle (1-x) ^ {t} geq 1-xt.}$

To lze dokázat (pro jakékoli celé číslo t) pomocí vzorce pro geometrické řady: (použitím y = 1 − X)

${ displaystyle t = 1 + 1 + tečky +1 geq 1 + y + y ^ {2} + ldots + y ^ {t-1} = { frac {1-y ^ {t}} {1 -y}},}$

nebo ekvivalentně ${ displaystyle xt geq 1- (1-x) ^ {t}.}$

Alternativní důkaz

Používání AM-GM

Základní důkaz pro ${ displaystyle 0 leq r leq 1}$ a X ≥ -1 lze zadat pomocí vážený AM-GM.

Nechat ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}}$ být dvě nezáporné reálné konstanty. Váženým AM-GM na ${ displaystyle 1,1 + x}$ s váhami ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}}$ respektive dostaneme

${ displaystyle { dfrac { lambda _ {1} cdot 1+ lambda _ {2} cdot (1 + x)} { lambda _ {1} + lambda _ {2}}} geq { sqrt [{ lambda _ {1} + lambda _ {2}}] {(1 + x) ^ { lambda _ {2}}}}.}$

Všimněte si, že

${ displaystyle { dfrac { lambda _ {1} cdot 1+ lambda _ {2} cdot (1 + x)} { lambda _ {1} + lambda _ {2}}} = { dfrac { lambda _ {1} + lambda _ {2} + lambda _ {2} x} { lambda _ {1} + lambda _ {2}}} = 1 + { dfrac { lambda _ {2}} { lambda _ {1} + lambda _ {2}}} x}$

a

${ displaystyle { sqrt [{ lambda _ {1} + lambda _ {2}}] {(1 + x) ^ { lambda _ {2}}}} = (1 + x) ^ { frac { lambda _ {2}} { lambda _ {1} + lambda _ {2}}},}$

takže naše nerovnost je ekvivalentní

${ displaystyle 1 + { dfrac { lambda _ {2}} { lambda _ {1} + lambda _ {2}}} x geq (1 + x) ^ { frac { lambda _ {2 }} { lambda _ {1} + lambda _ {2}}}.}$

Po střídání ${ displaystyle r = { dfrac { lambda _ {2}} { lambda _ {1} + lambda _ {2}}}}$ (mějte na paměti, že to naznačuje ${ displaystyle 0 leq r leq 1}$) naše nerovnost se promění v

${ displaystyle 1 + rx geq (1 + x) ^ {r}}$

což je Bernoulliho nerovnost.

Použití vzorce pro geometrické řady

Bernoulliho nerovnost

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} geq 1 + rx}$

(1)

je ekvivalentní k

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} -1-rx geq 0,}$

(2)

a podle vzorce pro geometrické řady (použitím y = 1 + X) dostaneme

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} -1 = y ^ {r} -1 = vlevo ( součet _ {k = 0} ^ {r-1} y ^ {k} vpravo) cdot (y-1) = left ( sum _ {k = 0} ^ {r-1} (1 + x) ^ {k} right) cdot x}$

(3)

což vede k

${ displaystyle (1 + x) ^ {r} -1-rx = left ( left ( sum _ {k = 0} ^ {r-1} (1 + x) ^ {k} right) - r right) cdot x = left ( sum _ {k = 0} ^ {r-1} left ((1 + x) ^ {k} -1 right) right) cdot x geq 0.}$

(4)

Teď když ${ displaystyle x geq 0}$ pak monotónností mocností každé sčítání ${ displaystyle (1 + x) ^ {k} -1 = (1 + x) ^ {k} -1 ^ {k} geq 0}$, a proto je jejich součet větší ${ displaystyle 0}$ a tedy produkt na LHS z (4).

Li ${ displaystyle 0 geq x geq -2}$ pak stejnými argumenty ${ displaystyle 1 geq (1 + x) ^ {k}}$ a tedy všechny doplňky ${ displaystyle (1 + x) ^ {k} -1}$ nejsou kladné, a tedy ani jejich součet. Vzhledem k tomu, že součin dvou nezáporných čísel je nezáporný, dostaneme znovu (4).

Použití binomické věty

Dá se dokázat Bernoulliho nerovnost pro X ≥ 0 pomocí binomická věta. Platí to triviálně pro r = 0, tak předpokládejme r je kladné celé číslo. Pak ${ displaystyle (1 + x) ^ {r} = 1 + rx + { tbinom {r} {2}} x ^ {2} + ... + { tbinom {r} {r}} x ^ {r }.}$ Jasně ${ displaystyle { tbinom {r} {2}} x ^ {2} + ... + { tbinom {r} {r}} x ^ {r} geq 0,}$ a tudíž ${ displaystyle (1 + x) ^ {r} geq 1 + rx}$ podle potřeby.

Poznámky

Reference

• Carothers, N.L. (2000). Skutečná analýza. Cambridge: Cambridge University Press. str.9. ISBN  978-0-521-49756-5.
• Bullen, P. S. (2003). Příručka o prostředcích a jejich nerovnostech. Dordercht [u.a.]: Kluwer Academic Publ. str.4. ISBN  978-1-4020-1522-9.
• Zaidman, S. (1997). Pokročilý počet: úvod do matematické analýzy. River Edge, NJ: World Scientific. str.32. ISBN  978-981-02-2704-3.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Bernoulliho nerovnost“. MathWorld.
• Bernoulliho nerovnost Chris Boucher, Demonstrační projekt Wolfram.
• Arthur Lohwater (1982). „Úvod do nerovností“. Online elektronická kniha ve formátu PDF.