Absolutní kontinuita - Absolute continuity

v počet, absolutní kontinuita je vlastnost hladkosti funkce to je silnější než kontinuita a jednotná kontinuita. Pojem absolutní kontinuity umožňuje získat zevšeobecnění vztahu mezi dvěma centrálními operacemi počet —diferenciace a integrace. Tento vztah je obvykle charakterizován ( základní věta o počtu ) v rámci Riemannova integrace, ale s absolutní kontinuitou to může být formulováno ve smyslu Lebesgueova integrace. Pro funkce se skutečnou hodnotou na skutečná linie, objeví se dva vzájemně související pojmy: absolutní kontinuita funkcí a absolutní kontinuita opatření. Tyto dva pojmy jsou zobecněny různými směry. Obvyklá derivace funkce souvisí s Derivát Radon – Nikodym nebo hustotaopatření.

Máme následující řetězce inkluzí pro funkce nad a kompaktní podmnožina skutečné linie:

absolutně kontinuální ⊆ rovnoměrně spojité ⊆ kontinuální

a pro kompaktní interval

průběžně diferencovatelné ⊆ Lipschitz kontinuální ⊆ absolutně kontinuální ⊆ ohraničená variace ⊆ rozlišitelný téměř všude

Absolutní kontinuita funkcí

Spojitá funkce nemusí být absolutně spojitá, pokud není rovnoměrně spojité, což se může stát, pokud doména funkce není kompaktní - příklady jsou tan (X) nad [0,π/2), X² přes celou skutečnou linii a hřích (1 /X) nad (0, 1]. Ale spojitá funkce F může selhat být absolutně spojitý i v kompaktním intervalu. Nemusí to být „rozlišitelné téměř všude“ (jako Funkce Weierstrass, který není nikde diferencovatelný). Nebo může být rozlišitelný téměř všude a jeho derivát F ' možná Lebesgue integrovatelný, ale integrál F ′ Se liší od přírůstku F (jak moc F změny v intervalu). To se děje například u Funkce Cantor.

Definice

Nechat ${ displaystyle I}$ být interval v skutečná linie ${ displaystyle mathbb {R}}$. Funkce ${ displaystyle f colon I to mathbb {R}}$ je absolutně kontinuální na ${ displaystyle I}$ pokud pro každé kladné číslo ${ displaystyle varepsilon}$, existuje kladné číslo ${ displaystyle delta}$ takové, že kdykoli konečná posloupnost párově disjunktní dílčí intervaly ${ displaystyle (x_ {k}, y_ {k})}$ z ${ displaystyle I}$ s ${ displaystyle x_ {k}, y_ {k} v I}$ splňuje^[1]

${ displaystyle sum _ {k} (y_ {k} -x_ {k}) < delta}$

pak

${ displaystyle sum _ {k} | f (y_ {k}) - f (x_ {k}) | < varepsilon.}$

Shromažďování všech absolutně nepřetržitých funkcí ${ displaystyle I}$ je označen ${ displaystyle operatorname {AC} (I)}$.

Ekvivalentní definice

Následující podmínky týkající se funkce se skutečnou hodnotou F v kompaktním intervalu [A,b] jsou ekvivalentní:^[2]

(1) F je naprosto kontinuální;

(2) F má derivát F ′ téměř všude, derivát je Lebesgue integrovatelný, a

${ displaystyle f (x) = f (a) + int _ {a} ^ {x} f '(t) , dt}$

pro všechny X na [A,b];

(3) existuje integrovatelná funkce Lebesgue G na [A,b] takové, že

${ displaystyle f (x) = f (a) + int _ {a} ^ {x} g (t) , dt}$

pro všechny X v [A,b].

Pokud jsou tyto rovnocenné podmínky splněny, pak nutně G = F „Téměř všude.

Rovnocennost mezi (1) a (3) je známá jako základní věta Lebesgueova integrálního počtu, kvůli Lebesgue.^[3]

Ekvivalentní definice z hlediska opatření viz oddíl Vztah mezi dvěma pojmy absolutní kontinuity.

Vlastnosti

• Součet a rozdíl dvou absolutně spojitých funkcí jsou také absolutně spojité. Pokud jsou dvě funkce definovány na ohraničeném uzavřeném intervalu, pak je jejich součin také absolutně spojitý.^[4]
• Pokud je absolutně spojitá funkce definována na ohraničeném uzavřeném intervalu a není nikde nula, je její reciproční absolutně spojitá.^[5]
• Každá absolutně nepřetržitá funkce je rovnoměrně spojité a proto, kontinuální. Každý Lipschitz kontinuální funkce je naprosto kontinuální.^[6]
• Li F: [A,b] → R je absolutně kontinuální, pak je ohraničená variace na [A,b].^[7]
• Li F: [A,b] → R je absolutně spojitá, pak ji lze zapsat jako rozdíl dvou monotónních neklesajících absolutně spojitých funkcí na [A,b].
• Li F: [A,b] → R je absolutně nepřetržitý, pak má Luzin N vlastnictví (to znamená pro všechny ${ displaystyle L subseteq [a, b]}$ takhle ${ displaystyle lambda (L) = 0}$, to platí ${ displaystyle lambda (f (L)) = 0}$, kde ${ displaystyle lambda}$ znamená Lebesgueovo opatření na R).
• F: Já → R je absolutně spojitý, právě když je spojitý, má omezenou variabilitu a má Luzin N vlastnictví.

Příklady

Následující funkce jsou rovnoměrně spojité, ale ne absolutně kontinuální:

• the Funkce Cantor na [0, 1] (toto je omezená variace, ale ne absolutně spojitá);
• funkce

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} 0, & { text {if}} x = 0 x sin (1 / x), & { text {if}} x neq 0 end {případy}}}$

na konečný interval obsahující počátek.

Následující funkce jsou absolutně spojité, ale nikoli α-Hölderovy spojité:

• funkce F(X) = X^β na [0, c], pro libovolnou 0 <β <α <1

Následující funkce jsou naprosto spojité a α-Hölder kontinuální ale ne Lipschitz kontinuální:

• funkce F(X) = √X na [0, c], pro α ≤ 1/2.

Zobecnění

Nechť (X, d) být a metrický prostor a nechte Já být interval v skutečná linie R. Funkce F: Já → X je absolutně kontinuální na Já pokud pro každé kladné číslo ${ displaystyle epsilon}$, existuje kladné číslo ${ displaystyle delta}$ takové, že kdykoli konečná posloupnost párově disjunktní dílčí intervaly [X_k, y_k] z Já splňuje

${ displaystyle sum _ {k} vlevo | y_ {k} -x_ {k} vpravo | < delta}$

pak

${ displaystyle sum _ {k} d left (f (y_ {k}), f (x_ {k}) right) < epsilon.}$

Kolekce všech absolutně nepřetržitých funkcí od Já do X je označeno AC (Já; X).

Další zobecnění je vesmír AC^p(Já; X) křivek F: Já → X takhle^[8]

${ displaystyle d left (f (s), f (t) right) leq int _ {s} ^ {t} m ( tau) , d tau { text {pro všechny}} [ s, t] subseteq I}$

pro některé m v L^p prostor L^p(I).

Vlastnosti těchto zevšeobecnění

• Každá absolutně nepřetržitá funkce je rovnoměrně spojité a proto, kontinuální. Každý Lipschitz kontinuální funkce je naprosto kontinuální.
• Li F: [A,b] → X je absolutně kontinuální, pak je ohraničená variace na [A,b].
• Pro F ∈ AC^p(Já; X), metrická derivace z F existuje pro λ-téměř všechny krát dovnitř Jáa metrická derivace je nejmenší m ∈ L^p(Já; R) takové, že^[9]

${ displaystyle d left (f (s), f (t) right) leq int _ {s} ^ {t} m ( tau) , d tau { text {pro všechny}} [ s, t] subseteq I.}$

Absolutní kontinuita opatření

Definice

A opatření ${ displaystyle mu}$ na Podmnožiny Borel skutečné linie je absolutně kontinuální s ohledem na Lebesgueovo opatření ${ displaystyle lambda}$ (jinými slovy, dominuje ${ displaystyle lambda}$) pokud pro každou měřitelnou sadu ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle lambda (A) = 0}$ naznačuje ${ displaystyle mu (A) = 0}$ . Toto se píše jako ${ displaystyle mu ll lambda}$.

Ve většině aplikací, pokud se o míře na reálné linii jednoduše říká, že je absolutně spojitá - aniž by bylo specifikováno, u které jiné míry je absolutně spojitá -, znamená to absolutní kontinuitu s ohledem na Lebesgueovu míru.

Stejný princip platí pro opatření na podmnožiny Borel z ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}, n geq 2}$.

Ekvivalentní definice

Následující podmínky jsou omezené μ na Borel podmnožiny reálné linie jsou ekvivalentní:^[10]

(1) μ je naprosto kontinuální;

(2) za každé kladné číslo ε existuje kladné číslo δ takhle μ(A) < ε pro všechny sady Borel A Lebesgue měří méně než δ;

(3) existuje integrovatelná funkce Lebesgue G na skutečné linii tak, že

${ displaystyle mu (A) = int _ {A} g , d lambda}$

pro všechny podmnožiny Borel A skutečné linie.

Ekvivalentní definice z hlediska funkcí viz část Vztah mezi dvěma pojmy absolutní kontinuity.

Jakákoli jiná funkce splňující (3) se rovná G téměř všude. Taková funkce se nazývá Derivát Radon – Nikodym nebo hustota absolutně kontinuálního opatření μ.

Rovnocennost mezi (1), (2) a (3) platí také v Rⁿ pro všechny n = 1, 2, 3, ...

Tedy absolutně kontinuální opatření na Rⁿ jsou přesně ty, které mají hustoty; jako zvláštní případ jsou absolutně kontinuální míry pravděpodobnosti přesně ta, která mají funkce hustoty pravděpodobnosti.

Zobecnění

Li μ a ν jsou dva opatření na stejné měřitelný prostor ${ displaystyle (X, { mathcal {A}})}$, μ se říká, že je absolutně kontinuální s ohledem na ν -li μ(A) = 0 pro každou sadu A pro který ν(A) = 0.^[11] Toto je psáno jako „μ ${ displaystyle ll}$ ν". To je:

${ Displaystyle mu ll nu qquad iff qquad forall A in { mathcal {A}} quad ( nu (A) = 0 Rightarrow mu (A) = 0). }$

Absolutní kontinuita opatření je reflexní a tranzitivní, ale není antisymetrický, takže je předobjednávka spíše než a částečná objednávka. Místo toho, pokud μ ${ displaystyle ll}$ ν a ν ${ displaystyle ll}$ μopatření μ a ν se říká, že jsou ekvivalent. Absolutní kontinuita tedy indukuje jejich částečné uspořádání třídy ekvivalence.

Li μ je podepsaný nebo komplexní opatření, říká se, že μ je naprosto kontinuální s ohledem na ν pokud je jeho variace |μ| vyhovuje |μ| ≪ ν; ekvivalentně, pokud je každá sada A pro který ν(A) = 0 je μ-nula.

The Věta Radon – Nikodym^[12] uvádí, že pokud μ je naprosto kontinuální s ohledem na νa obě opatření jsou σ-konečný, pak μ má hustotu, nebo "Radon-Nikodym derivát", s ohledem na ν, což znamená, že existuje a ν-měřitelná funkce F přičemž hodnoty v [0, + ∞), označené F = dμ/dν, tak, že pro všechny ν-měřitelná sada A my máme

${ displaystyle mu (A) = int _ {A} f , d nu.}$

Singulární opatření

Přes Lebesgueova věta o rozkladu,^[13] každá míra může být rozložena na součet absolutně spojité míry a singulární míry. Vidět singulární míra pro příklady opatření, která nejsou absolutně kontinuální.

Vztah mezi dvěma pojmy absolutní kontinuity

Konečné opatření μ na Podmnožiny Borel skutečné linie je absolutně kontinuální s ohledem na Lebesgueovo opatření právě když je bodová funkce

${ displaystyle F (x) = mu ((- infty, x])}$

je absolutně spojitá reálná funkce. Obecněji je funkce lokálně (tj. v každém ohraničeném intervalu) absolutně spojitá právě tehdy, když je distribuční derivát je opatření, které je absolutně kontinuální s ohledem na Lebesgueovo opatření.

Pokud platí absolutní kontinuita, pak derivát Radon – Nikodym z μ je téměř všude stejný jako derivát F.^[14]

Obecněji opatření μ se předpokládá, že jsou lokálně konečné (spíše než konečné) a F(X) je definován jako μ((0,X]) pro X > 0, 0 pro X = 0, a -μ((X, 0]) pro X < 0. V tomto případě μ je Lebesgue – Stieltjes měří generováno uživatelem F.^[15]Vztah mezi dvěma pojmy absolutní kontinuity stále platí.^[16]

Poznámky

Reference

• Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Toky gradientu v metrických prostorech a v prostoru pravděpodobnostních opatření, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basilej, ISBN  3-7643-2428-7
• Athreya, Krishna B .; Lahiri, Soumendra N. (2006), Teorie měření a teorie pravděpodobnostiSpringer, ISBN  0-387-32903-X
• Leoni, Giovanni (2009), První kurz v Sobolevových prostorech, Postgraduální studium matematiky, Americká matematická společnost, str. Xvi + 607 ISBN  978-0-8218-4768-8, PAN2527916, Zbl  1180.46001, MAA
• Nielsen, Ole A. (1997), Úvod do teorie integrace a míry, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-59518-7
• Royden, H.L. (1988), Skutečná analýza (třetí vydání), Collier Macmillan, ISBN  0-02-404151-3

externí odkazy

• Absolutní kontinuita na Encyclopedia of Mathematics
• Témata v reálné a funkční analýze podle Gerald Teschl