Oscilace (matematika) - Oscillation (mathematics) - Wikipedia

Oscilace sekvence (zobrazená modře) je rozdíl mezi limitou nadřazenou a limitou pod posloupností.

v matematika, kmitání a funkce nebo a sekvence je číslo, které kvantifikuje, do jaké míry se tato sekvence nebo funkce mezi nimi liší extrémní hodnoty jak se blíží nekonečnu nebo bodu. Stejně jako v případě limity, existuje několik definic, které dávají intuitivní koncept do formy vhodné pro matematické zpracování: oscilace posloupnosti reálná čísla, oscilace a funkce se skutečnou hodnotou v bodě a oscilace funkce na interval (nebo otevřená sada ).

Definice

Oscilace sekvence

Nechat ${ displaystyle (a_ {n})}$ být posloupností reálných čísel. Oscilace ${ displaystyle omega (a_ {n})}$ této posloupnosti je definován jako rozdíl (pravděpodobně nekonečný) mezi limit superior a limit inferior z ${ displaystyle (a_ {n})}$ :

{ displaystyle omega (a_ {n}) = limsup _ {n to infty} a_ {n} - liminf _ {n to infty} a_ {n}}

.

Oscilace je nulová právě tehdy, když posloupnost konverguje. Není definováno, pokud ${ displaystyle limsup _ {n až infty}}$ a ${ displaystyle liminf _ {n až infty}}$ jsou obě rovné + ∞ nebo obě rovné −∞, tj. pokud má posloupnost tendenci k + ∞ nebo −∞.

Oscilace funkce na otevřené množině

Nechat ${ displaystyle f}$ být funkcí reálné proměnné se skutečnou hodnotou. Oscilace ${ displaystyle f}$ v intervalu ${ displaystyle I}$ v jeho doméně je rozdíl mezi supremum a infimum z ${ displaystyle f}$ :

{ displaystyle omega _ {f} (I) = sup _ {x v I} f (x) - inf _ {x v I} f (x).}

Obecněji, pokud ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ je funkce na a topologický prostor ${ displaystyle X}$ (například a metrický prostor ), pak oscilace ${ displaystyle f}$ na otevřená sada ${ displaystyle U}$ je

{ displaystyle omega _ {f} (U) = sup _ {x v U} f (x) - inf _ {x v U} f (x).}

Oscilace funkce v bodě

Oscilace funkce ${ displaystyle f}$ reálné proměnné v bodě ${ displaystyle x_ {0}}$ je definován jako limit jako ${ displaystyle epsilon až 0}$ oscilace ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle epsilon}$ - sousedství ${ displaystyle x_ {0}}$ :

{ displaystyle omega _ {f} (x_ {0}) = lim _ { epsilon až 0} omega _ {f} (x_ {0} - epsilon, x_ {0} + epsilon). }

To je stejné jako rozdíl mezi mezní hodnotou nadřazenou a mezní hodnotou funkce v ${ displaystyle x_ {0}}$ , pokud bod ${ displaystyle x_ {0}}$ není vyloučen z limitů.

Obecněji, pokud ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ je funkce se skutečnou hodnotou na a metrický prostor, pak oscilace je

{ displaystyle omega _ {f} (x_ {0}) = lim _ { epsilon až 0} omega _ {f} (B _ { epsilon} (x_ {0})).}

Příklady

hřích (1 /X) (dále jen sinusová křivka topologa ) má oscilaci 2 na X = 0 a 0 jinde.

1/X má oscilaci ∞ na X = 0 a oscilace 0 na jiné konečné X a na −∞ a + ∞.
hřích (1 /X) (dále jen sinusová křivka topologa ) má oscilaci 2 na X = 0 a 0 jinde.
hřích X má oscilaci 0 na každé konečné Xa 2 na −∞ a + ∞.
Posloupnost 1, −1, 1, −1, 1, −1, ... má oscilaci 2.

V posledním příkladu je sekvence periodicky a jakákoli sekvence, která je periodická, aniž by byla konstantní, bude mít nenulovou oscilaci. Nenulová oscilace však obvykle neznamená periodicitu.

Geometricky graf oscilační funkce na reálných číslech sleduje nějakou cestu v xy- letadlo, aniž by se usadilo do stále menších oblastí. v dobře vychovaný případy, kdy cesta může vypadat jako smyčka, která se vrací zpět, tj. periodické chování; v nejhorších případech docela nepravidelný pohyb pokrývající celý region.

Kontinuita

K definování lze použít oscilaci spojitost funkce, a je snadno ekvivalentní obvyklému ε-δ definice (v případě funkcí definovaných všude na reálné ose): funkce ƒ je spojitá v bodě X₀ právě když je oscilace nulová;^[1] v symbolech, ${ displaystyle omega _ {f} (x_ {0}) = 0.}$ Výhodou této definice je, že je kvantifikuje diskontinuita: oscilace udává jak hodně funkce je v bodě diskontinuální.

Například v klasifikace diskontinuit:

ve vyměnitelné diskontinuitě je vzdálenost, o kterou je hodnota funkce pryč, oscilace;
při diskontinuitě skoku je velikost skoku oscilace (za předpokladu, že hodnota na bod leží mezi těmito limity ze dvou stran);
v zásadní diskontinuitě oscilace měří selhání limitu.

Tato definice je užitečná v deskriptivní teorie množin studovat množinu nespojitostí a spojitých bodů - spojité body jsou průsečíky množin, kde je oscilace menší než ε (odtud a G_δ soubor ) - a poskytuje velmi rychlý důkaz o jednom směru Podmínka integrace Lebesgue.^[2]

Oscilace je ekvivalentní s ε-δ definice jednoduchým přeuspořádáním a použitím limitu (lim sup, lim inf ) k definování oscilace: pokud (v daném bodě) pro daný ε₀ tady není žádný δ který uspokojuje ε-δ definice, pak oscilace je alespoň ε₀, a naopak, pokud pro každého ε tam je žádoucí δ, oscilace je 0. Definici oscilace lze přirozeně zobecnit na mapy z topologického prostoru do metrického prostoru.

Zobecnění

Obecněji, pokud F : X → Y je funkce z a topologický prostor X do metrický prostor Y, pak oscilace F je definován u každého X ∈ X podle

{ displaystyle omega (x) = inf left { mathrm {diam} (f (U)) mid U mathrm { je a sousedství } x doprava }}

Viz také

Reference

^ Úvod do reálné analýzy, aktualizováno v dubnu 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, str. 172
^ Úvod do reálné analýzy, aktualizováno v dubnu 2010, William F. Trench, 3.5 „Pokročilejší pohled na existenci správného Riemannova integrálu“, str. 171–177

Hewitt a Stromberg (1965). Reálná a abstraktní analýza. Springer-Verlag. str.78.
Oxtoby, J (1996). Míra a kategorie (4. vydání). Springer-Verlag. 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2.
Pugh, C. C. (2002). Skutečná matematická analýza. New York: Springer. str.164–165. ISBN 0-387-95297-7.

[1] Úvod do reálné analýzy, aktualizováno v dubnu 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, str. 172

[2] Úvod do reálné analýzy, aktualizováno v dubnu 2010, William F. Trench, 3.5 „Pokročilejší pohled na existenci správného Riemannova integrálu“, str. 171–177

[1]

[2]