Klasické ortogonální polynomy - Classical orthogonal polynomials - Wikipedia

V matematice je klasické ortogonální polynomy jsou nejpoužívanější ortogonální polynomy: Hermitovy polynomy, Laguerrovy polynomy, Jacobiho polynomy (včetně zvláštního případu Gegenbauerovy polynomy, Čebyševovy polynomy, a Legendární polynomy^[1]).

Mají mnoho důležitých aplikací v takových oblastech, jako je matematická fyzika (zejména teorie náhodné matice ), teorie aproximace, numerická analýza, a mnoho dalších.

Klasické ortogonální polynomy se objevily na počátku 19. století v pracích Adrien-Marie Legendre, který představil polynomy Legendre. Na konci 19. století byla studie pokračující zlomky vyřešit momentový problém podle P. L. Čebyšev a pak A.A. Markov a T.J. Stieltjes vedlo k obecnému pojetí ortogonálních polynomů.

Za dané polynomy ${ displaystyle Q, L: mathbb {R} do mathbb {R}}$ a ${ displaystyle forall , n in mathbb {N} _ {0}}$ klasické ortogonální polynomy ${ displaystyle f_ {n}: mathbb {R} až mathbb {R}}$ jsou charakterizovány jako řešení diferenciální rovnice

${ displaystyle Q (x) , f_ {n} ^ { prime prime} + L (x) , f_ {n} ^ { prime} + lambda _ {n} f_ {n} = 0}$

s určenými konstantami ${ displaystyle lambda _ {n} in mathbb {R}}$.

Existuje několik obecnějších definic ortogonálních klasických polynomů; například, Andrews & Askey (1985) použít výraz pro všechny polynomy v Schéma Askey.

Definice

Obecně platí, že ortogonální polynomy ${ displaystyle P_ {n}}$ vzhledem k hmotnosti ${ displaystyle W: mathbb {R} rightarrow mathbb {R} ^ {+}}$

${ displaystyle { begin {aligned} & deg P_ {n} = n ~, quad n = 0,1,2, ldots & int P_ {m} (x) , P_ {n} (x) , W (x) , dx = 0 ~, quad m neq n ~. end {zarovnáno}}}$

Vztahy výše definovat ${ displaystyle P_ {n}}$ až do násobení číslem. K fixaci konstanty se používají různé normalizace, např.

${ displaystyle int P_ {n} (x) ^ {2} W (x) , dx = 1 ~.}$

Klasické ortogonální polynomy odpovídají třem rodinám vah:

${ displaystyle { begin {aligned} { text {(Jacobi)}} quad & W (x) = { begin {cases} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta } ~, & - 1 leq x leq 1 0 ~, & { text {jinak}} end {případy}} { text {(Hermite)}} quad & W (x) = exp (-x ^ {2}) { text {(Laguerre)}} quad & W (x) = { begin {cases} x ^ { alpha} exp (-x) ~, & x geq 0 0 ~, & { text {jinak}} end {případů}} end {zarovnáno}}}$

Standardní normalizace (nazývaná také standardizace) je podrobně popsán níže.

Jacobiho polynomy

Pro ${ displaystyle alpha, , beta> -1}$ Jacobiho polynomy jsou dány vzorcem

${ displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (z) = { frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} (1-z) ^ {- alpha} (1 + z) ^ {- beta} { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} left {(1-z) ^ { alpha} (1 + z) ^ { beta} (1-z ^ {2}) ^ {n} vpravo } ~.}$

Jsou normalizovány (standardizovány) pomocí

${ displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (1) = {n + alpha zvolit n},}$

a splňují podmínku ortogonality

${ displaystyle { begin {aligned} & int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta} P_ {m} ^ {( alpha , beta)} (x) P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) ; dx = {} & { frac {2 ^ { alpha + beta +1}} {2n + alpha + beta +1}} { frac { Gamma (n + alpha +1) Gamma (n + beta +1)} { Gamma (n + alpha + beta +1) n!} } delta _ {nm}. end {zarovnáno}}}$

Jacobiho polynomy jsou řešení diferenciální rovnice

${ displaystyle (1-x ^ {2}) y '' + ( beta - alpha - ( alpha + beta +2) x) y '+ n (n + alpha + beta +1) y = 0 ~.}$

Důležité zvláštní případy

Jacobiho polynomy s ${ displaystyle alpha = beta}$ se nazývají Gegenbauerovy polynomy (s parametrem ${ displaystyle gamma = alfa +1/2}$)

Pro ${ displaystyle alpha = beta = 0}$, tito se nazývají Legendární polynomy (pro který je interval ortogonality [−1, 1] a váhová funkce je jednoduše 1):

${ displaystyle P_ {0} (x) = 1, , P_ {1} (x) = x, , P_ {2} (x) = { frac {3x ^ {2} -1} {2} }, , P_ {3} (x) = { frac {5x ^ {3} -3x} {2}}, ldots}$

Pro ${ displaystyle alpha = beta = pm 1/2}$, jeden získá Čebyševovy polynomy (druhého a prvního druhu).

Hermitovy polynomy

Hermitovy polynomy jsou definovány pomocí^[2]

${ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ {- x ^ {2}} = e ^ {x ^ {2} / 2} { bigg (} x - { frac {d} {dx}} { bigg)} ^ {n} e ^ {- x ^ {2} / 2}}$

Splňují podmínku ortogonality

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} H_ {n} (x) H_ {m} (x) e ^ {- x ^ {2}} , dx = { sqrt { pi }} 2 ^ {n} n! Delta _ {mn} ~,}$

a diferenciální rovnice

${ displaystyle y '' - 2xy '+ 2n , y = 0 ~.}$

Laguerrovy polynomy

Zobecněné Laguerrovy polynomy jsou definovány pomocí

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = {x ^ {- alpha} e ^ {x} přes n!} {d ^ {n} přes dx ^ {n}} left (e ^ {- x} x ^ {n + alpha} right)}$

(klasické Laguerrovy polynomy odpovídají ${ displaystyle alpha = 0}$.)

Vyhovují vztahu ortogonality

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ { alpha} e ^ {- x} L_ {n} ^ {( alpha)} (x) L_ {m} ^ {( alfa) } (x) , dx = { frac { Gamma (n + alpha +1)} {n!}} delta _ {n, m} ~,}$

a diferenciální rovnice

${ displaystyle x , y '' + ( alpha + 1-x) , y '+ n , y = 0 ~.}$

Diferenciální rovnice

Klasické ortogonální polynomy vznikají z diferenciální rovnice tvaru

${ displaystyle Q (x) , f '' + L (x) , f '+ lambda f = 0}$

kde Q je daný kvadratický (nanejvýš) polynom, a L je daný lineární polynom. Funkce Fa konstanta λ, se nacházejí.

(Všimněte si, že má smysl, aby taková rovnice měla polynomické řešení.

Každý člen v rovnici je polynom a stupně jsou konzistentní.)

Tohle je Sturm – Liouville typ rovnice. Takové rovnice mají obecně singularity ve svých funkcích řešení f s výjimkou konkrétních hodnot λ. Mohou být považovány za vlastní vektor / vlastní hodnota problémy: Pronájem D být operátor diferenciálu, ${ displaystyle D (f) = Qf '' + Lf '}$a změna znaménka λ, problém je najít vlastní vektory (vlastní funkce) f a odpovídající vlastní čísla λ, takže f nemá singularity a D(F) = λf.

Řešení této diferenciální rovnice mají singularita, pokud λ přebírá konkrétní hodnoty. Existuje řada čísel λ₀, λ₁, λ₂, ... což vedlo k řadě polynomiálních řešení P₀, P₁, P₂, ... pokud je splněna jedna z následujících sad podmínek:

1. Q je ve skutečnosti kvadratický, L je lineární, Q má dva odlišné skutečné kořeny, kořen L leží přísně mezi kořeny Qa hlavní podmínky Q a L mít stejné znamení.
2. Q není ve skutečnosti kvadratický, ale je lineární, L je lineární, kořeny Q a L jsou různé a hlavní podmínky Q a L mít stejné znaménko, pokud kořen L je menší než kořen Q, nebo naopak.
3. Q je jen nenulová konstanta, L je lineární a hlavní člen z L má opačné znaménko Q.

Tyto tři případy vedou k Jacobi, Laguerrovo, a Poustevník polynomy.

V každém z těchto tří případů máme následující:

• Řešením je řada polynomů P₀, P₁, P₂, ..., každý P_n mít titul n, a odpovídající číslu λ_n.
• Interval ortogonality je ohraničen libovolnými kořeny Q má.
• Kořen L je uvnitř intervalu ortogonality.
• Pronájem ${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$, polynomy jsou pod váhovou funkcí ortogonální ${ displaystyle W (x) = { frac {R (x)} {Q (x)}}}$
• Ž(X) nemá v intervalu žádné nuly nebo nekonečna, i když v koncových bodech může mít nuly nebo nekonečna.
• Ž(X) dává konečný vnitřní součin libovolným polynomům.
• Ž(X) lze v intervalu nastavit na hodnotu větší než 0. (V případě potřeby vyvrátte celou diferenciální rovnici, aby to Q(X)> 0 uvnitř intervalu.)

Kvůli konstantě integrace, množství R(X) je určen pouze do libovolné kladné multiplikativní konstanty. Bude použit pouze v homogenních diferenciálních rovnicích (pokud to nevadí) a při definici váhové funkce (kterou lze také určit). Níže uvedené tabulky uvádějí „oficiální“ hodnoty R(X) a Ž(X).

Rodriguesův vzorec

Podle předpokladů z předchozí částiP_n(X) je úměrný ${ displaystyle { frac {1} {W (x)}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} vlevo (W (x) [Q (x)] ^ { n} vpravo).}$

Toto je známé jako Rodriguesův vzorec, po Olinde Rodrigues. Často je to psáno

${ displaystyle P_ {n} (x) = { frac {1} {{e_ {n}} W (x)}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} left (W (x) [Q (x)] ^ {n} right)}$

kde jsou čísla E_n závisí na standardizaci. Standardní hodnoty E_n budou uvedeny v tabulkách níže.

Čísla λ_n

Za předpokladů z předchozí části máme

${ displaystyle lambda _ {n} = - n vlevo ({ frac {n-1} {2}} Q '' + L ' vpravo).}$

(Od té doby Q je kvadratický a L je lineární, ${ displaystyle Q ''}$ a ${ displaystyle L '}$ jsou konstanty, takže jsou to jen čísla.)

Druhá forma diferenciální rovnice

Nechat

${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}.}$

Pak

${ displaystyle (Ry ')' = R , y '' + R ', y' = R , y '' + { frac {R , L} {Q}} , y '.}$

Nyní vynásobte diferenciální rovnici

${ displaystyle Q , y '' + L , y '+ lambda y = 0}$

podle R/Q, získávání

${ displaystyle R , y '' + { frac {R , L} {Q}} , y '+ { frac {R , lambda} {Q}} , y = 0}$

nebo

${ displaystyle (Ry ')' + { frac {R , lambda} {Q}} , y = 0.}$

Toto je standardní Sturm – Liouvilleův tvar pro rovnici.

Třetí forma diferenciální rovnice

Nechat ${ displaystyle S (x) = { sqrt {R (x)}} = e ^ { int { frac {L (x)} {2 , Q (x)}} , dx}.}$

Pak

${ displaystyle S '= { frac {S , L} {2 , Q}}.}$

Nyní vynásobte diferenciální rovnici

${ displaystyle Q , y '' + L , y '+ lambda y = 0}$

podle S/Q, získávání

${ displaystyle S , y '' + { frac {S , L} {Q}} , y '+ { frac {S , lambda} {Q}} , y = 0}$

nebo

${ displaystyle S , y '' + 2 , S ', y' + { frac {S , lambda} {Q}} , y = 0}$

Ale ${ displaystyle (S , y) '' = S , y '' + 2 , S ', y' + S '' , y}$, tak

${ displaystyle (S , y) '' + vlevo ({ frac {S , lambda} {Q}} - S '' vpravo) , y = 0,}$

nebo, nechat u = Sy,

${ displaystyle u '' + left ({ frac { lambda} {Q}} - { frac {S '}} {S}} right) , u = 0.}$

Vzorce zahrnující deriváty

Podle předpokladů z předchozí části, let P^[r]
_n označit r-tý derivát P_n(„R“ dáváme do závorek, aby nedošlo k záměně s exponentem.)P^[r]
_n je polynom stupně n − r. Pak máme následující:

• (ortogonalita) Pro pevné r je polynomiální sekvence P^[r]
  _r, P^[r]
  _{r + 1}, P^[r]
  _{r + 2}, ... jsou kolmé, vážené ${ displaystyle WQ ^ {r}}$.
• (zobecněno Rodrigues ' vzorec) P^[r]
  _n je úměrný ${ displaystyle { frac {1} {W (x) [Q (x)] ^ {r}}} { frac {d ^ {nr}} {dx ^ {nr}}} vlevo (W ( x) [Q (x)] ^ {n} vpravo).}$
• (diferenciální rovnice) P^[r]
  _n je řešením ${ displaystyle {Q} , y '' + (rQ '+ L) , y' + [ lambda _ {n} - lambda _ {r}] , y = 0}$, kde λ_r je stejná funkce jako λ_n, to znamená, ${ displaystyle lambda _ {r} = - r left ({ frac {r-1} {2}} Q '' + L ' right)}$
• (diferenciální rovnice, druhá forma) P^[r]
  _n je řešením ${ displaystyle (RQ ^ {r} y ')' + [ lambda _ {n} - lambda _ {r}] RQ ^ {r-1} , y = 0}$

Existuje také několik smíšených opakování. V každém z nich čísla A, b, a C záleží na na ra v různých vzorcích nesouvisí.

• ${ displaystyle P_ {n} ^ {[r]} = aP_ {n + 1} ^ {[r + 1]} + bP_ {n} ^ {[r + 1]} + cP_ {n-1} ^ { [r + 1]}}$
• ${ displaystyle P_ {n} ^ {[r]} = (ax + b) P_ {n} ^ {[r + 1]} + cP_ {n-1} ^ {[r + 1]}}$
• ${ displaystyle QP_ {n} ^ {[r + 1]} = (ax + b) P_ {n} ^ {[r]} + cP_ {n-1} ^ {[r]}}$

Existuje obrovské množství dalších vzorců zahrnujících ortogonální polynomy různými způsoby. Zde je malý vzorek z nich, vztahující se k Čebyševovi, přidruženým Laguerrovým a Hermitovým polynomům:

• ${ displaystyle 2 , T_ {m} (x) , T_ {n} (x) = T_ {m + n} (x) + T_ {m-n} (x)}$
• ${ displaystyle H_ {2n} (x) = (- 4) ^ {n} , n! , L_ {n} ^ {(- 1/2)} (x ^ {2})}$
• ${ displaystyle H_ {2n + 1} (x) = 2 (-4) ^ {n} , n! , x , L_ {n} ^ {(1/2)} (x ^ {2}) }$

Ortogonalita

Diferenciální rovnice pro konkrétní λ může být zapsán (vynecháním explicitní závislosti na x)

${ displaystyle Q { ddot {f}} _ {n} + L { dot {f}} _ {n} + lambda _ {n} f_ {n} = 0}$

vynásobením ${ displaystyle (R / Q) f_ {m}}$ výnosy

${ displaystyle Rf_ {m} { ddot {f}} _ {n} + { frac {R} {Q}} Lf_ {m} { dot {f}} _ {n} + { frac {R } {Q}} lambda _ {n} f_ {m} f_ {n} = 0}$

a obrácení výnosů dolních indexů

${ displaystyle Rf_ {n} { ddot {f}} _ {m} + { frac {R} {Q}} Lf_ {n} { dot {f}} _ {m} + { frac {R } {Q}} lambda _ {m} f_ {n} f_ {m} = 0}$

odečtení a integrace:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} vlevo [R (f_ {m} { ddot {f}} _ {n} -f_ {n} { ddot {f}} _ {m}) + { frac {R} {Q}} L (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m}) right] , dx + ( lambda _ {n} - lambda _ {m}) int _ {a} ^ {b} { frac {R} {Q}} f_ {m} f_ {n} , dx = 0}$

ale je to vidět

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo [R (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m}) right] = R (f_ {m} { ddot {f}} _ {n} -f_ {n} { ddot {f}} _ {m}) , , + , , R { frac {L} {Q}} (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m})}$

aby:

${ displaystyle left [R (f_ {m} { dot {f}} _ {n} -f_ {n} { dot {f}} _ {m}) right] _ {a} ^ {b } , , + , , ( lambda _ {n} - lambda _ {m}) int _ {a} ^ {b} { frac {R} {Q}} f_ {m} f_ {n} , dx = 0}$

Pokud jsou polynomy F jsou takové, že člen nalevo je nula, a ${ displaystyle lambda _ {m} neq lambda _ {n}}$ pro ${ displaystyle m neq n}$, pak vztah ortogonality bude platit:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac {R} {Q}} f_ {m} f_ {n} , dx = 0}$

pro ${ displaystyle m neq n}$.

Odvození z diferenciální rovnice

Všechny polynomiální sekvence vyplývající z výše uvedené diferenciální rovnice jsou ekvivalentní při změně měřítka a / nebo posunu domény a standardizaci polynomů k omezenějším třídám. Tyto omezené třídy jsou přesně „klasické ortogonální polynomy“.

• Každá Jacobiho podobná polynomiální sekvence může mít svoji doménu posunutou a / nebo zmenšenou tak, že její interval ortogonality je [-1, 1] a má Q = 1 − X². Ty pak mohou být standardizovány do Jacobiho polynomy ${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)}}$. Existuje několik důležitých podtříd těchto: Gegenbauer, Legendrea dva typy Čebyšev.
• Každá Laguerrova polynomiální sekvence může mít svoji doménu posunutou, zmenšenou a / nebo odraženou tak, že její interval ortogonality je ${ displaystyle [0, infty)}$, a má Q = X. Ty pak mohou být standardizovány do Přidružené Laguerrovy polynomy ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)}}$. Prostý Laguerrovy polynomy ${ displaystyle L_ {n}}$ jsou jejich podtřídou.
• Každá poustevnická polynomiální sekvence může mít svoji doménu posunutou a / nebo zmenšenou tak, že její interval ortogonality je ${ displaystyle (- infty, infty)}$, a má Q = 1 a L (0) = 0. Mohou být poté standardizovány do Hermitovy polynomy ${ displaystyle H_ {n}}$.

Protože všechny polynomiální sekvence vznikající z diferenciální rovnice výše popsaným způsobem jsou triviálně ekvivalentní klasickým polynomům, vždy se použijí skutečné klasické polynomy.

Jacobiho polynom

Jacobiho podobné polynomy, i když mají svoji doménu posunutou a zmenšenou tak, že interval ortogonality je [-1, 1], mají ještě dva parametry, které je třeba určit. ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ v Jacobiho polynomech, napsáno ${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)}}$. My máme ${ displaystyle Q (x) = 1-x ^ {2}}$ a${ displaystyle L (x) = beta - alpha - ( alpha + beta +2) , x}$.Oba ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ musí být větší než −1. (Tím se kořen L umístí do intervalu ortogonality.)

Když ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ nejsou stejné, tyto polynomy nejsou symetrické X = 0.

Diferenciální rovnice

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' + ( beta - alpha - [ alpha + beta +2] , x) , y '+ lambda , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = n (n + 1 + alpha + beta)}$

je Jacobiho rovnice.

Další podrobnosti viz Jacobiho polynomy.

Gegenbauerovy polynomy

Když jeden nastaví parametry ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ v Jacobiho polynomech, které se navzájem rovnají, jeden získá Gegenbauer nebo ultra sférický polynomy. Jsou psané ${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)}}$a definováno jako

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)} (x) = { frac { gama (2 alfa ! + ! n) , gama ( alfa ! + ! 1/2 )} { Gamma (2 alpha) , Gamma ( alpha ! + ! N ! + ! 1/2)}} ! P_ {n} ^ {( alpha -1/2 , alpha -1/2)} (x).}$

My máme ${ displaystyle Q (x) = 1-x ^ {2}}$ a${ displaystyle L (x) = - (2 alfa +1) , x}$Parametr ${ displaystyle alpha}$ musí být větší než −1/2.

(Mimochodem, standardizace uvedená v tabulce níže by nedávala smysl α = 0 a n ≠ 0, protože by to nastavilo polynomy na nulu. V takovém případě jsou přijaty standardizační sady ${ displaystyle C_ {n} ^ {(0)} (1) = { frac {2} {n}}}$ namísto hodnoty uvedené v tabulce.)

Ignorování výše uvedených úvah, parametru ${ displaystyle alpha}$ úzce souvisí s deriváty společnosti ${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)}}$:

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa +1)} (x) = { frac {1} {2 alpha}} ! { frac {d} {dx}} C_ {n + 1 } ^ {( alpha)} (x)}$

nebo obecněji:

${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa + m)} (x) = { frac { gama ( alfa)} {2 ^ {m} gama ( alfa + m)}} ! C_ {n + m} ^ {( alpha) [m]} (x).}$

Všechny ostatní klasické Jacobiho polynomy (Legendre atd.) Jsou speciální případy Gegenbauerových polynomů, které se získají výběrem hodnoty ${ displaystyle alpha}$ a výběr standardizace.

Další podrobnosti viz Gegenbauerovy polynomy.

Legendární polynomy

Diferenciální rovnice je

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - 2x , y '+ lambda , y = 0 qquad { text {s}} qquad lambda = n (n + 1 ).}$

Tohle je Legendrova rovnice.

Druhá forma diferenciální rovnice je:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} [(1-x ^ {2}) , y '] + lambda , y = 0.}$

The relace opakování je

${ displaystyle (n + 1) , P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) x , P_ {n} (x) -n , P_ {n-1} (x).}$

Smíšené opakování je

${ displaystyle P_ {n + 1} ^ {[r + 1]} (x) = P_ {n-1} ^ {[r + 1]} (x) + (2n + 1) , P_ {n} ^ {[r]} (x).}$

Rodriguesův vzorec je

${ displaystyle P_ {n} (x) = , { frac {1} {2 ^ {n} n!}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} vlevo ([x ^ {2} -1] ^ {n} vpravo).}$

Další podrobnosti viz Legendární polynomy.

Přidružené legendární polynomy

The Přidružené legendární polynomy, označeno${ displaystyle P _ { ell} ^ {(m)} (x)}$ kde ${ displaystyle ell}$ a ${ displaystyle m}$ jsou celá čísla s ${ displaystyle 0 leqslant m leqslant ell}$, jsou definovány jako

${ displaystyle P _ { ell} ^ {(m)} (x) = (- 1) ^ {m} , (1-x ^ {2}) ^ {m / 2} P _ { ell} ^ {[m]} (x).}$

The m v závorkách (aby nedošlo k záměně s exponentem) je parametr. The m v závorkách označuje m-tá derivace legendárního polynomu.

Tyto „polynomy“ jsou nesprávně pojmenovány - nejsou to polynomy, když m je zvláštní.

Mají relaci opakování:

${ displaystyle ( ell + 1-m) , P _ { ell +1} ^ {(m)} (x) = (2 ell +1) x , P _ { ell} ^ {(m) } (x) - ( ell + m) , P _ { ell -1} ^ {(m)} (x).}$

Pro pevné m, sekvence ${ displaystyle P_ {m} ^ {(m)}, P_ {m + 1} ^ {(m)}, P_ {m + 2} ^ {(m)}, tečky}$ jsou kolmé nad [−1, 1], s váhou 1.

Za dané m, ${ displaystyle P _ { ell} ^ {(m)} (x)}$ jsou řešení

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - 2xy '+ vlevo [ lambda - { frac {m ^ {2}} {1-x ^ {2}}} vpravo] , y = 0 qquad { text {with}} qquad lambda = ell ( ell +1).}$

Čebyševovy polynomy

Diferenciální rovnice je

${ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - x , y '+ lambda , y = 0 qquad { text {s}} qquad lambda = n ^ {2} .}$

Tohle je Čebyševova rovnice.

Vztah opakování je

${ displaystyle T_ {n + 1} (x) = 2x , T_ {n} (x) -T_ {n-1} (x).}$

Rodriguesův vzorec je

${ displaystyle T_ {n} (x) = { frac { Gamma (1/2) { sqrt {1-x ^ {2}}}} {(- 2) ^ {n} , Gamma ( n + 1/2)}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} vlevo ([1-x ^ {2}] ^ {n-1/2} vpravo) .}$

Tyto polynomy mají tu vlastnost, že v intervalu ortogonality

${ displaystyle T_ {n} (x) = cos (n , arccos (x)).}$

(Chcete-li to dokázat, použijte vzorec opakování.)

To znamená, že všechna jejich lokální minima a maxima mají hodnoty −1 a +1, to znamená, že polynomy jsou „úrovni“. Z tohoto důvodu se někdy používá rozšíření funkcí z hlediska Čebyševových polynomů polynomiální aproximace v počítačových matematických knihovnách.

Někteří autoři používají verze těchto polynomů, které byly posunuty tak, aby interval ortogonality byl [0, 1] nebo [−2, 2].

Jsou tu také Čebyševovy polynomy druhého druhu, označeno ${ displaystyle U_ {n}}$

My máme:

${ displaystyle U_ {n} = { frac {1} {n + 1}} , T_ {n + 1} '.}$

Další podrobnosti, včetně výrazů pro prvních několik polynomů, viz Čebyševovy polynomy.

Laguerrovy polynomy

Nejobecnější Laguerrovy polynomy, poté, co byla doména posunuta a zmenšena, jsou přidružené Laguerrovy polynomy (nazývané také zobecněné Laguerrovy polynomy), označené ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)}}$. Existuje parametr ${ displaystyle alpha}$, což může být jakékoli reálné číslo striktně větší než −1. Parametr je uveden v závorkách, aby nedošlo k záměně s exponentem. Obyčejné Laguerrovy polynomy jsou jednoduše ${ displaystyle alpha = 0}$ verze těchto:

${ displaystyle L_ {n} (x) = L_ {n} ^ {(0)} (x).}$

Diferenciální rovnice je

${ displaystyle x , y '' + ( alpha + 1-x) , y '+ lambda , y = 0 { text {with}} lambda = n.}$

Tohle je Laguerrova rovnice.

Druhá forma diferenciální rovnice je

${ displaystyle (x ^ { alpha +1} , e ^ {- x} , y ')' + lambda , x ^ { alpha} , e ^ {- x} , y = 0 .}$

Vztah opakování je

${ displaystyle (n + 1) , L_ {n + 1} ^ {( alpha)} (x) = (2n + 1 + alpha -x) , L_ {n} ^ {( alpha)} (x) - (n + alpha) , L_ {n-1} ^ {( alpha)} (x).}$

Rodriguesův vzorec je

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha)} (x) = { frac {x ^ {- alpha} e ^ {x}} {n!}} { frac {d ^ {n} } {dx ^ {n}}} left (x ^ {n + alpha} , e ^ {- x} right).}$

Parametr ${ displaystyle alpha}$ úzce souvisí s deriváty společnosti ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)}}$:

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa +1)} (x) = - { frac {d} {dx}} L_ {n + 1} ^ {( alpha)} (x)}$

nebo obecněji:

${ displaystyle L_ {n} ^ {( alpha + m)} (x) = (- 1) ^ {m} L_ {n + m} ^ {( alpha) [m]} (x).}$

Laguerrovu rovnici lze manipulovat do formy, která je v aplikacích užitečnější:

${ displaystyle u = x ^ { frac { alpha -1} {2}} e ^ {- x / 2} L_ {n} ^ {( alpha)} (x)}$

je řešením

${ displaystyle u '' + { frac {2} {x}} , u '+ left [{ frac { lambda} {x}} - { frac {1} {4}} - { frac { alpha ^ {2} -1} {4x ^ {2}}} vpravo] , u = 0 { text {with}} lambda = n + { frac { alpha +1} {2} }.}$

S tím lze dále manipulovat. Když ${ displaystyle ell = { frac { alfa -1} {2}}}$ je celé číslo a ${ displaystyle n geq ell +1}$:

${ displaystyle u = x ^ { ell} e ^ {- x / 2} L_ {n- ell -1} ^ {(2 ell +1)} (x)}$

je řešením

${ displaystyle u '' + { frac {2} {x}} , u '+ left [{ frac { lambda} {x}} - { frac {1} {4}} - { frac { ell ( ell +1)} {x ^ {2}}} right] , u = 0 { text {with}} lambda = n.}$

Řešení je často vyjádřeno v pojmech deriváty místo přidružených Laguerrových polynomů:

${ displaystyle u = x ^ { ell} e ^ {- x / 2} L_ {n + ell} ^ {[2 ell +1]} (x).}$

Tato rovnice vzniká v kvantové mechanice, v radiální části řešení Schrödingerova rovnice pro atom s jedním elektronem.

Fyzici často používají definici Laguerrových polynomů, která je větší, faktorem ${ displaystyle (n!)}$než zde použitá definice.

Další podrobnosti, včetně výrazů pro prvních několik polynomů, viz Laguerrovy polynomy.

Hermitovy polynomy

Diferenciální rovnice je

${ displaystyle y '' - 2xy '+ lambda , y = 0, qquad { text {with}} qquad lambda = 2n.}$

Tohle je Hermitova rovnice.

Druhá forma diferenciální rovnice je

${ displaystyle (e ^ {- x ^ {2}} , y ')' + e ^ {- x ^ {2}} , lambda , y = 0.}$

Třetí forma je

${ displaystyle (e ^ {- x ^ {2} / 2} , y) '' + ( lambda + 1-x ^ {2}) (e ^ {- x ^ {2} / 2} , y) = 0.}$

Vztah opakování je

${ displaystyle H_ {n + 1} (x) = 2x , H_ {n} (x) -2n , H_ {n-1} (x).}$

Rodriguesův vzorec je

${ displaystyle H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} , e ^ {x ^ {2}} { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} vlevo (e ^ {- x ^ {2}} vpravo).}$

Prvních několik Hermitových polynomů je

${ displaystyle H_ {0} (x) = 1}$

${ displaystyle H_ {1} (x) = 2x}$

${ displaystyle H_ {2} (x) = 4x ^ {2} -2}$

${ displaystyle H_ {3} (x) = 8x ^ {3} -12x}$

${ displaystyle H_ {4} (x) = 16x ^ {4} -48x ^ {2} +12}$

Lze definovat přidružené Hermitovy funkce

${ displaystyle psi _ {n} (x) = (h_ {n}) ^ {- 1/2} , e ^ {- x ^ {2} / 2} H_ {n} (x).}$

Protože multiplikátor je úměrný druhé odmocnině váhové funkce, jsou tyto funkce kolmé ${ displaystyle (- infty, infty)}$ bez funkce hmotnosti.

Třetí forma výše uvedené diferenciální rovnice pro související Hermitovy funkce je

${ displaystyle psi '+ + ( lambda + 1-x ^ {2}) psi = 0.}$

Související Hermitovy funkce vznikají v mnoha oblastech matematiky a fyziky. V kvantové mechanice jsou řešením Schrödingerovy rovnice pro harmonický oscilátor. Jsou to také vlastní funkce (s vlastní hodnotou (-i ⁿ) z spojitá Fourierova transformace.

Mnoho autorů, zejména pravděpodobných, používá alternativní definici Hermitových polynomů s váhovou funkcí ${ displaystyle e ^ {- x ^ {2} / 2}}$ namísto ${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}$. Pokud notace On se používá pro tyto Hermitovy polynomy a H pro ty výše, pak je lze charakterizovat

${ displaystyle He_ {n} (x) = 2 ^ {- n / 2} , H_ {n} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}$

Další podrobnosti viz Hermitovy polynomy.

Charakterizace klasických ortogonálních polynomů

Existuje několik podmínek, které oddělují klasické ortogonální polynomy od ostatních.

První podmínku našla Sonine (a později Hahn), která ukázala, že (až do lineárních změn proměnné) jsou klasické ortogonální polynomy jediné, takže jejich deriváty jsou také ortogonální polynomy.

Bochner charakterizoval klasické ortogonální polynomy z hlediska jejich relací rekurence.

Tricomi charakterizoval klasické ortogonální polynomy jako ty, které mají určitý analog Rodriguesův vzorec.

Tabulka klasických ortogonálních polynomů

Následující tabulka shrnuje vlastnosti klasických ortogonálních polynomů.^[3]

Jméno a konvenční symbol	Čebyšev, ${ displaystyle T_ {n}}$	Čebyšev (druhý druh), ${ displaystyle U_ {n}}$	Legendre, ${ displaystyle P_ {n}}$	Poustevník, ${ displaystyle H_ {n}}$
Meze ortogonality[4]	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle - infty, infty}$
Hmotnost, ${ displaystyle W (x)}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {- 1/2}}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}$
Standardizace	${ displaystyle T_ {n} (1) = 1}$	${ displaystyle U_ {n} (1) = n + 1}$	${ displaystyle P_ {n} (1) = 1}$	Hlavní termín ${ displaystyle = 2 ^ {n}}$
Čtverec normy [5]	${ displaystyle left {{ begin {matrix} pi &: ~ n = 0 pi / 2 &: ~ n neq 0 end {matrix}} right.}$	${ displaystyle pi / 2}$	${ displaystyle { frac {2} {2n + 1}}}$	${ displaystyle 2 ^ {n} , n! , { sqrt { pi}}}$
Hlavní termín [6]	${ displaystyle 2 ^ {n-1}}$	${ displaystyle 2 ^ {n}}$	${ displaystyle { frac {(2n)!} {2 ^ {n} , (n!) ^ {2}}}}$	${ displaystyle 2 ^ {n}}$
Druhé období, ${ displaystyle k '_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
${ displaystyle Q}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle L}$	${ displaystyle -x}$	${ displaystyle -3x}$	${ displaystyle -2x}$	${ displaystyle -2x}$
${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {1/2}}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {3/2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}$
Konstantní v rozdílu rovnice, ${ displaystyle lambda _ {n}}$	${ displaystyle n ^ {2}}$	${ displaystyle n (n + 2)}$	${ displaystyle n (n + 1)}$	${ displaystyle 2n}$
Konstantní v Rodriguesově vzorci, ${ displaystyle e_ {n}}$	${ displaystyle (-2) ^ {n} , { frac { gama (n + 1/2)} { sqrt { pi}}}}$	${ displaystyle 2 (-2) ^ {n} , { frac { gama (n + 3/2)} {(n + 1) , { sqrt { pi}}}}}$	${ displaystyle (-2) ^ {n} , n!}$	${ displaystyle (-1) ^ {n}}$
Relace opakování, ${ displaystyle a_ {n}}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle 2}$	${ displaystyle { frac {2n + 1} {n + 1}}}$	${ displaystyle 2}$
Relace opakování, ${ displaystyle b_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle 0}$
Relace opakování, ${ displaystyle c_ {n}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle { frac {n} {n + 1}}}$	${ displaystyle 2n}$

Jméno a konvenční symbol	Přidružený Laguerre, ${ displaystyle L_ {n} ^ {( alfa)}}$	Laguerre, ${ displaystyle L_ {n}}$
Meze ortogonality	${ displaystyle 0, infty}$	${ displaystyle 0, infty}$
Hmotnost, ${ displaystyle W (x)}$	${ displaystyle x ^ { alpha} e ^ {- x}}$	${ displaystyle e ^ {- x}}$
Standardizace	Hlavní termín ${ displaystyle = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$	Hlavní termín ${ displaystyle = { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$
Náměstí normy, ${ displaystyle h_ {n}}$	${ displaystyle { frac { Gamma (n + alpha +1)} {n!}}}$	${ displaystyle 1}$
Hlavní termín, ${ displaystyle k_ {n}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$
Druhé období, ${ displaystyle k '_ {n}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n + 1} (n + alpha)} {(n-1)!}}}$	${ displaystyle { frac {(-1) ^ {n + 1} n} {(n-1)!}}}$
${ displaystyle Q}$	${ displaystyle x}$	${ displaystyle x}$
${ displaystyle L}$	${ displaystyle alpha + 1-x}$	${ displaystyle 1-x}$
${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$	${ displaystyle x ^ { alpha +1} , e ^ {- x}}$	${ displaystyle x , e ^ {- x}}$
Konstantní v rozdílu rovnice, ${ displaystyle lambda _ {n}}$	${ displaystyle n}$	${ displaystyle n}$
Konstantní v Rodriguesově vzorci, ${ displaystyle e_ {n}}$	${ displaystyle n!}$	${ displaystyle n!}$
Relace opakování, ${ displaystyle a_ {n}}$	${ displaystyle { frac {-1} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {-1} {n + 1}}}$
Relace opakování, ${ displaystyle b_ {n}}$	${ displaystyle { frac {2n + 1 + alpha} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {2n + 1} {n + 1}}}$
Relace opakování, ${ displaystyle c_ {n}}$	${ displaystyle { frac {n + alpha} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {n} {n + 1}}}$

Jméno a konvenční symbol	Gegenbauer, ${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)}}$	Jacobi, ${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)}}$
Meze ortogonality	${ displaystyle -1,1}$	${ displaystyle -1,1}$
Hmotnost, ${ displaystyle W (x)}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ { alpha -1/2}}$	${ displaystyle (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta}}$
Standardizace	${ displaystyle C_ {n} ^ {( alfa)} (1) = { frac { gama (n + 2 alfa)} {n! , gama (2 alfa)}}}$ -li ${ displaystyle alpha neq 0}$	${ displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)} (1) = { frac { gama (n + 1 + alfa)} {n! , gama (1+ alfa)} }}$
Náměstí normy, ${ displaystyle h_ {n}}$	${ displaystyle { frac { pi , 2 ^ {1-2 alpha} Gamma (n + 2 alpha)} {n! (n + alpha) ( Gamma ( alpha)) ^ {2} }}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ { alpha + beta +1} , Gamma (n ! + ! alpha ! + ! 1) , Gamma (n ! + ! beta ! + ! 1)} {n! (2n ! + ! alpha ! + ! beta ! + ! 1) Gamma (n ! + ! alpha ! + ! beta ! + ! 1)}}}$
Hlavní termín, ${ displaystyle k_ {n}}$	${ displaystyle { frac { Gamma (2n + 2 alfa) gama (1/2 + alfa)} {n! , 2 ^ {n} , gama (2 alfa) gama (n + 1/2 + alpha)}}}$	${ displaystyle { frac { Gamma (2n + 1 + alpha + beta)} {n! , 2 ^ {n} , Gamma (n + 1 + alpha + beta)}}}$
Druhé období, ${ displaystyle k '_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {( alpha - beta) , Gamma (2n + alpha + beta)} {(n-1)! , 2 ^ {n} , Gamma (n + 1 + alpha + beta)}}}$
${ displaystyle Q}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$	${ displaystyle 1-x ^ {2}}$
${ displaystyle L}$	${ displaystyle - (2 alfa +1) , x}$	${ displaystyle beta - alfa - ( alfa + beta +2) , x}$
${ displaystyle R (x) = e ^ { int { frac {L (x)} {Q (x)}} , dx}}$	${ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ { alpha +1/2}}$	${ displaystyle (1-x) ^ { alfa +1} (1 + x) ^ { beta +1}}$
Konstantní v rozdílu rovnice, ${ displaystyle lambda _ {n}}$	${ displaystyle n (n + 2 alfa)}$	${ displaystyle n (n + 1 + alpha + beta)}$
Konstantní v Rodriguesově vzorci, ${ displaystyle e_ {n}}$	${ displaystyle { frac {(-2) ^ {n} , n! , gama (2 alfa) , gama (n ! + ! 1/2 ! + ! alfa) } { Gamma (n ! + ! 2 alpha) Gamma ( alpha ! + ! 1/2)}}}$	${ displaystyle (-2) ^ {n} , n!}$
Relace opakování, ${ displaystyle a_ {n}}$	${ displaystyle { frac {2 (n + alpha)} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {(2n + 1 + alpha + beta) (2n + 2 + alpha + beta)} {2 (n + 1) (n + 1 + alpha + beta)}} }$
Relace opakování, ${ displaystyle b_ {n}}$	${ displaystyle 0}$	${ displaystyle { frac {({ alpha} ^ {2} - { beta} ^ {2}) (2n + 1 + alpha + beta)} {2 (n + 1) (2n + alpha + beta) (n + 1 + alpha + beta)}}}$
Relace opakování, ${ displaystyle c_ {n}}$	${ displaystyle { frac {n + 2 { alpha} -1} {n + 1}}}$	${ displaystyle { frac {(n + alpha) (n + beta) (2n + 2 + alpha + beta)} {(n + 1) (n + 1 + alpha + beta) (2n + alpha + beta)}}}$