Vnější opatření - Outer measure
Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Leden 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
V matematický pole teorie míry, an vnější míra nebo vnější opatření je funkce definované pro všechny podmnožiny dané soubor s hodnotami v rozšířená reálná čísla splnění některých dalších technických podmínek. Teorii vnějších opatření poprvé představil Constantin Carathéodory poskytnout abstraktní základ pro teorii měřitelné sady a spočetně aditivní opatření.[1][2] Carathéodoryova práce na vnějších opatřeních našla mnoho aplikací v teorii míry teorie množin (vnější opatření se používají například v důkazu základního Carathéodoryova věta o rozšíření ), a byl zásadním způsobem použit Hausdorff definovat metriku podobnou dimenzi neměnný nyní volal Hausdorffova dimenze. Vnější opatření se běžně používají v oblasti teorie geometrických měr.
Míry jsou zevšeobecněním délky, plochy a objemu, ale jsou užitečné pro mnohem abstraktnější a nepravidelné množiny než intervaly v R nebo koule dovnitř R3. Lze očekávat, že definujeme obecnou měřicí funkci φ on R který splňuje následující požadavky:
- Libovolný interval realit [A, b] má míru b − A
- Měřicí funkce φ je nezáporná rozšířená reálná funkce definovaná pro všechny podmnožiny R.
- Překladová invariance: Pro libovolnou množinu A a jakékoli skutečné X, sady A a A + x mít stejnou míru (kde )
- Počitatelná aditivita: pro všechny sekvence (Aj) po dvou disjunktní podmnožiny z R
Ukazuje se, že tyto požadavky jsou nekompatibilní podmínky; vidět neměřitelná množina. Účel konstrukce vnější měřit na všech podskupinách X je vybrat třídu podmnožin (které se mají volat) měřitelný) takovým způsobem, aby uspokojil spočítatelnou vlastnost aditivity.
Vnější opatření
Vzhledem k sadě X, nechť 2X označit sbírka všech podskupin z X, včetně prázdná sada ∅. An vnější míra na X je funkce
takhle
- μ(∅) = 0
- pro libovolné podmnožiny A, B1, B2, ... z X,
Všimněte si, že v této definici není žádná jemnost ohledně nekonečného součtu. Vzhledem k tomu, že všechny součty jsou považovány za nezáporné, posloupnost částečných součtů se mohla lišit pouze zvýšením bez vazby. Takže nekonečný součet, který se objeví v definici, bude vždy přesně definovaným prvkem [0,∞]. Pokud by místo toho vnějšímu opatření bylo dovoleno přijímat záporné hodnoty, musela by být jeho definice upravena tak, aby zohledňovala možnost nekonvergentních nekonečných součtů.
Alternativní a ekvivalentní definice.[3] Některé učebnice, například Halmos (1950), místo toho definují vnější míru X být funkcí μ : 2X→[0,∞] takhle
- μ(∅) = 0
- -li A a B jsou podmnožiny X s A ⊂ B, pak μ(A) ≤ μ(B)
- pro libovolné podmnožiny B1, B2, ... z X, jeden má
Důkaz rovnocennosti. |
Předpokládejme to μ je vnější míra ve smyslu původně uvedeném výše. Li A a B jsou podmnožiny X s A ⊂ B, poté odvoláním na definici pomocí B1 = B a Bj = ∅ pro všechny j ≥ 2, jeden to najde μ(A) ≤ μ(B). Třetí podmínka v alternativní definici je bezprostřední z triviálního pozorování ∪jBj ⊂ ∪jBj. Předpokládejme, že místo toho μ je vnější mírou v alternativní definici. Nechat A, B1, B2, ... být libovolné podmnožiny Xa předpokládejme to Jeden pak má s první nerovností vyplývající z druhé podmínky v alternativní definici a druhou nerovností vyplývající ze třetí podmínky v alternativní definici. Tak μ je vnější mírou ve smyslu původní definice. |
Měřitelnost množin vzhledem k vnější míře
Nechat X být množinou s vnější mírou μ. Jeden říká, že podmnožina E z X je μ-měřitelný (někdy "Carathéodory - měřitelné vzhledem k μ") právě tehdy
pro každou podmnožinu A z X.
Neformálně to říká, že a μ-měřitelná podmnožina je ta, kterou lze použít jako stavební blok a rozdělit jakoukoli jinou podmnožinu na kousky (jmenovitě kousek, který je uvnitř měřitelné sady, spolu s kouskem, který je mimo měřitelnou sadu). Z hlediska motivace pro teorii opatření by se to dalo očekávat plocha například by měla být vnější mírou v rovině. Dalo by se pak očekávat, že každá podmnožina letadla bude považována za „měřitelnou“ podle očekávaného principu
kdykoli A a B jsou disjunktní podmnožiny roviny. Formální logický vývoj teorie však ukazuje, že situace je složitější. Formální důsledky axiom volby je to, že pro jakoukoli definici oblasti jako vnější míry, která zahrnuje jako zvláštní případ standardní vzorec pro plochu obdélníku, musí existovat podmnožiny roviny, které nelze měřit. Zejména výše uvedený „očekávaný princip“ je nepravdivý, za předpokladu, že se přijme axiom výběru.
Prostor míry přidružený k vnější míře
Je jednoduché použít výše uvedenou definici μ-měřitelnost to vidět
- -li A ⊂ X je μ-měřitelný pak jeho doplněk X − A ⊂ X je také μ-měřitelný.
Následující podmínka je známá jako „spočetná aditivita z μ na měřitelné podmnožiny. “
- -li A1, A2, ... jsou μ-měřitelné podmnožiny X a Ai ∩ Aj je prázdné kdykoli i ≠ j, pak jeden má
Důkaz spočetné aditivity. |
Jeden má automaticky závěr v podobě „≤„z definice vnějšího opatření. Je tedy nutné prokázat pouze“≥"nerovnost. Jeden má pro jakékoli kladné číslo N, kvůli druhé podmínce v „alternativní definici“ vnější míry uvedené výše. Předpokládejme (indukčně), že Uplatnění výše uvedené definice μ-měřitelnost s A = A1 ∪ ⋅⋅⋅ ∪ AN a s E = AN, jeden má který uzavře indukci. Když se vrátíme k prvnímu řádku důkazu, pak jeden má pro jakékoli kladné celé číslo N. Poté lze odeslat N do nekonečna pro získání požadovaného "≥„nerovnost. |
Podobný důkaz ukazuje, že:
- -li A1, A2, ... jsou μ-měřitelné podmnožiny X, pak unie ∪j ∈ ℕ Aj a křižovatka ∩j ∈ ℕ Aj jsou také μ-měřitelný.
Vlastnosti zde uvedené lze shrnout do následující terminologie:
Vzhledem k jakémukoli vnějšímu opatření μ na setu X, sbírka všech μ-měřitelné podmnožiny X je σ-algebra. K omezení μ k této σ-algebře je míra.
Jeden tak má zapnutou měrnou prostorovou strukturu X, vyplývající přirozeně ze specifikace vnějšího opatření dne X. Tento měrný prostor má další vlastnost úplnost, který je obsažen v následujícím prohlášení:
- Každá podmnožina A ⊂ X takhle μ(A) = 0 je μ-měřitelný.
To lze snadno dokázat použitím druhé vlastnosti v „alternativní definici“ vnější míry.
Omezení a posunutí vnější míry
Nechat μ být vnější mírou na scéně X.
Tlačit kupředu
Vzhledem k další sadě Y a mapa F : X→Y, definovat F# μ : 2Y→[0,∞] podle
Lze ověřit přímo z definic, které F# μ je vnější míra na Y.
Omezení
Nechat B být podmnožinou X. Definovat μB : 2X→[0,∞] podle
Jeden může zkontrolovat přímo z definic, které μB je další vnější opatření X.
Měřitelnost množin ve vztahu k dopřednosti nebo omezení
Pokud podmnožina A z X je μ- měřitelné, pak také μB- měřitelné pro jakoukoli podmnožinu B z X.
Vzhledem k mapě F : X→Y a podmnožina A z Y, pokud F −1(A) je μ- měřitelné tedy A je F# μ-měřitelný. Obecněji, F −1(A) je μ-měřitelné, pokud a jen pokud A je F# (μB)- měřitelné pro každou podmnožinu B z X.
Pravidelná vnější opatření
Definice pravidelné vnější míry
Vzhledem k sadě Xvnější opatření μ na X se říká, že je pravidelný pokud lze některou podmnožinu přiblížit „zvenčí“ pomocí μ-měřitelné sady. Formálně to vyžaduje některou z následujících ekvivalentních podmínek:
- pro jakoukoli podmnožinu A z X a jakékoli kladné číslo ε, existuje a μ-měřitelná podmnožina B z X který obsahuje A a s μ(B) < μ(A) + ε.
- pro jakoukoli podmnožinu A z X, existuje a μ-měřitelná podmnožina B z X který obsahuje A a takhle μ(B) = μ(A).
Je automatické, že druhá podmínka implikuje první; první implikuje druhý uvažováním průniku minimalizující posloupnosti podmnožin.
Pravidelná vnější míra spojená s vnější mírou
Vzhledem k vnějšímu opatření μ na setu X, definovat ν : 2X→[0,∞] podle
Pak ν je pravidelné vnější opatření na X který přiřadí stejnou míru jako μ všem μ-měřitelné podmnožiny X. Každý μ-měřitelná podmnožina je také ν- měřitelné a všechny ν-měřitelná podmnožina konečných ν- opatření je také μ-měřitelný.
Takže měrný prostor spojený s ν může mít větší σ-algebru než přidružený měrný prostor μ. Omezení ν a μ k menší σ-algebře jsou identické. Prvky větší σ-algebry, které nejsou obsaženy v menší σ-algebře, jsou nekonečné ν- opatření a konečné μ-opatření.
Z tohoto pohledu ν lze považovat za rozšíření μ.
Vnější rozměr a topologie
Předpokládat (XD) je metrický prostor a φ vnější opatření na X. Li φ má vlastnost, která
kdykoli
pak φ se nazývá a metrická vnější míra.
Teorém. Li φ je metrická vnější míra na X, pak každá Borelova podmnožina X je φ-měřitelný. (The Sady Borel z X jsou prvky nejmenších σ-algebra generovaná otevřenými množinami.)
Výstavba vnějších opatření
Existuje několik postupů pro konstrukci vnějších opatření na množině. Níže uvedený klasický odkaz na Munroe popisuje dva obzvláště užitečné, které jsou označovány jako Metoda I a Metoda II.
Metoda I
Nechat X být sadou, C rodina podmnožin X který obsahuje prázdnou sadu a p nezáporná rozšířená funkce se skutečnou hodnotou na C který zmizí na prázdné sadě.
Teorém. Předpokládejme rodinu C a funkce p jsou jak je uvedeno výše a definují
Toto je infimum přesahuje všechny sekvence {Ai} prvků C které kryjí E, s konvencí, že infimum je nekonečné, pokud taková posloupnost neexistuje. Pak φ je vnější míra na X.
Metoda II
Druhá technika je vhodnější pro konstrukci vnějších měr v metrických prostorech, protože poskytuje metrické vnější měrky. Předpokládat (XD) je metrický prostor. Jak je uvedeno výše C je rodina podmnožin X který obsahuje prázdnou sadu a p nezáporná rozšířená funkce se skutečnou hodnotou na C který zmizí na prázdné sadě. Pro každého 5> 0, nechť
a
Očividně, φδ ≥ φδ ' když δ ≤ δ ' protože infimum je převzato menší třídou jako δ klesá. Tím pádem
existuje (možná nekonečný).
Teorém. φ0 je metrická vnější míra na X.
Toto je konstrukce použitá v definici Hausdorffova opatření pro metrický prostor.
Viz také
Poznámky
- ^ Carathéodory 1968
- ^ Aliprantis & Border 2006, str. S379
- ^ Původní definice uvedená výše navazuje na široce citované texty Federera a Evanse a Gariepyho. Všimněte si, že obě tyto knihy používají nestandardní terminologii při definování „míry“ jako toho, co se zde nazývá „vnější míra“. Kromě toho došlo k chybě Federerovy definice, která tvrdí, že první podmínka je důsledkem druhé. To je nepravdivé, jak je vidět na příkladu „μ(A) = 1 pro všechny podskupiny A z X."
Reference
- Aliprantis, C.D .; Border, K.C. (2006). Nekonečná dimenzionální analýza (3. vyd.). Berlín, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 3-540-29586-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Carathéodory, C. (1968) [1918]. Vorlesungen über reelle Funktionen (v němčině) (3. vyd.). Nakladatelství Chelsea. ISBN 978-0828400381.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Evans, Lawrence C .; Gariepy, Ronald F. (2015). Teorie měření a jemné vlastnosti funkcí. Přepracované vydání. Učebnice z matematiky. CRC Press, Boca Raton, FL. str. xiv + 299. ISBN 978-1-4822-4238-6.
- Federer, H. (1996) [1969]. Teorie geometrických měr. Classics in Mathematics (1st ed dotisk ed.). Berlín, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 978-3540606567.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Halmos, P. (1978) [1950]. Teorie měření. Postgraduální texty z matematiky (2. vyd.). Berlín, Heidelberg, New York: Springer Verlag. ISBN 978-0387900889.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Munroe, M. E. (1953). Úvod do měření a integrace (1. vyd.). Addison Wesley. ISBN 978-1124042978.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1970). Úvodní skutečná analýza. Richard A. Silverman překlad. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61226-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)