Polynomiální sekvence
v matematika , Jacobiho polynomy (občas volal hypergeometrické polynomy ) P (α , β ) n (X ) jsou třídou klasický ortogonální polynomy . Jsou kolmé vzhledem k hmotnosti (1 − X )α (1 + X )β na intervalu [−1, 1] . The Gegenbauerovy polynomy , a tedy také Legendre , Zernike a Čebyševovy polynomy , jsou speciální případy Jacobiho polynomů.[1]
Jacobiho polynomy byly představeny Carl Gustav Jacob Jacobi .
Definice Přes hypergeometrickou funkci Jacobiho polynomy jsou definovány pomocí hypergeometrická funkce jak následuje:[2]
P n ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) n n ! 2 F 1 ( − n , 1 + α + β + n ; α + 1 ; 1 2 ( 1 − z ) ) , { displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (z) = { frac {( alpha +1) _ {n}} {n!}} , {} _ {2} F_ {1} left (-n, 1 + alpha + beta + n; alpha +1; { tfrac {1} {2}} (1-z) right),} kde ( α + 1 ) n { displaystyle ( alpha +1) _ {n}} je Pochhammerův symbol (pro rostoucí faktoriál). V tomto případě je řada pro hypergeometrickou funkci konečná, proto se získá následující ekvivalentní výraz:
P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m . { displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)} (z) = { frac { gama ( alfa + n + 1)} {n! , gama ( alfa + beta + n + 1)}} sum _ {m = 0} ^ {n} {n vyberte m} { frac { Gamma ( alpha + beta + n + m + 1)} { Gamma ( alpha + m + 1)}} vlevo ({ frac {z-1} {2}} vpravo) ^ {m}.} Rodriguesův vzorec Ekvivalentní definice je dána vztahem Rodriguesův vzorec :[1] [3]
P n ( α , β ) ( z ) = ( − 1 ) n 2 n n ! ( 1 − z ) − α ( 1 + z ) − β d n d z n { ( 1 − z ) α ( 1 + z ) β ( 1 − z 2 ) n } . { displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (z) = { frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n} n!}} (1-z) ^ {- alpha} (1 + z) ^ {- beta} { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} left {(1-z) ^ { alpha} (1 + z) ^ { beta} left (1-z ^ {2} right) ^ {n} right }.} Li α = β = 0 { displaystyle alpha = beta = 0} , pak se redukuje na Legendární polynomy :
P n ( z ) = 1 2 n n ! d n d z n ( z 2 − 1 ) n . { displaystyle P_ {n} (z) = { frac {1} {2 ^ {n} n!}} { frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} (z ^ {2 } -1) ^ {n} ;.} Alternativní výraz pro skutečný argument Opravdu X Jacobiho polynom lze alternativně zapsat jako
P n ( α , β ) ( X ) = ∑ s = 0 n ( n + α n − s ) ( n + β s ) ( X − 1 2 ) s ( X + 1 2 ) n − s { displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) = součet _ {s = 0} ^ {n} {n + alpha zvolit ns} {n + beta zvolit s} left ({ frac {x-1} {2}} right) ^ {s} left ({ frac {x + 1} {2}} right) ^ {ns}} a na celé číslo n
( z n ) = { Γ ( z + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( z − n + 1 ) n ≥ 0 0 n < 0 { displaystyle {z select n} = { begin {cases} { frac { Gamma (z + 1)} { Gamma (n + 1) Gamma (z-n + 1)}} & n geq 0 0 & n <0 end {cases}}} kde Γ (z ) je Funkce gama .
Ve zvláštním případě, že čtyři veličiny n , n + α , n + β , a n + α + β jsou nezáporná celá čísla, Jacobiho polynom lze zapsat jako
P n ( α , β ) ( X ) = ( n + α ) ! ( n + β ) ! ∑ s = 0 n 1 s ! ( n + α − s ) ! ( β + s ) ! ( n − s ) ! ( X − 1 2 ) n − s ( X + 1 2 ) s . { displaystyle P_ {n} ^ {( alfa, beta)} (x) = (n + alfa)! (n + beta)! součet _ {s = 0} ^ {n} { frac {1 } {s! (n + alpha -s)! ( beta + s)! (ns)!}} left ({ frac {x-1} {2}} right) ^ {ns} left ( { frac {x + 1} {2}} vpravo) ^ {s}.} (1 )
Součet přesahuje všechny celočíselné hodnoty s pro které jsou argumenty faktoriálů nezáporné.
Speciální případy P 0 ( α , β ) ( z ) = 1 , { displaystyle P_ {0} ^ {( alfa, beta)} (z) = 1,} P 1 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) + ( α + β + 2 ) z − 1 2 , { displaystyle P_ {1} ^ {( alpha, beta)} (z) = ( alpha +1) + ( alpha + beta +2) { frac {z-1} {2}}, } P 2 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 + ( α + 2 ) ( α + β + 3 ) z − 1 2 + ( α + β + 3 ) ( α + β + 4 ) 2 ( z − 1 2 ) 2 , . . . { displaystyle P_ {2} ^ {( alpha, beta)} (z) = { frac {( alpha +1) ( alpha +2)} {2}} + ( alpha +2) ( alpha + beta +3) { frac {z-1} {2}} + { frac {( alpha + beta +3) ( alpha + beta +4)} {2}} vlevo ({ frac {z-1} {2}} vpravo) ^ {2}, ...} Základní vlastnosti Ortogonalita Jacobiho polynomy splňují podmínku ortogonality
∫ − 1 1 ( 1 − X ) α ( 1 + X ) β P m ( α , β ) ( X ) P n ( α , β ) ( X ) d X = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m , α , β > − 1. { displaystyle int _ {- 1} ^ {1} (1-x) ^ { alpha} (1 + x) ^ { beta} P_ {m} ^ {( alpha, beta)} (x ) P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (x) , dx = { frac {2 ^ { alpha + beta +1}} {2n + alpha + beta +1}} { frac { Gamma (n + alpha +1) Gamma (n + beta +1)} { Gamma (n + alpha + beta +1) n!}} delta _ {nm}, qquad alfa , beta> -1.} Jak je definováno, nemají jednotkovou normu s ohledem na hmotnost. To lze opravit vydělením druhou odmocninou na pravé straně výše uvedené rovnice, když n = m { displaystyle n = m} .
Ačkoli nepřináší ortonormální základ, je někdy kvůli jeho jednoduchosti upřednostňována alternativní normalizace:
P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . { displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (1) = {n + alpha zvolit n}.} Vztah symetrie Polynomy mají vztah symetrie
P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; { displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (- z) = (- 1) ^ {n} P_ {n} ^ {( beta, alpha)} (z);} tedy druhá koncová hodnota je
P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . { displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (- 1) = (- 1) ^ {n} {n + beta zvolit n}.} Deriváty The k th derivát výslovného výrazu vede k
d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . { displaystyle { frac {d ^ {k}} {dz ^ {k}}} P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (z) = { frac { Gamma ( alpha + beta + n + 1 + k)} {2 ^ {k} Gamma ( alpha + beta + n + 1)}} P_ {nk} ^ {( alpha + k, beta + k)} (z ).} Diferenciální rovnice Jacobiho polynom P (α , β ) n je řešením druhého řádu lineární homogenní diferenciální rovnice [1]
( 1 − X 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) X ) y ′ + n ( n + α + β + 1 ) y = 0. { displaystyle left (1-x ^ {2} right) y '' + ( beta - alpha - ( alpha + beta +2) x) y '+ n (n + alpha + beta + 1) y = 0.} Vztahy opakování The relace opakování pro Jacobiho polynomy pevné α ,β je:[1]
2 n ( n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( 2 n + α + β − 1 ) { ( 2 n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) z + α 2 − β 2 } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( n + α − 1 ) ( n + β − 1 ) ( 2 n + α + β ) P n − 2 ( α , β ) ( z ) , { displaystyle { begin {zarovnáno} & 2n (n + alpha + beta) (2n + alpha + beta -2) P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (z) & qquad = (2n + alpha + beta -1) { Big {} (2n + alpha + beta) (2n + alpha + beta -2) z + alpha ^ {2} - beta ^ {2} { Big }} P_ {n-1} ^ {( alpha, beta)} (z) -2 (n + alpha -1) (n + beta -1) (2n + alpha + beta) P_ { n-2} ^ {( alpha, beta)} (z), end {zarovnáno}}} pro n = 2, 3, ....
Protože Jacobiho polynomy lze popsat pomocí hypergeometrické funkce, rekurence hypergeometrické funkce poskytují ekvivalentní recidivy Jacobiho polynomů. Zejména Gaussovy souvislé vztahy odpovídají identitám
( z − 1 ) d d z P n ( α , β ) ( z ) = 1 2 ( z − 1 ) ( 1 + α + β + n ) P n − 1 ( α + 1 , β + 1 ) = n P n ( α , β ) − ( α + n ) P n − 1 ( α , β + 1 ) = ( 1 + α + β + n ) ( P n ( α , β + 1 ) − P n ( α , β ) ) = ( α + n ) P n ( α − 1 , β + 1 ) − α P n ( α , β ) = 2 ( n + 1 ) P n + 1 ( α , β − 1 ) − ( z ( 1 + α + β + n ) + α + 1 + n − β ) P n ( α , β ) 1 + z = ( 2 β + n + n z ) P n ( α , β ) − 2 ( β + n ) P n ( α , β − 1 ) 1 + z = 1 − z 1 + z ( β P n ( α , β ) − ( β + n ) P n ( α + 1 , β − 1 ) ) . { displaystyle { begin {aligned} (z-1) { frac {d} {dz}} P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (z) & = { frac {1} { 2}} (z-1) (1+ alpha + beta + n) P_ {n-1} ^ {( alpha +1, beta +1)} & = nP_ {n} ^ {( alpha, beta)} - ( alpha + n) P_ {n-1} ^ {( alpha, beta +1)} & = (1+ alpha + beta + n) left ( P_ {n} ^ {( alpha, beta +1)} - P_ {n} ^ {( alpha, beta)} right) & = ( alpha + n) P_ {n} ^ { ( alpha -1, beta +1)} - alpha P_ {n} ^ {( alpha, beta)} & = { frac {2 (n + 1) P_ {n + 1} ^ {( alpha, beta -1)} - left (z (1+ alpha + beta + n) + alpha + 1 + n- beta right) P_ {n} ^ {( alpha, beta)}} {1 + z}} & = { frac {(2 beta + n + nz) P_ {n} ^ {( alpha, beta)} - 2 ( beta + n) P_ {n} ^ {( alpha, beta -1)}} {1 + z}} & = { frac {1-z} {1 + z}} vlevo ( beta P_ {n} ^ {( alpha, beta)} - ( beta + n) P_ {n} ^ {( alpha +1, beta -1)} right) ,. end {zarovnáno}}} Generující funkce The generující funkce Jacobiho polynomů je dáno vztahem
∑ n = 0 ∞ P n ( α , β ) ( z ) t n = 2 α + β R − 1 ( 1 − t + R ) − α ( 1 + t + R ) − β , { displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} P_ {n} ^ {( alpha, beta)} (z) t ^ {n} = 2 ^ { alpha + beta} R ^ {-1} (1-t + R) ^ {- alpha} (1 + t + R) ^ {- beta},} kde
R = R ( z , t ) = ( 1 − 2 z t + t 2 ) 1 2 , { displaystyle R = R (z, t) = doleva (1-2zt + t ^ {2} doprava) ^ { frac {1} {2}} ~,} a větev druhé odmocniny je vybrána tak, že R (z , 0) = 1.[1]
Asymptotika Jacobiho polynomů Pro X v interiéru [−1, 1] , asymptotika P (α , β ) n pro velké n je dán vzorcem Darboux[1]
P n ( α , β ) ( cos θ ) = n − 1 2 k ( θ ) cos ( N θ + y ) + Ó ( n − 3 2 ) , { displaystyle P_ {n} ^ {( alpha, beta)} ( cos theta) = n ^ {- { frac {1} {2}}} k ( theta) cos (N theta + gamma) + O left (n ^ {- { frac {3} {2}}} right),} kde
k ( θ ) = π − 1 2 hřích − α − 1 2 θ 2 cos − β − 1 2 θ 2 , N = n + 1 2 ( α + β + 1 ) , y = − π 2 ( α + 1 2 ) , { displaystyle { begin {aligned} k ( theta) & = pi ^ {- { frac {1} {2}}} sin ^ {- alpha - { frac {1} {2}} } { tfrac { theta} {2}} cos ^ {- beta - { frac {1} {2}}} { tfrac { theta} {2}}, N & = n + { tfrac {1} {2}} ( alpha + beta +1), gamma & = - { tfrac { pi} {2}} left ( alpha + { tfrac {1} {2 }} vpravo), end {zarovnáno}}} a „Ó "člen je jednotný na intervalu [ε, π -ε] pro každé ε> 0.
Asymptotika Jacobiho polynomů poblíž bodů ± 1 je dána vztahem Mehler – Heineův vzorec
lim n → ∞ n − α P n ( α , β ) ( cos ( z n ) ) = ( z 2 ) − α J α ( z ) lim n → ∞ n − β P n ( α , β ) ( cos ( π − z n ) ) = ( z 2 ) − β J β ( z ) { displaystyle { begin {aligned} lim _ {n to infty} n ^ {- alpha} P_ {n} ^ {( alpha, beta)} left ( cos left ({ tfrac {z} {n}} right) right) & = left ({ tfrac {z} {2}} right) ^ {- alpha} J _ { alpha} (z) lim _ {n to infty} n ^ {- beta} P_ {n} ^ {( alpha, beta)} left ( cos left ( pi - { tfrac {z} {n}} right) right) & = left ({ tfrac {z} {2}} right) ^ {- beta} J _ { beta} (z) end {aligned}}} kde jsou limity jednotné pro z v ohraničeném doména .
Asymptotika venku [−1, 1] je méně explicitní.
Aplikace Wigner d-matice Výraz (1 ) umožňuje vyjádření Wigner d-matice d j m ’,m (φ) (pro 0 ≤ φ ≤ 4π ) z hlediska Jacobiho polynomů:[4]
d m ′ m j ( ϕ ) = [ ( j + m ) ! ( j − m ) ! ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ] 1 2 ( hřích ϕ 2 ) m − m ′ ( cos ϕ 2 ) m + m ′ P j − m ( m − m ′ , m + m ′ ) ( cos ϕ ) . { displaystyle d_ {m'm} ^ {j} ( phi) = left [{ frac {(j + m)! (jm)!} {(j + m ')! (j-m') !}} right] ^ { frac {1} {2}} left ( sin { tfrac { phi} {2}} right) ^ {m-m '} left ( cos { tfrac { phi} {2}} vpravo) ^ {m + m '} P_ {jm} ^ {(m-m', m + m ')} ( cos phi).} Viz také Poznámky ^ A b C d E F Szegő, Gábor (1939). „IV. Jacobiho polynomy.“. Ortogonální polynomy . Publikace kolokvia. XXIII . Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-1023-1 . PAN 0372517 . Definice je v IV.1; diferenciální rovnice - v IV.2; Rodriguesův vzorec je v IV.3; generující funkce je v IV.4; opakující se vztah je v IV.5.^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 22“ . Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami . Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 561. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . PAN 0167642 . LCCN 65-12253 .^ P.K. Suetin (2001) [1994], „Jacobi_polynomials“ , Encyclopedia of Mathematics , Stiskněte EMS ^ Biedenharn, L.C .; Louck, J.D. (1981). Moment hybnosti v kvantové fyzice . Čtení: Addison-Wesley. Další čtení Andrews, George E .; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Speciální funkce Encyklopedie matematiky a její aplikace, 71 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6 , PAN 1688958 , ISBN 978-0-521-78988-2 Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S. C .; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), „Ortogonální polynomy“ , v Olver, Frank W. J. ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , PAN 2723248 externí odkazy