Protože tento poslední součet je typickým číselně teoretickým součtem, téměř jakýmkoli přirozeným multiplikativní funkce bude přesně shrnutelné, pokud bude použito v sérii Lambert. Tak například jeden má
Související série Lambert po celém světě Funkce Moebius zahrnout následující identity pro všechny prime :
Důkaz první výše uvedené identity vyplývá z vícedílné (nebo půlené) identity těchto generujících funkcí Lambertovy řady v následující podobě, kde označujeme být generující funkcí Lambertovy řady aritmetické funkce F:
Druhá identita v předchozích rovnicích vyplývá ze skutečnosti, že koeficienty součtu na levé straně jsou dány
kde funkce je multiplikativní identita s ohledem na provoz Dirichletova konvoluce aritmetických funkcí.
Obecně řečeno můžeme předchozí rozšíření generující funkce rozšířit tak, že to necháme označují charakteristickou funkci pravomoci, , pro kladná přirozená čísla a definování zobecněného m-Liouvilleova funkce lambda jako vyhovující aritmetická funkce . Tato definice to jasně naznačuje , což zase ukazuje, že
Obecně platí, že pokud napíšeme Lambertovu sérii který generuje aritmetické funkce , další páry funkcí odpovídají dalším dobře známým konvolucím vyjádřeným jejich Lambertovou generující funkcí ve formách
Konvenční použití dopisu q v součtech je historické použití, odkazující na jeho počátky v teorii eliptických křivek a theta funkcí, jako ne já.
Alternativní forma
Střídání jeden získá další společný formulář pro sérii, jako
kde
jako dříve. Příklady Lambertových sérií v této podobě s , vyskytují se ve výrazech pro Funkce Riemann zeta pro liché celočíselné hodnoty; vidět Zeta konstanty pro detaily.
Aktuální využití
V literatuře najdeme Lambertova řada aplikován na širokou škálu částek. Například od je polylogaritmus funkce, můžeme odkázat na jakýkoli součet formuláře
jako Lambertova řada za předpokladu, že parametry jsou vhodně omezeny. Tím pádem
který platí pro všechny složité q ne na jednotkovém kruhu, bude považováno za identitu Lambertovy série. Tato identita přímo následuje od některých identit publikovaných indickým matematikem S. Ramanujan. Velmi důkladný průzkum děl Ramanujana lze nalézt v pracích od Bruce Berndt.
Faktorizační věty
Trochu novější konstrukce, která byla nedávno zveřejněna v letech 2017–2018, se týká tzv Lambertovy věty o faktorizační řadě formuláře[4]
kde je příslušný součet nebo rozdíl funkcí omezeného oddílu které označují počet je ve všech oddílech disku do dokonce (respektive zvláštní) počet odlišných částí. Nechat označuje invertibilní spodní trojúhelníkovou sekvenci, jejíž prvních několik hodnot je zobrazeno v tabulce níže.
n k
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
1
0
0
0
0
0
0
3
-1
-1
1
0
0
0
0
0
4
-1
0
-1
1
0
0
0
0
5
-1
-1
-1
-1
1
0
0
0
6
0
0
1
-1
-1
1
0
0
7
0
0
-1
0
-1
-1
1
0
8
1
0
0
1
0
-1
-1
1
Další charakteristická forma rozšíření Lambertovy řady faktorizačních vět je dána vztahem[5]
kde je (nekonečný) q-Pochhammerův symbol. Invertibilní maticové produkty na pravé straně předchozí rovnice odpovídají inverzním maticovým produktům, jejichž spodní trojúhelníkové položky jsou uvedeny ve smyslu funkce oddílu a Möbiova funkce podle dělitelské částky
Následující tabulka uvádí prvních několik řádků těchto odpovídajících inverzních matic.[6]
Deriváty Lambertovy řady lze získat diferenciací řady termwise s ohledem na . Pro termwise máme následující identity deriváty Lambertovy řady pro všechny [9][10]
kde hranaté trojúhelníkové koeficienty v předchozích rovnicích označují Stirlingova čísla prvního a druhého druhu. Máme také další identitu pro extrakci jednotlivých koeficientů termínů implicitních pro předchozí expanze dané ve formě
Nyní, když definujeme funkce pro všechny podle
kde označuje Iversonova konvence, pak máme koeficienty pro deriváty Lambertovy řady dané
Typickým argumentem čistě operací na formálních mocenských řadách to samozřejmě také máme
^Viz příspěvek na fóru tady (nebo článek arXiv:1112.4911 ) a část závěrů z arXiv:1712.00611 Merca a Schmidt (2018) za použití těchto dvou méně standardních Lambertových řad pro funkci Moebius v praktických aplikacích.
^Weisstein, Eric W. "Lambertova řada". MathWorld. Citováno 22. dubna 2018.
^Merca, Mircea (13. ledna 2017). "Věta o Lambertově faktorizaci". Deník Ramanujan. 44 (2): 417–435. doi:10.1007 / s11139-016-9856-3.
^Merca, M. & Schmidt, M. D. (2018). "Generování speciálních aritmetických funkcí podle Lambertovy řady faktorizace". Příspěvky do diskrétní matematiky. objevit se. arXiv:1706.00393. Bibcode:2017arXiv170600393M.
^„A133732“. Online encyklopedie celočíselných sekvencí. Citováno 22. dubna 2018.
^M. Merca & Schmidt, M. D. (2017). "Nové dvojice faktorů pro faktorizace generování funkcí Lambertovy řady". arXiv:1706.02359 [math.CO ].
^Schmidt, Maxie D. (2017). "Kombinatorické součty a identity zahrnující zobecněné funkce dělitele s ohraničenými děliteli". arXiv:1704.05595 [math.NT ].
^Schmidt, Maxie D. (2017). „Faktorizační věty pro Hadamardovy produkty a deriváty vyšších řádů Lambertových generačních funkcí“. arXiv:1712.00608 [math.NT ].