Farey sekvence - Farey sequence

Fareyův diagram na F₉ znázorněné kruhovými oblouky. v obrázek SVG, umístěte kurzor na křivku a zvýrazněte ji a její výrazy.

Fareyův diagram do F₉.

Symetrický vzor vytvořený jmenovateli sekvence Farey, F₉.

Symetrický vzor vytvořený jmenovateli sekvence Farey, F₂₅.

v matematika, Farey sekvence řádu n je sekvence úplně snížena zlomky, buď mezi 0 a 1, nebo bez tohoto omezení,^[A] který když v nejnižších termínech mít jmenovatelé menší nebo rovno n, uspořádané v pořadí podle rostoucí velikosti.

S omezenou definicí začíná každá sekvence Farey hodnotou 0, označenou zlomkem 0/1, a končí hodnotou 1, označenou zlomkem 1/1 (ačkoli někteří autoři tyto pojmy vynechávají).

A Farey sekvence se někdy nazývá Farey série, což není striktně správné, protože termíny nejsou shrnuty.^[2]

Příklady

Fareyovy sekvence objednávek 1 až 8 jsou:

F₁ = { 0/1_, 1/1 }

F₂ = { 0/1_, 1/2_, 1/1 }

F₃ = { 0/1_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 1/1 }

F₄ = { 0/1_, 1/4_, 1/3_, 1/2_, 2/3_, 3/4_, 1/1 }

F₅ = { 0/1_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 1/1 }

F₆ = { 0/1_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 1/3_, 2/5_, 1/2_, 3/5_, 2/3_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 1/1 }

F₇ = { 0/1_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 1/1 }

F₈ = { 0/1_, 1/8_, 1/7_, 1/6_, 1/5_, 1/4_, 2/7_, 1/3_, 3/8_, 2/5_, 3/7_, 1/2_, 4/7_, 3/5_, 5/8_, 2/3_, 5/7_, 3/4_, 4/5_, 5/6_, 6/7_, 7/8_, 1/1 }

 F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2 / 5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5 , 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5 / 6, 6/7, 1/1} F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7 / 8, 1/1}

Vynesením čitatelů proti jmenovatelům Fareyovy posloupnosti získáte tvar jako ten vpravo, zobrazený pro F₆.

Odráží-li se tento tvar kolem úhlopříčky a hlavních os, vytvoří se Farey sunburst, je uvedeno níže. Fareyův výbuch pořádku n spojuje viditelné celočíselné body mřížky od počátku ve čtverci na straně 2n, se středem na počátek. Použitím Pickova věta plocha sluneční záře je 4 (|F_n| −1), kde |F_n| je počet zlomků v F_n.

Dějiny

Historie seriálu Farey je velmi zvědavá - Hardy & Wright (1979)^[3]

... opět muž, jehož jméno bylo dáno matematickému vztahu, nebyl původním objevitelem, pokud jde o záznamy. - Beiler (1964)^[4]

Farey sekvence jsou pojmenovány po britský geolog John Farey, Sr., jehož dopis o těchto sekvencích byl zveřejněn v Filozofický časopis v roce 1816. Farey se domníval, aniž by nabídl důkaz, že každý nový termín v expanzi sekvence Farey je zprostředk jejích sousedů. Fareyův dopis přečetl Cauchy, který poskytl důkaz ve svém Cvičení de mathématique, a tento výsledek připsal Farey. Ve skutečnosti jiný matematik, Charles Haros, zveřejnil podobné výsledky v roce 1802, které nebyly známy ani Fareymu, ani Cauchymu.^[4] Byla to tedy historická nehoda, která spojila Fareyovo jméno s těmito sekvencemi. Toto je příklad Stiglerův zákon eponymie.

Vlastnosti

Sekvenční délka a index zlomku

Fareyova sekvence řádu n obsahuje všechny členy Farey sekvencí nižších řádů. Zejména F_n obsahuje všechny členy F_n−1 a také obsahuje další zlomek pro každé číslo, který je menší než n a coprime na n. Tím pádem F₆ skládá se z F₅ společně s frakcemi 1/6 a 5/6.

Střední termín Fareyovy sekvence F_n je vždy 1/2, pro n > 1. Z toho můžeme spojit délky F_n a F_n−1 použitím Eulerova totientová funkce ${ displaystyle varphi (n)}$ :

${ displaystyle | F_ {n} | = | F_ {n-1} | + varphi (n).}$

S využitím skutečnosti, že |F₁| = 2, můžeme odvodit výraz pro délku F_n:^[5]

${ displaystyle | F_ {n} | = 1 + součet _ {m = 1} ^ {n} varphi (m) = 1 + Phi (n),}$

kde ${ displaystyle Phi (n)}$ je souhrnný totient.

Také máme :

${ displaystyle | F_ {n} | = { frac {1} {2}} vlevo (3+ sum _ {d = 1} ^ {n} mu (d) vlevo lfloor { tfrac { n} {d}} doprava rfloor ^ {2} doprava),}$

a a Möbioův inverzní vzorec  :

${ displaystyle | F_ {n} | = { frac {1} {2}} (n + 3) n- součet _ {d = 2} ^ {n} | F _ { lfloor n / d rfloor} |,}$

kde µ (d) je číselně-teoretický Möbiova funkce, a ${ displaystyle lfloor { tfrac {n} {d}} rfloor}$ je funkce podlahy.

Asymptotické chování |F_n| je :

${ displaystyle | F_ {n} | sim { frac {3n ^ {2}} { pi ^ {2}}}.}$

Index ${ displaystyle I_ {n} (a_ {k, n}) = k}$ zlomek ${ displaystyle a_ {k, n}}$ v sekvenci Farey ${ displaystyle F_ {n} = {a_ {k, n}: k = 0,1, ldots, m_ {n} }}$ je prostě pozice, která ${ displaystyle a_ {k, n}}$ zabírá v pořadí. To má zvláštní význam, protože se používá v alternativní formulaci Riemannova hypotéza viz níže. Následují různé užitečné vlastnosti:

${ displaystyle I_ {n} (0/1) = 0,}$

${ displaystyle I_ {n} (1 / n) = 1,}$

${ displaystyle I_ {n} (1/2) = (| F_ {n} | -1) / 2,}$

${ displaystyle I_ {n} (1/1) = | F_ {n} | -1,}$

${ displaystyle I_ {n} (h / k) = | F_ {n} | -1-I_ {n} ((k-h) / k).}$

Index ${ displaystyle 1 / k}$ kde ${ Displaystyle n / (i + 1)$ a ${ displaystyle n}$ je nejmenší společný násobek první ${ displaystyle i}$ čísla, ${ displaystyle n = { rm {lcm}} ([2, i])}$, darováno:^[6]

${ displaystyle I_ {n} (1 / k) = 1 + n součet _ {j = 1} ^ {i} { frac { varphi (j)} {j}} - k Phi (i). }$

Farey sousedé

Frakce, které jsou sousedními výrazy v libovolné Farey sekvenci, jsou známé jako Farey pár a mají následující vlastnosti.

Li A/b a C/d jsou sousedé v sekvenci Farey, s A/b < C/d, pak jejich rozdíl C/d − A/b je rovný 1/bd. Je to proto, že každá po sobě jdoucí dvojice racionálních Farey má ekvivalentní plochu 1.^[7]

Pokud jsou r1 = p / q a r2 = p '/ q' interpretovány jako vektory (p, q) v rovině x, y, oblast A (p / q, p '/ q') je dána qp ' - q'p. Jakýkoli přidaný zlomek mezi dvěma předchozími po sobě následujícími Farey sekvenčními zlomky se vypočítá jako prostředník (⊕)

A (r1, r1⊕r2) = A (r1, r1) + A (r1, r2) = A (r1, r2) = 1 (protože r1 = 1/0 a r2 = 0/1 musí být jeho plocha jedna) .

Od té doby:${ displaystyle { frac {c} {d}} - { frac {a} {b}} = { frac {bc-ad} {bd}},}$

to je ekvivalentní k tomu říkat

${ displaystyle bc-ad = 1}$.

Tím pádem 1/3 a 2/5 jsou sousedé v F₅a jejich rozdíl je 1/15.

Opak je také pravdivý. Li

${ displaystyle bc-ad = 1}$

pro kladná celá čísla A,b,C a d s A < b a C < d pak A/b a C/d budou sousedé v pořadí Farey pořadí max (b, d).

Li p/q má sousedy A/b a C/d v nějaké Farey sekvenci, s

${ displaystyle { frac {a} {b}} <{ frac {p} {q}} <{ frac {c} {d}}}$

pak p/q je zprostředk z A/b a C/d - jinými slovy,

${ displaystyle { frac {p} {q}} = { frac {a + c} {b + d}}.}$

To snadno vyplývá z předchozí vlastnosti, protože pokud bp – vod = qc – pd = 1, pak bp + pd = qc + vod, p(b + d) = q(A + C), p/q = A + C/b + d.

Z toho vyplývá, že pokud A/b a C/d jsou sousedé ve Fareyově posloupnosti, pak první člen, který se mezi nimi objeví, když se zvýší pořadí Fareyho posloupnosti, je

${ displaystyle { frac {a + c} {b + d}},}$

který se nejprve objeví v pořadí Farey pořadí b + d.

První výraz se tedy objevuje mezi 1/3 a 2/5 je 3/8, který se objeví v F₈.

Celkový počet dvojic sousedů Farey ve F_n je 2 | F_n|-3.

The Stern – Brocotův strom je datová struktura ukazující, jak je sekvence vytvořena z 0 (= 0/1) a 1 (= 1/1), tím, že po sobě jdoucích mediants.

Farey sousedé a pokračující zlomky

Frakce, které se objevují jako sousedé v sekvenci Farey, spolu úzce souvisejí pokračující zlomek expanze. Každá frakce má dvě pokračující expanze frakcí - v jedné je konečný termín 1; v druhém je konečný termín větší než 1. Pokud p/q, který se nejprve objeví v sekvenci Farey F_q, pokračuje v rozšiřování zlomků

[0; A₁, A₂, ..., A_{n − 1}, A_n, 1]

[0; A₁, A₂, ..., A_{n − 1}, A_n + 1]

pak nejbližší soused p/q v F_q (který bude jeho sousedem s větším jmenovatelem) má pokračující expanzi zlomků

[0; A₁, A₂, ..., A_n]

a jeho další soused má pokračující expanzi zlomků

[0; A₁, A₂, ..., A_{n − 1}]

Například, 3/8 má dvě pokračující expanze zlomků [0; 2, 1, 1, 1] a [0; 2, 1, 2]a jeho sousedy v F₈ jsou 2/5, které lze rozšířit jako [0; 2, 1, 1]; a 1/3, které lze rozšířit jako [0; 2, 1].

Farey zlomky a nejméně běžný násobek

The lcm lze vyjádřit jako součin Fareyových zlomků jako

${ displaystyle { text {lcm}} [1,2, ..., N] = e ^ { psi (N)} = { frac {1} {2}} vlevo ( prod _ {r in F_ {N}, 0$

kde ${ displaystyle psi (N)}$ je druhá Čebyševova funkce.^[8][9]

Farey zlomky a největší společný dělitel

Protože Eulerova totientová funkce je přímo připojen k gcd tak je počet prvků v F_n,

${ displaystyle | F_ {n} | = 1 + součet _ {m = 1} ^ {n} varphi (m) = 1 + součet limity _ {m = 1} ^ {n} součet limity _ {k = 1} ^ {m} gcd (k, m) cos {2 pi { frac {k} {m}}}.}$

Pro libovolné 3 frakce Farey A/b, C/d a E/F následující totožnost mezi gcd z 2x2 maticové determinanty v absolutní hodnotě platí:^[6]

${ displaystyle gcd left ({ begin {Vmatrix} a & c b & d end {Vmatrix}}, { begin {Vmatrix} a & e b & f end {Vmatrix}} right) = gcd left ( { begin {Vmatrix} a & c b & d end {Vmatrix}}, { begin {Vmatrix} c & e d & f end {Vmatrix}} right) = gcd left ({ begin {Vmatrix} a & e b & f end {Vmatrix}}, { begin {Vmatrix} c & e d & f end {Vmatrix}} right)}$

Aplikace

Farey sekvence jsou velmi užitečné pro nalezení racionálních aproximací iracionálních čísel.^[10] Například konstrukce od Eliahou^[11] dolní meze délky netriviálních cyklů v 3X+1 proces používá Fareyovy sekvence k výpočtu pokračujícího rozšiřování zlomků číselného protokolu₂(3).

Ve fyzických systémech s rezonančními jevy Fareyovy sekvence poskytují velmi elegantní a efektivní metodu pro výpočet rezonančních míst v 1D^[12] a 2D.^[13]

Farey sekvence jsou prominentní ve studiích plánování cesty v libovolném úhlu na čtvercových buňkách, například při charakterizaci jejich výpočetní složitosti^[14] nebo optimality.^[15] Spojení lze považovat z hlediska r- omezené cesty, konkrétně cesty složené z úseček, které každý prochází maximálně ${ displaystyle r}$ řádky a maximálně ${ displaystyle r}$ sloupce buněk. Nechat ${ displaystyle Q}$ být množinou vektorů ${ displaystyle (q, p)}$ takhle ${ Displaystyle 1 leq q leq r}$, ${ displaystyle 0 leq p leq q}$, a ${ displaystyle p}$, ${ displaystyle q}$ jsou coprime. Nechat ${ displaystyle Q *}$ být výsledkem reflexe ${ displaystyle Q}$ v řadě ${ displaystyle y = x}$. Nechat ${ displaystyle S = {( pm x, pm y) :( x, y) v Q cup Q * }}$. Pak jakýkoli r- omezenou cestu lze popsat jako posloupnost vektorů z ${ displaystyle S}$. Mezi nimi je bijekce ${ displaystyle Q}$ a Fareyova posloupnost řádu ${ displaystyle r}$ dána ${ displaystyle (q, p)}$ mapování do ${ displaystyle { tfrac {p} {q}}}$.

Ford kruhy

Porovnání Fordových kruhů a Fareyho diagramu s kruhovými oblouky pro n od 1 do 9. Každý oblouk protíná odpovídající kruhy v pravých úhlech. v obrázek SVG, umístěte kurzor na kruh nebo křivku a zvýrazněte ji a její výrazy.

Existuje souvislost mezi sekvencí Farey a Ford kruhy.

Pro každou frakci p/q (ve svých nejnižších termínech) je Fordův kruh C [p/q], což je kružnice o poloměru 1 / (2q²) a vycentrovat na (p/q, 1/ 2q² ). Dva Fordovy kruhy pro různé frakce jsou buď disjunktní nebo jsou tečna jeden druhému - dva Fordovy kruhy se nikdy neprotínají. Pokud 0 < p/q <1 pak Fordovy kruhy, které jsou tečny k C [p/q] jsou přesně Fordovy kruhy pro zlomky, které sousedí p/q v nějaké Farey sekvenci.

Tím pádem C[2/5] je tečna k C[1/2], C[1/3], C[3/7], C[3/8] atd.

Kruhy Fordu se objevují také v Apollonian těsnění (0,0,1,1). Obrázek níže to ilustruje společně s rezonančními čarami Farey.^[16]

Apollonian těsnění (0,0,1,1) a Fareyův rezonanční diagram.

Riemannova hypotéza

Farey sekvence se používají ve dvou ekvivalentních formulacích Riemannova hypotéza. Předpokládejme podmínky ${ displaystyle F_ {n}}$ jsou ${ displaystyle {a_ {k, n}: k = 0,1, ldots, m_ {n} }}$. Definovat ${ displaystyle d_ {k, n} = a_ {k, n} -k / m_ {n}}$, jinými slovy ${ displaystyle d_ {k, n}}$ je rozdíl mezi kth termín nta Fareyova sekvence a kth člen sady stejného počtu bodů, rovnoměrně rozložených na jednotkovém intervalu. V roce 1924 Jérôme Franel^[17] prokázal, že prohlášení

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m_ {n}} d_ {k, n} ^ {2} = O (n ^ {r}) quad forall r> -1}$

je ekvivalentní Riemannově hypotéze, a potom Edmund Landau^[18] poznamenal (hned po článku Franel), že prohlášení

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {m_ {n}} | d_ {k, n} | = O (n ^ {r}) quad forall r> 1/2}$

je také ekvivalentní Riemannově hypotéze.

Další částky zahrnující Fareyho zlomky

Součet všech Fareyových zlomků řádu n je poloviční počet prvků:

${ displaystyle sum _ {r in F_ {n}} r = { frac {1} {2}} | F_ {n} |.}$

Součet jmenovatelů ve Fareyově posloupnosti je dvojnásobkem součtu čitatelů a vztahuje se k Eulerově totientové funkci:

${ displaystyle sum _ {a / b in F_ {n}} b = 2 sum _ {a / b in F_ {n}} a = 1 + sum _ {i = 1} ^ {n} i varphi (i),}$

který předpokládal Harold L. Aaron v roce 1962 a demonstroval Jean A. Blake v roce 1966. Jeden řádkový důkaz domněnky Harolda L. Aarona je následující. Součet čitatelů je ${ displaystyle { displaystyle 1+ součet _ {2 leq b leq n} sum _ {(a, b) = 1} a = 1 + sum _ {2 leq b leq n} b { frac { varphi (b)} {2}}}}$. Součet jmenovatelů je${ displaystyle { displaystyle 2+ součet _ {2 leq b leq n} sum _ {(a, b) = 1} b = 2 + součet _ {2 leq b leq n} b varphi (b)}}$. Kvocient prvního součtu k druhému součtu je ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$.

Nechat b_j být seřazenými jmenovateli F_n, pak:^[19]

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {| F_ {n} | -1} { frac {b_ {j}} {b_ {j + 1}}} = { frac {3 | F_ {n } | -4} {2}}}$

a

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {| F_ {n} | -1} { frac {1} {b_ {j + 1} b_ {j}}} = 1.}$

Nechat A_j/b_j j. Fareyův zlomek v F_n, pak

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {| F_ {n} | -1} (a_ {j-1} b_ {j + 1} -a_ {j + 1} b_ {j-1}) = sum _ {j = 1} ^ {| F_ {n} | -1} { begin {Vmatrix} a_ {j-1} & a_ {j + 1} b_ {j-1} & b_ {j + 1 } end {Vmatrix}} = 3 (| F_ {n} | -1) -2n-1,}$

který je předveden v.^[20] Také podle tohoto odkazu může být výraz uvnitř součtu vyjádřen mnoha různými způsoby:

${ displaystyle a_ {j-1} b_ {j + 1} -a_ {j + 1} b_ {j-1} = { frac {b_ {j-1} + b_ {j + 1}} {b_ { j}}} = { frac {a_ {j-1} + a_ {j + 1}} {a_ {j}}} = left lfloor { frac {n + b_ {j-1}} {b_ {j}}} doprava rfloor,}$

získání tak mnoha různých součtů nad prvky Farey se stejným výsledkem. Při použití symetrie kolem 1/2 lze dřívější součet omezit na polovinu posloupnosti jako

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ { lfloor | F_ {n} | / 2 rfloor} (a_ {j-1} b_ {j + 1} -a_ {j + 1} b_ {j- 1}) = 3 (| F_ {n} | -1) / 2-n- lceil n / 2 rceil,}$

The Funkce Mertens lze vyjádřit jako součet přes Farey zlomky jako

${ displaystyle M (n) = - 1+ součet _ {a in { mathcal {F}} _ {n}} e ^ {2 pi ia}}$ kde ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ je Fareyova posloupnost řádu n.

Tento vzorec se používá v dokladu o Věta Franel – Landau.^[21]

Další termín

K vygenerování podmínek existuje překvapivě jednoduchý algoritmus F_n v tradičním pořadí (vzestupně) nebo v netradičním pořadí (sestupně). Algoritmus počítá každou po sobě jdoucí položku z hlediska předchozích dvou položek pomocí výše uvedené vlastnosti mediant. Li A/b a C/d jsou dvě zadané položky a p/q je tedy neznámý další záznam C/d = A + p/b + q. Od té doby C/d je v nejnižších termínech, musí existovat celé číslo k takhle kc = A + p a kd = b + qdávat p = kc − A a q = kd − b. Pokud vezmeme v úvahu p a q být funkcemi k, pak

${ displaystyle { frac {p (k)} {q (k)}} - { frac {c} {d}} = { frac {cb-da} {d (kd-b)}}}$

takže větší k čím blíže p/q dostane se C/d.

Chcete-li dát další termín v pořadí k musí být co největší, s výhradou kd − b ≤ n (protože uvažujeme pouze čísla s jmenovateli ne většími než n), tak k je největší celé číslo ≤n + b/d. Uvedením této hodnoty k zpět do rovnic pro p a q dává

${ displaystyle p = left lfloor { frac {n + b} {d}} right rfloor c-a}$

${ displaystyle q = left lfloor { frac {n + b} {d}} right rfloor d-b}$

To je implementováno v Krajta jak následuje:

def farey_sequence(n: int, klesající: bool = Nepravdivé) -> Žádný:    "" "Vytiskněte n'tou Fareyovu sekvenci. Počítejte buď se stoupáním, nebo sestupováním." "    (A, b, C, d) = (0, 1, 1, n)    -li klesající:        (A, C) = (1, n - 1)    tisk("{0}/{1}".formát(A, b))    zatímco (C <= n a ne klesající) nebo (A > 0 a klesající):        k = (n + b) // d        (A, b, C, d) = (C, d, k * C - A, k * d - b)        tisk("{0}/{1}".formát(A, b))

Brute-force hledá řešení Diophantine rovnice v rationals může často využít řady Farey (k hledání pouze redukovaných forem). Řádky označené (*) lze také upravit tak, aby zahrnovaly libovolné dva sousední výrazy tak, aby generovaly výrazy pouze větší (nebo menší) než daný výraz.^[22]

Viz také

• Vzor ABACABA
• Stern – Brocotův strom
• Eulerova totientová funkce

Poznámky pod čarou

Reference

Další čtení

• Hatcher, Allen. "Topologie čísel". Matematika. Ithaca, NY: Cornell U.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1989). Betonová matematika: základ pro informatiku (2. vyd.). Boston, MA: Addison-Wesley. str. 115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524. ISBN  0-201-55802-5. - zejména viz §4.5 (str. 115–123), bonusový problém 4,61 (str. 150, 523–524), §4,9 (str. 133–139), §9.3, problém 9.3.6 (str. 462– 463).
• Vepstas, Linas. „Minkowského otazník, GL (2, Z) a modulární skupina“ (PDF). - prohlíží izomorfismy Stern-Brocot Tree.
• Vepstas, Linas. „Symetrie dobově zdvojnásobujících map“ (PDF). - zkontroluje spojení mezi Farey Fractions a Fractals.
• Cobeli, Cristian; Zaharescu, Alexandru (2003). „Haros-Fareyova sekvence za dvě stě let. Průzkum“. Acta Univ. Apulensis Math. Informovat. (5): 1–38. „str. 1–20“ (PDF). Acta Univ. Apulensis. „str. 21–38“ (PDF). Acta Univ. Apulensis.
• Matveev, Andrey O. (2017). Farey Sequences: Duality and Maps Between Subsequences. Berlin, DE: De Gruyter. ISBN  978-3-11-054662-0.

externí odkazy

• Bogomolny, Alexander. "Farey série". Cut-the-Knot.
• Bogomolny, Alexander. "Stern-Brocot Tree". Cut-the-Knot.
• Pennestri, Ettore. „Brocotový stůl se základnou 120“.
• "Farey série", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Stern-Brocot Tree". MathWorld.
• OEIS posloupnost A005728 (počet zlomků ve Fareyově řadě řádu n)
• OEIS posloupnost A006842 (čitatelé Fareyovy řady řádu n)
• OEIS posloupnost A006843 (Denominátoři Fareyovy řady řádu n)
• Bonahon, Francis. Legrační zlomky a Fordovy kruhy (video). Brady Haran. Citováno 9. června 2015 - přes YouTube.