Eulerův součet - Euler summation

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice konvergentní a divergentní série, Eulerův součet je metoda shrnutí. To znamená, že se jedná o metodu přiřazení hodnoty řadě, odlišnou od konvenční metody přijímání limitů částečných součtů. Vzhledem k sérii ∑A_n, Pokud je to Eulerova transformace konverguje k součtu, pak se součet nazývá Eulerova suma původní série. Kromě toho, že se používá k definování hodnot pro divergentní řady, lze Eulerovu sumaci použít k urychlení konvergence řady.

Eulerův součet lze zobecnit do skupiny označených metod (E, q), kde q ≥ 0. Součet (E, 1) je běžný Eulerův součet. Všechny tyto metody jsou přísně slabší než Borelův součet; pro q > 0 jsou nesrovnatelné s Abelův součet.

Definice

Pro nějakou hodnotu y můžeme definovat Eulerův součet (pokud konverguje pro tuto hodnotu y) odpovídající konkrétnímu formálnímu součtu jako:

${ displaystyle _ {E_ {y}} , sum _ {j = 0} ^ { infty} a_ {j}: = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {1} {(1 + y) ^ {i + 1}}} sum _ {j = 0} ^ {i} { binom {i} {j}} y ^ {j + 1} a_ {j}.}$

Pokud všechny formální částky skutečně konvergují, bude se Eulerova částka rovnat levé straně. Použití Eulerova součtu však může urychlit konvergenci (to je zvláště užitečné pro střídavé řady); někdy to může také dát užitečný význam různým částkám.

Aby bylo ospravedlněno oznámení přístupu, že pro zaměněnou částku se Eulerova sumace redukuje na počáteční řadu, protože

${ displaystyle y ^ {j + 1} sum _ {i = j} ^ { infty} { binom {i} {j}} { frac {1} {(1 + y) ^ {i + 1 }}} = 1.}$

Tato metoda sama o sobě nemůže být vylepšena iterovanou aplikací, jako

${ displaystyle _ {E_ {y_ {1}}} {} _ {E_ {y_ {2}}} sum = , _ {E _ { frac {y_ {1} y_ {2}} {1 + y_ {1} + y_ {2}}}} součet.}$

Příklady

• Použitím y = 1 pro formální částku

${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {j} P_ {k} (j)}$

dostaneme

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {k} { frac {1} {2 ^ {i + 1}}} sum _ {j = 0} ^ {i} { binom {i} { j}} (- 1) ^ {j} P_ {k} (j),}$

-li P_k je polynom z stupeň k. Všimněte si, že vnitřní součet by byl nulový pro i > k, takže v tomto případě Eulerova sumace redukuje nekonečnou řadu na konečný součet.

• Zvláštní volba

${ displaystyle P_ {k} (j): = (j + 1) ^ {k}}$

poskytuje explicitní zastoupení Bernoulliho čísla, od té doby

${ displaystyle { frac {B_ {k + 1}} {k + 1}} = - zeta (-k)}$

(dále jen Funkce Riemann zeta ). Formální částka se v tomto případě od té doby liší k je kladné, ale použití Eulerova součtu na funkci zeta (nebo spíše na související Funkce Dirichlet eta ) výnosy (srov. Globálně konvergentní série )

${ displaystyle { frac {1} {1-2 ^ {k + 1}}} sum _ {i = 0} ^ {k} { frac {1} {2 ^ {i + 1}}} součet _ {j = 0} ^ {i} { binom {i} {j}} (- 1) ^ {j} (j + 1) ^ {k}}$

který je z uzavřená forma.

• ${ displaystyle sum _ {j = 0} ^ { infty} z ^ {j} = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {1} {(1 + y) ^ {i +1}}} sum _ {j = 0} ^ {i} { binom {i} {j}} y ^ {j + 1} z ^ {j} = { frac {y} {1 + y }} sum _ {i = 0} ^ { infty} left ({ frac {1 + yz} {1 + y}} right) ^ {i}}$

S vhodnou volbou y (tj. stejné nebo blízké -1/z) tato řada konverguje k 1/1 − z.

Viz také

• Binomická transformace
• Borelův součet
• Cesàro součet
• Lambertův součet
• Perronův vzorec
• Abelian a Tauberian věty
• Abel – Plana vzorec
• Abelův součtový vzorec
• Van Wijngaardenova transformace
• Součet Euler – Boole

Reference