Cauchysův konvergenční test - Cauchys convergence test - Wikipedia

The Cauchyho konvergenční test je metoda používaná k testování nekonečná řada pro konvergence. Spoléhá se na omezující součty výrazů v řadě. Toto konvergenční kritérium je pojmenováno po Augustin-Louis Cauchy který ji publikoval ve své učebnici Cours d'Analyse 1821.^[1]

Prohlášení

Série

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ { infty} a_ {i}}$ je konvergentní právě tehdy, když pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ tady je přirozené číslo N takhle

${ displaystyle | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + cdots + a_ {n + p} | < varepsilon}$

platí pro všechny n > N a všechno p ≥ 1.^[2]

Vysvětlení

(a) Děj Cauchyho sekvence ${ displaystyle (x_ {n}),}$ zobrazeno modře, jako ${ displaystyle x_ {n}}$ proti ${ displaystyle n}$ Pokud je prostor obsahující sekvenci kompletní, existuje „konečný cíl“ této sekvence (tj. Limit).

(b) Sekvence, která není Cauchy. The elementy sekvence se při postupu sekvence libovolně nepřiblíží.

Test funguje, protože prostor R reálných čísel a prostoru C komplexních čísel (s metrikou danou absolutní hodnotou) jsou obě kompletní. Pak je série konvergentní kdyby a jen kdyby částečný součet

${ displaystyle s_ {n}: = součet _ {i = 0} ^ {n} a_ {i}}$

je Cauchyova posloupnost.

A sekvence reálných nebo komplexních čísel ${ displaystyle s_ {n}}$ je Cauchyova sekvence právě tehdy ${ displaystyle s_ {n}}$ konverguje (do určitého bodu a v R nebo C).^[3] Formální definice uvádí, že pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ existuje číslo N, tak, že pro všechny n, m > N drží

${ displaystyle | s_ {m} -s_ {n} | < varepsilon.}$

Budeme předpokládat m > n a tedy nastaveno p = m − n.

${ displaystyle | s_ {n + p} -s_ {n} | = | a_ {n + 1} + a_ {n + 2} + cdots + a_ {n + p} | < varepsilon.}$

Ukazovat, že sekvence je Cauchyova sekvence, je užitečné, protože nepotřebujeme znát limit dané sekvence. Cauchyho konvergenční test lze použít pouze v kompletní metrické prostory (jako R a C), což jsou prostory, kde se všechny Cauchyovy sekvence sbíhají. Musíme jen ukázat, že jeho prvky se po konečném postupu v posloupnosti libovolně přiblíží k sobě. Existují počítačové aplikace Cauchyovy sekvence, ve kterých iterativní může být nastaven proces vytváření takových sekvencí.

Důkaz

Můžeme použít výsledky o konvergenci posloupnosti dílčích součtů nekonečné řady a aplikovat je na konvergenci samotné nekonečné řady. Jednou z takových aplikací je Cauchyho kritérium. Pro jakoukoli skutečnou sekvenci ${ displaystyle a_ {k}}$, výše uvedené výsledky konvergence naznačují, že nekonečná řada

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} a_ {k}}$

konverguje kdyby a jen kdyby pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ existuje číslo N, takový, že

m ≥ n ≥ N naznačují

${ displaystyle | s_ {m} -s_ {n} | = vlevo | součet _ {k = n + 1} ^ {m} a_ {k} vpravo | < varepsilon}$^[4]

Pravděpodobně nejzajímavější částí [této věty] je, že Cauchyova podmínka implikuje existenci limitu: to skutečně souvisí s úplností reálné linie. Cauchyho kritérium lze zobecnit na různé situace, které mohou být všechny volně shrnuto jako „mizející podmínka oscilace je ekvivalentní konvergenci“.^[5]

Tento článek obsahuje materiál z Cauchyho kritéria pro konvergenci na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Reference