Alfred Tauber - Alfred Tauber

Alfred Tauber
narozený	(1866-11-05)5. listopadu 1866 Pressburg, Maďarské království, Rakouská říše (dnes Bratislava, Slovensko )
Zemřel	26. července 1942(1942-07-26) (ve věku 75)[1] Theresienstadt koncentrační tábor
Národnost	rakouský
Alma mater	Vídeňská univerzita
Známý jako	Abelian a Tauberian věty
Vědecká kariéra
Pole	Matematika
Instituce	TU Wien Vídeňská univerzita
Práce	Über einige Sätze der Gruppentheorie (1889) Über den Zusammenhang des reellen und imaginären Teiles einer Potenzreihe (1891)
Doktorský poradce	Gustav von Escherich Emil Weyr

Alfred Tauber (5. listopadu 1866-26. Července 1942)^[1] byl maďarský -rozený rakouský matematik, známý svým příspěvkem k matematická analýza a do teorie funkcí komplexní proměnné: On je eponym důležité třídy vět s aplikacemi od matematický a harmonická analýza na teorie čísel.^[2] Byl zavražděn v Theresienstadt koncentrační tábor.

Život a akademická kariéra

Narozen v Pressburgu, Maďarské království, Rakouská říše (Nyní Bratislava, Slovensko ), začal studovat matematiku na Vídeňská univerzita v roce 1884 získal titul Ph.D. v roce 1889,^[3][4] a jeho habilitace v roce 1891. Od roku 1892 pracoval jako hlavní matematik v pojišťovně Phönix až do roku 1908, kdy se stal a.o. profesor na Vídeňská univerzita, ačkoli již od roku 1901 byl čestným profesorem na TU Vídeň a ředitel jejího předsedy pojišťovací matematiky.^[5] V roce 1933 mu byla udělena Velké vyznamenání cti ve stříbře za zásluhy o Rakouskou republiku,^[5] a odešel jako emeritní mimořádný profesor. V přednášce však pokračoval jako a privatdozent do roku 1938,^[3][6] když byl donucen rezignovat v důsledku „Anschluss ".^[7] Ve dnech 28. – 29. Června 1942 byl deportován transportem IV / 2, č. 1. 621 až Theresienstadt,^[3][5][8] kde byl zavražděn 26. července 1942.^[1]

Práce

Pinl & Dick (1974, str. 202) seznam 35 publikací v bibliografii připojené k jeho nekrologu a také vyhledávání provedené na „Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik " databáze má za následek seznam 35 matematických prací, která vytvořil, a to v období od roku 1891 do roku 1940.^[9] Nicméně, Hlawka (2007) cituje dva příspěvky o pojistně matematické matematice, které nejsou uvedeny v těchto dvou bibliografických seznamech a Binderova bibliografie Tauberových děl (1984, s. 163–166), přičemž uvádí 71 záznamů včetně záznamů v bibliografii Pinl & Dick (1974, str. 202) a dva citované Hlawkou, neobsahuje krátkou poznámku (Tauber 1895 ), takže přesný počet jeho děl není znám. Podle Hlawka (2007), jeho vědecký výzkum lze rozdělit do tří oblastí: první zahrnuje jeho práci na teorii funkcí komplexní proměnné a na teorie potenciálu, druhý zahrnuje práce na lineární diferenciální rovnice a na Funkce gama, přičemž poslední zahrnuje jeho příspěvky k pojistněmatematické vědě.^[3] Pinl & Dick (1974, str. 202) uveďte podrobnější seznam témat výzkumu, na kterých Tauber pracoval, i když je omezen na matematická analýza a geometrický témata: některá jsou nekonečná řada, Fourierova řada, sférické harmonické, teorie čtveřic, analytický a deskriptivní geometrie.^[10] Tauberovy nejdůležitější vědecké příspěvky patří do první z jeho výzkumných oblastí,^[11] i když jeho práce na teorii potenciálu byla zastíněna jednou z nich Aleksandr Lyapunov.^[3]

Tauberianovy věty

Jeho nejdůležitějším článkem je (Tauber 1897 ).^[3] V tomto příspěvku se mu podařilo prokázat konverzaci Ábelova věta poprvé:^[12] tento výsledek byl výchozím bodem mnoha vyšetřování,^[3] vedoucí k důkazu a aplikacím několika vět tohoto druhu pro různé metody shrnutí. Výrok z těchto vět má standardní strukturu: je-li řada ∑ A_n je sčítatelné podle dané metody sčítatelnosti a splňuje další podmínku zvanou „Tauberiánský stav",^[13] pak je to konvergentní řady.^[14] Počínaje rokem 1913, G. H. Hardy a J. E. Littlewood použil tento výraz Tauberian identifikovat tuto třídu vět.^[15] Popis s trochou podrobností Tauberova práce z roku 1897, lze říci, že jeho hlavními úspěchy jsou následující dvě věty:^[16][17]

Tauberova první věta.^[18] Pokud série ∑ A_n je Abel sumabilní sečíst s, tj. lim_{X→ 1⁻}  ∑+∞
n=0 A_n X ⁿ = s, a pokud A_n = ο(n⁻¹), pak ∑ A_k konverguje na s.

Tato věta je podle Korevaar (2004, str. 10),^[19] předchůdce celé tauberiánské teorie: podmínka A_n = ο(n⁻¹) je první tauberiánský stav, který později měl mnoho hlubokých zevšeobecnění.^[20] Ve zbývající části svého článku pomocí výše uvedené věty^[21] Tauber prokázal následující obecnější výsledek:^[22]

Tauberova druhá věta.^[23] Série ∑ A_n konverguje k součtu s pouze za předpokladu, že jsou splněny dvě následující podmínky:

1. ∑ A_n je Abel shrnutelný a
2. ∑n
   k=1 k a_k = ο(n).

Tento výsledek není triviálním důsledkem Tauberova první věta.^[24] Větší obecnost tohoto výsledku oproti předchozímu je způsobena skutečností, která dokazuje přesnou ekvivalenci mezi běžnou konvergencí na jedné straně a Abelovou summabilitou (podmínka 1) společně s tauberiánskou podmínkou (podmínka 2) na straně druhé. Chatterji (1984, s. 169–170) tvrdí, že tento druhý výsledek se musel Tauberovi zdát mnohem úplnějším a uspokojivějším bývalý jak uvádí a nezbytný a dostatečný stav pro konvergenci řady, zatímco ta první byla jen odrazovým můstkem k ní: jediným důvodem, proč není Tauberova druhá věta zmiňována velmi často, se zdá být to, že nemá žádnou hlubokou generalizaci jako ta první,^[25] i když má své oprávněné místo ve všech podrobných vývojech summability sérií.^[23][25]

Příspěvky k teorii Hilbertovy transformace

Frederick W. King (2009, str. 3) píše, že Tauber v rané fázi přispěl k teorii nyní nazývané „Hilbertova transformace ", očekával svým příspěvkem díla Hilbert a Hardy takovým způsobem, že transformace by snad měla nést jejich tři jména.^[26] Přesně, Tauber (1891) považuje za skutečná část φ a imaginární část ψ a výkonová řada F,^[27][28]

${ displaystyle f (z) = součet _ {k = 1} ^ {+ infty} c_ {k} z ^ {k} = varphi ( theta) + mathrm {i} psi ( theta) }$

kde

• z = r ^iθ s r = | z | být absolutní hodnota daného komplexní proměnná,
• C_k r ^k = A_k + ib_k pro každého přirozené číslo k,^[29]
• φ(θ) = ∑+∞
  k=1 A_kcos (kθ) − b_khřích(kθ) a ψ(θ) = ∑+∞
  k=1 A_khřích(kθ) + b_kcos (kθ) jsou trigonometrická řada a proto periodické funkce, vyjadřující skutečnou a imaginární část dané mocenské řady.

Pod hypotéza že r je menší než poloměr konvergence R_F výkonové řady F, Tauber to dokazuje φ a ψ splňují dvě následující rovnice:

(1)     ${ displaystyle varphi ( theta) = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ { pi} left { psi ( theta + phi) - psi ( theta - phi) right } cot left ({ frac { phi} {2}} right) , mathrm {d} phi}$

(2)     ${ displaystyle psi ( theta) = - { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ { pi} vlevo { varphi ( theta + phi) - varphi ( theta - phi) right } cot left ({ frac { phi} {2}} right) mathrm {d} phi}$

Za předpokladu tedy r = R_F, je také schopen dokázat, že výše uvedené rovnice stále platí, pokud φ a ψ jsou jen naprosto integrovatelný:^[30] tento výsledek je ekvivalentní definování Hilbertova transformace na kruhu protože po několika výpočtech využívajících periodicitu příslušných funkcí lze prokázat, že (1) a (2) jsou ekvivalentní následující dvojici Hilbertových transformací:^[31]

${ displaystyle varphi ( theta) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} psi ( phi) cot left ({ frac { theta - phi} {2}} right) mathrm {d} phi qquad psi ( theta) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} varphi ( phi) cot left ({ frac { theta - phi} {2}} right) mathrm {d} phi}$

Nakonec možná stojí za to poukázat na aplikaci výsledků (Tauber 1891 ), uvedený (bez důkazu) samotným Tauberem v krátkém oznámení o výzkumu (Tauber 1895 ):

komplex oceněn spojitá funkce φ(θ) + iψ(θ) definované na daném místě kruh je mezní hodnota a holomorfní funkce definované v jeho otevřete disk pouze tehdy, jsou-li splněny dvě následující podmínky

1. funkce [φ(θ - α) − φ(θ + α)] / α je jednotně integrovatelný v každé sousedství bodu α = 0, a
2. funkce ψ(θ) splňuje (2).

Vybrané publikace

• Tauber, Alfred (1891), „Über den Zusammenhang des reellen und imaginären Theiles einer Potenzreihe“ [O vztahu mezi skutečnou a imaginární částí mocenské řady], Monatshefte für Mathematik und Physik, II: 79–118, doi:10.1007 / bf01691828, JFM  23.0251.01.
• Tauber, Alfred (1895), „Ueber die Werte einer analytischen Function längs einer Kreislinie“ [O hodnotách analytické funkce podél kruhového obvodu], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 4: 115, archivováno od originál dne 01.07.2015, vyvoláno 2014-07-16.
• Tauber, Alfred (1897), „Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen“ [Věta o nekonečné řadě], Monatshefte für Mathematik und Physik, VIII: 273–277, doi:10.1007 / BF01696278, JFM  28.0221.02.
• Tauber, Alfred (1898), „Über einige Sätze der Potentialtheorie“ [Některé věty teorie potenciálu], Monatshefte für Mathematik und Physik, IX: 79–118, doi:10.1007 / BF01707858, JFM  29.0654.02.
• Tauber, Alfred (1920), „Über konvergente und asymptotische Darstellung des Integrallogarithmus“ [O konvergentní a asymptotické reprezentaci logaritmické integrální funkce], Mathematische Zeitschrift, 8: 52–62, doi:10.1007 / bf01212858, JFM  47.0329.01.
• Tauber, Alfred (1922), „Über die Umwandlung von Potenzreihen in Kettenbrüche“ [O přeměně výkonových řad na pokračující zlomky], Mathematische Zeitschrift, 15: 66–80, doi:10.1007 / bf01494383, JFM  48.0236.01.

Viz také

• Pojistněmatematická věda
• Hardy – Littlewoodova tauberiánská věta
• Teorie summability

Poznámky

Reference

externí odkazy

• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Alfred Tauber“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• Alfred Tauber na encyclopedia.com
• Alfred Tauber na Matematický genealogický projekt