Geometricko-harmonický průměr - Geometric–harmonic mean
tento článek potřebuje další citace pro ověření.Září 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, geometrický – harmonický průměr M (X, y) ze dvou pozitivních reálná čísla X a y je definována takto: tvoříme geometrický průměr z G0 = X a h0 = y a zavolej to G1, tj. G1 je odmocnina z xy. Tvoříme také harmonický průměr z X a y a zavolej to h1, tj. h1 je reciproční z aritmetický průměr vzájemných pohledávek X a y. To lze provést postupně (v libovolném pořadí) nebo současně.
Nyní můžeme tuto operaci iterovat G1 místo X a h1 místo y. Tímto způsobem dva sekvence (Gn) a (hn) jsou definovány:
a
Obě tyto sekvence konvergovat na stejné číslo, kterému říkáme geometrický – harmonický průměr M (X, y) z X ay. Geometricko-harmonický průměr je také označen jako harmonický – geometrický průměr. (viz níže Wolfram MathWorld.)
Existenci limitu lze prokázat pomocí Bolzano – Weierstrassova věta způsobem téměř totožným s důkazem existence aritmeticko – geometrický průměr.
Vlastnosti
M (X, y) je číslo mezi geometrickým a harmonickým průměrem X a y; zejména je mezi X a y. M (X, y) je také homogenní, tj. pokud r > 0, pak M (rx, ry) = r M (X, y).
Pokud AG (X, y) je aritmeticko – geometrický průměr, pak také máme
Nerovnosti
Máme následující nerovnost zahrnující Pythagorovy prostředky {H, G, A} a iterovaný Pythagorean znamená {HG, HA, GA}:
kde byly iterované Pythagorovy prostředky identifikovány s jejich částmi {H, G, A} v postupném pořadí:
- H(X, y) je harmonický průměr,
- HG(X, y) je harmonicko-geometrický průměr,
- G(X, y) = HA(X, y) je geometrický průměr (což je také harmonický – aritmetický průměr),
- GA(X, y) je geometricko-aritmetický průměr,
- A(X, y) je aritmetický průměr.