Pytagorejský znamená - Pythagorean means - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Pythagorean znamená“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Července 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Geometrická konstrukce kvadratického průměru a Pythagorovy průměru (dvou čísel A a b). Harmonický průměr označený   H, geometrické   G, aritmetické podle   A a kvadratický průměr (také známý jako střední kvadratická ) označeno   Q.

Porovnání aritmetických, geometrických a harmonických průměrů dvojice čísel. Svislé přerušované čáry jsou asymptoty pro harmonické prostředky.

V matematice tři klasické Pytagorejský znamená jsou aritmetický průměr (AM), geometrický průměr (GM) a harmonický průměr (HM). Tyto prostředek byly studovány s proporcemi do Pytagorejci a pozdější generace řeckých matematiků^[1] kvůli jejich významu v geometrii a hudbě.

Definice

Jsou definovány:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {AM} left (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n} right) & = { frac {1} {n}} left (x_ {1} + ; cdots ; + x_ {n} vpravo) [9 bodů] operatorname {GM} vlevo (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n} right) & = { sqrt [{n}] { left vert x_ {1} times , cdots , times x_ {n} right vert}} [9pt] operatorname {HM } left (x_ {1}, ; ldots, ; x_ {n} right) & = { frac {n} { displaystyle { frac {1} {x_ {1}}} + ; cdots ; + { frac {1} {x_ {n}}}}} end {zarovnáno}}}$

Vlastnosti

Každý průměr, ${ textstyle operatorname {M}}$, má následující vlastnosti:

První objednávka stejnorodost

${ displaystyle operatorname {M} (bx_ {1}, , ldots, , bx_ {n}) = b operatorname {M} (x_ {1}, , ldots, , x_ {n} )}$

Invariance probíhá výměna

${ displaystyle operatorname {M} ( ldots, , x_ {i}, , ldots, , x_ {j}, , ldots) = operatorname {M} ( ldots, , x_ { j}, , ldots, , x_ {i}, , ldots)}$

pro všechny ${ displaystyle i}$ a ${ displaystyle j}$.

Monotónní

${ displaystyle a$

Idempotence

${ displaystyle forall x, ; M (x, x, ldots x) = x}$

Monotónnost a idempotence společně znamenají, že průměr množiny vždy leží mezi extrémy množiny.

${ displaystyle min (x_ {1}, , ldots, , x_ {n}) leq operatorname {M} (x_ {1}, , ldots, , x_ {n}) leq max (x_ {1}, , ldots, , x_ {n})}$

Harmonické a aritmetické prostředky jsou vzájemné duály pro pozitivní argumenty:

${ displaystyle operatorname {HM} left ({ frac {1} {x_ {1}}}, , ldots, , { frac {1} {x_ {n}}} right) = { frac {1} { operatorname {AM} left (x_ {1}, , ldots, , x_ {n} right)}}}$

zatímco geometrický průměr je jeho vlastní reciproční duál:

${ displaystyle operatorname {GM} left ({ frac {1} {x_ {1}}}, , ldots, , { frac {1} {x_ {n}}} right) = { frac {1} { operatorname {GM} left (x_ {1}, , ldots, , x_ {n} right)}}}$

Nerovnosti mezi prostředky

Geometrický důkaz beze slov že max (A,b) > kvadratický průměr nebo střední kvadratická (QM) > aritmetický průměr (DOPOLEDNE) > geometrický průměr (GM) > harmonický průměr (HM) > min (A,b) dvou kladných čísel A a b ^[2]

K těmto prostředkům existuje objednávka (pokud jsou všechny ${ displaystyle x_ {i}}$ jsou pozitivní)

${ displaystyle min leq operatorname {HM} leq operatorname {GM} leq operatorname {AM} leq max}$

s držením rovnosti právě tehdy, když ${ displaystyle x_ {i}}$ jsou si všichni rovni.

Toto je zevšeobecnění nerovnost aritmetických a geometrických prostředků a zvláštní případ nerovnosti pro zobecněné prostředky. Důkaz vyplývá z aritmeticko-geometrický průměr nerovnosti, ${ displaystyle operatorname {AM} leq max}$a vzájemná dualita (${ displaystyle min}$ a ${ displaystyle max}$ jsou také vzájemně dvojí).

Studium Pythagorovských prostředků úzce souvisí se studiem majorizace a Schur-konvexní funkce. Harmonické a geometrické prostředky jsou konkávní symetrické funkce jejich argumentů, a tedy Schur-konkávní, zatímco aritmetický průměr je lineární funkcí jeho argumentů, takže jsou konkávní i konvexní.

Viz také

• Aritmeticko – geometrický průměr
• Průměrný
• Zlatý řez

Reference

externí odkazy

• Cantrell, David W. „Pythagorovy prostředky“. MathWorld.