Konvexní analýza - Convex analysis

3-rozměrný konvexní mnohostěn. Konvexní analýza zahrnuje nejen studium konvexních podmnožin euklidovských prostorů, ale také studium konvexních funkcí na abstraktních prostorech.

Konvexní analýza je pobočkou matematika věnovaný studiu vlastností konvexní funkce a konvexní sady, často s aplikacemi v konvexní minimalizace, subdoména teorie optimalizace.

Konvexní sady

A konvexní sada je sada C ⊆ X, pro některé vektorový prostor X, tak, že pro všechny X, y ∈ C a λ ∈ [0, 1] pak^[1]

${ displaystyle lambda x + (1- lambda) y v C}$.

Konvexní funkce

A konvexní funkce je jakýkoli rozšířené se skutečnou hodnotou funkce F : X → R ∪ {± ∞} což vyhovuje Jensenova nerovnost, tj. pro všechny X, y ∈ X a libovolné λ ∈ [0, 1] pak

${ Displaystyle f ( lambda x + (1- lambda) y) leq lambda f (x) + (1- lambda) f (y)}$.^[1]

Ekvivalentně je konvexní funkce jakákoli (rozšířená) funkce se skutečnou hodnotou tak, že její epigraf

${ displaystyle left {(x, r) v X krát mathbf {R}: f (x) leq r right }}$

je konvexní množina.^[1]

Konvexní konjugát

The konvexní konjugát rozšířené funkce se skutečnou hodnotou (ne nutně konvexní) F : X → R ∪ {± ∞} je F* : X* → R ∪ {± ∞} kde X* je dvojí prostor z X, a^[2]:75–79

${ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = sup _ {x v X} vlevo { langle x ^ {*}, x rangle -f (x) vpravo }. }$

Biconjugate

The biconjugate funkce F : X → R ∪ {± ∞} je konjugát konjugátu, obvykle psaný jako F** : X → R ∪ {± ∞}. Dvojkonjugát je užitečný pro zobrazení kdy silný nebo slabá dualita podržte (přes poruchová funkce ).

Pro všechny X ∈ X nerovnost F**(X) ≤ F(X) vyplývá z Fenchel – Mladá nerovnost. Pro správné funkce, F = F** kdyby a jen kdyby F je konvexní a nižší polokontinuální podle Fenchel – Moreauova věta.^{[2]:75–79[3]}

Konvexní minimalizace

A konvexní minimalizace (prvotní) problém je jednou z forem

${ displaystyle inf _ {x v M} f (x)}$

takhle F : X → R ∪ {± ∞} je konvexní funkce a M ⊆ X je konvexní množina.

Duální problém

V teorii optimalizace princip duality uvádí, že na optimalizační problémy lze pohlížet ze dvou hledisek, z prvotního problému nebo z dvojitého problému.

Obecně dány dva dvojice párů oddělené lokálně konvexní mezery (X, X*) a (Y, Y *). Poté daná funkce F : X → R ∪ {+ ∞}, můžeme primární problém definovat jako nález X takhle

${ displaystyle inf _ {x v X} f (x).}$

Pokud existují podmínky omezení, lze je integrovat do funkce F necháním ${ displaystyle f = f + I _ { mathrm {omezení}}}$ kde Já je funkce indikátoru. Pak nechte F : X × Y → R ∪ {± ∞} být poruchová funkce takhle F(X, 0) = F(X).^[4]

The dvojí problém s ohledem na zvolenou poruchovou funkci je dána vztahem

${ displaystyle sup _ {y ^ {*} v Y ^ {*}} - F ^ {*} (0, y ^ {*})}$

kde F* je konvexní konjugát v obou proměnných z F.

The rozdíl v dualitě je rozdíl pravé a levé strany nerovnosti^{[2]:106–113[4][5]}

${ displaystyle sup _ {y ^ {*} v Y ^ {*}} - F ^ {*} (0, y ^ {*}) leq inf _ {x v X} F (x, 0).}$

Tento princip je stejný jako slabá dualita. Jsou-li si obě strany navzájem rovné, pak se říká, že problém uspokojí silná dualita.

Existuje mnoho podmínek pro silnou dualitu, jako například:

• F = F** kde F je poruchová funkce vztahující se k prvotním a dvojím problémům a F** je biconjugate z F;^{[Citace je zapotřebí ]}
• prvotním problémem je a problém lineární optimalizace;
• Slaterův stav pro konvexní optimalizační problém.^[6][7]

Lagrangeova dualita

U konvexního problému minimalizace s omezeními nerovnosti

min_X F(X) podléhá G_i(X) ≤ 0 pro i = 1, ..., m.

Lagrangeovým dvojím problémem je

sup_u inf_X L(X, u) podléhá u_i(X) ≥ 0 pro i = 1, ..., m.

kde objektivní funkce L(X, u) je Lagrangeova duální funkce definovaná takto:

${ displaystyle L (x, u) = f (x) + součet _ {j = 1} ^ {m} u_ {j} g_ {j} (x)}$

Viz také

• Seznam témat konvexity
• Werner Fenchel

Poznámky

Reference

• J.-B. Hiriart-Urruty; C. Lemaréchal (2001). Základy konvexní analýzy. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42205-1.
• Singer, Ivan (1997). Abstraktní konvexní analýza. Série monografií a pokročilých textů Kanadské matematické společnosti. New York: John Wiley & Sons, Inc. str. Xxii + 491. ISBN  0-471-16015-6. PAN  1461544.
• Stoer, J .; Witzgall, C. (1970). Konvexita a optimalizace v konečných rozměrech. 1. Berlín: Springer. ISBN  978-0-387-04835-2.
• A.G. Kusraev; SS Kutateladze (1995). Subdifferentials: Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-94-011-0265-0.

externí odkazy

• Média související s Konvexní analýza na Wikimedia Commons