Iterovaný integrál - Iterated integral
v počet proměnných, an iterovaný integrál je výsledkem aplikace integrály do a funkce z více než jedna proměnná (například nebo ) tak, že každý z integrálů považuje některé z proměnných za dané konstanty. Například funkce , pokud se považuje za samozřejmost parametr, lze integrovat s ohledem na , . Výsledkem je funkce a proto lze uvažovat o jeho integrálu. Pokud je to provedeno, výsledkem je iterovaný integrál
Pro představu iterovaných integrálů je klíčové, že se v zásadě liší od vícenásobný integrál
Obecně platí, že i když se tyto dva mohou lišit, Fubiniho věta uvádí, že za určitých podmínek jsou rovnocenné.
Alternativní notace pro iterované integrály
je také používán.
V notaci, která používá závorky, se iterované integrály počítají podle provozní řád označeno závorkami počínaje nejvnitřnějším integrálem zvenčí. V alternativním zápisu psaní , nejdříve se spočítá nejvíce vnořené celé číslo.
Příklady
Jednoduchý výpočet
Pro iterovaný integrál
integrál
nejprve se vypočítá a poté se výsledek použije k výpočtu integrálu s ohledem nay.
Tento příklad vynechává konstanty integrace. Po první integraci s ohledem naX, museli bychom přísně zavést „konstantní“ funkciy. To znamená, že pokud bychom tuto funkci odlišili s ohledem na x, všechny výrazy obsahující pouzey zmizí a zůstane původní integrand. Podobně pro druhý integrál bychom zavedli "konstantní" funkciX, protože jsme integrovali s ohledem nay. Takto neurčitá integrace nedává moc smysl pro funkce několika proměnných.
Pořadí je důležité
Pořadí, ve kterém se počítají integrály, je důležité v iterovaných integrálech, zvláště když integrand není spojitý v doméně integrace. Příklady, ve kterých různé řády vedou k odlišným výsledkům, jsou obvykle pro následující komplikované funkce.
Nechte sekvenci , takový, že . Nechat být spojitá funkce, která v intervalu nezmizí a nula jinde, takhle pro každého . Definovat
V předchozím součtu, u každého konkrétního , nanejvýš jeden člen se liší od nuly. U této funkce se stane, že
Reference
- ^ Rudin, W., Skutečná a komplexní analýza, 1970