Věta o dominantní konvergenci - Dominated convergence theorem - Wikipedia

v teorie míry, Lebesgue je dominující věta o konvergenci poskytuje dostatečné podmínky pod kterými téměř všude konvergence a sekvence z funkce znamená konvergenci v L¹ norma. Jeho síla a užitečnost jsou dvě z hlavních teoretických výhod Lebesgueova integrace přes Riemannova integrace.

Kromě častého výskytu v matematické analýze a parciálních diferenciálních rovnicích je široce používán v teorie pravděpodobnosti, protože poskytuje dostatečnou podmínku pro konvergenci očekávané hodnoty z náhodné proměnné.

Tvrzení

Lebesgueova dominantní věta o konvergenci. Nechť (F_n) být posloupností komplex -hodnota měřitelné funkce na změřte prostor (S, Σ, μ). Předpokládejme, že sekvence konverguje bodově na funkci F a dominuje nějaká integrovatelná funkce G V tom smyslu, že

${ displaystyle | f_ {n} (x) | leq g (x)}$

pro všechna čísla n v sadě indexů sekvence a všech bodů X ∈ S.Pak F je integrovatelný (v Lebesgue smysl) a

${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {S} | f_ {n} -f | , d mu = 0}$

což také naznačuje

${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {S} f_ {n} , d mu = int _ {S} f , d mu}$

Poznámka 1. Prohlášení "G je integrovatelný "znamená tuto měřitelnou funkci G je Lebesgue integrovatelný; tj.

${ displaystyle int _ {S} | g | , d mu < infty.}$

Poznámka 2. Sbližování posloupnosti a nadvlády G lze uvolnit pouze k držení μ-téměř všude za předpokladu, že měrný prostor (S, Σ, μ) je kompletní nebo F je vybrána jako měřitelná funkce, která souhlasí μ-téměř všude s μ-téměř všude, kde existuje bodový limit. (Tato opatření jsou nezbytná, protože jinak by mohla existovat a neměřitelná podmnožina a μ-null soubor N ∈ Σ, proto F nemusí být měřitelné.)

Poznámka 3. Pokud μ (S) <∞, podmínka, že existuje dominující integrovatelná funkce G lze uvolnit jednotná integrovatelnost sekvence (F_n), viz Vitaliho věta o konvergenci.

Poznámka 4. Zatímco F je Lebesgue integrovatelný, není to obecně Riemann integrovatelný. Vezměte například f_n definovat v [0,1] tak, aby byla všude nula kromě racionálních čísel tvaru k / m, takže k a m ​​jsou coprime a m> n. Série (f_n) konverguje bodově na 0, takže F je shodně nula, ale | f_n-f | = f_n není Riemannovo integrovatelné, protože jeho obraz v každém konečném intervalu je {0,1}, a tedy horní a dolní Integrály Darboux jsou 1, respektive 0.

Důkaz

Bez ztráty obecnosti, to lze předpokládat F je skutečný, protože člověk se může rozdělit F do jeho reálné a imaginární části (nezapomeňte, že posloupnost komplexních čísel konverguje kdyby a jen kdyby jeho skutečný i imaginární protějšek se sbíhají) a aplikovat nerovnost trojúhelníku na konci.

Lebesgueova dominantní konvergenční věta je zvláštním případem Fatou – Lebesgueova věta. Níže je však přímý důkaz, který používá Fatouovo lemma jako základní nástroj.

Od té doby F je bodový limit posloupnosti (F_n) měřitelných funkcí, kterým dominuje G, je také měřitelný a dominuje mu G, proto je integrovatelný. Dále (tyto budou potřeba později),

${ displaystyle | f-f_ {n} | leq | f | + | f_ {n} | leq 2g}$

pro všechny n a

${ displaystyle limsup _ {n to infty} | f-f_ {n} | = 0.}$

Druhý z nich je triviálně pravdivý (ze samotné definice F). Použitím linearita a monotónnost Lebesgueova integrálu,

${ displaystyle left | int _ {S} {f , d mu} - int _ {S} {f_ {n} , d mu} right | = left | int _ {S } {(f-f_ {n}) , d mu} vpravo | leq int _ {S} {| f-f_ {n} | , d mu}.}$

Podle obrácené Fatouovo lemma (zde používáme skutečnost, že |F−F_n| je ohraničen výše integrovatelnou funkcí)

${ displaystyle limsup _ {n to infty} int _ {S} | f-f_ {n} | , d mu leq int _ {S} limsup _ {n to infty} | f-f_ {n} | , d mu = 0,}$

což znamená, že limit existuje a zmizí, tj.

${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {S} | f-f_ {n} | , d mu = 0.}$

Konečně, protože

${ displaystyle lim _ {n to infty} left | int _ {S} fd mu - int _ {S} f_ {n} d mu right | leq lim _ {n do infty} int _ {S} | f-f_ {n} | , d mu = 0.}$

máme to

${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {S} f_ {n} , d mu = int _ {S} f , d mu.}$

Teď následuje věta.

Pokud předpoklady platí μ-téměř všude pak existuje a μ-null soubor N ∈ Σ takové, že funkce F_n 1_S \ N uspokojit předpoklady všudeS. Pak funkce F(X) definovaný jako bodový limit F_n(X) pro X ∈ S \ N a tím F(X) = 0 pro X ∈ N, je měřitelný a je bodovým limitem této pozměněné funkční sekvence. Hodnoty těchto integrálů nejsou ovlivněny těmito změnami celých značek v této sadě μ-nullN, takže věta nadále platí.

DCT platí, i když F_n konverguje k F v míře (konečná míra) a dominující funkce je téměř všude nezáporná.

Diskuse o předpokladech

Předpoklad, že v posloupnosti dominuje nějaká integrovatelnost G nelze obejít. To lze vidět následovně: definovat F_n(X) = n pro X v interval (0, 1/n] a F_n(X) = 0 v opačném případě. Žádný G který dominuje sekvenci, musí také dominovat bodově supremum h = sup_n F_n. Dodržujte to

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} h (x) , dx geq int _ { frac {1} {m}} ^ {1} {h (x) , dx} = součet _ {n = 1} ^ {m-1} int _ { left ({ frac {1} {n + 1}}, { frac {1} {n}} right]} {h ( x) , dx} geq sum _ {n = 1} ^ {m-1} int _ { left ({ frac {1} {n + 1}}, { frac {1} {n }} right]} {n , dx} = sum _ {n = 1} ^ {m-1} { frac {1} {n + 1}} to infty qquad { text {as }} m do infty}$

divergencí harmonická řada. Monotónnost Lebesgueova integrálu nám tedy říká, že neexistuje žádná integrovatelná funkce, která by dominovala posloupnosti na [0,1]. Přímý výpočet ukazuje, že integrace a bodový limit pro tuto sekvenci nedojíždí:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} lim _ {n to infty} f_ {n} (x) , dx = 0 neq 1 = lim _ {n to infty} int _ {0} ^ {1} f_ {n} (x) , dx,}$

protože bodový limit posloupnosti je nulová funkce. Všimněte si, že sekvence (F_n) není rovnoměrné jednotně integrovatelný, tedy také Vitaliho věta o konvergenci není použitelné.

Věta o omezené konvergenci

Jedním z důsledků dominující věty o konvergenci je věta o omezené konvergenci, který uvádí, že pokud (F_n) je posloupnost jednotně ohraničený komplex -hodnota měřitelné funkce který konverguje bodově na ohraničené změřte prostor (S, Σ, μ) (tj. ten, ve kterém μ (S) je konečný) k funkci F, pak limit F je integrovatelná funkce a

${ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {S} {f_ {n} , d mu} = int _ {S} {f , d mu}.}$

Poznámka: Bodová konvergence a jednotná omezenost posloupnosti mohou být uvolněny, aby se udržovaly pouze μ-téměř všude, za předpokladu, že měrný prostor (S, Σ, μ) je kompletní nebo F je vybrána jako měřitelná funkce, která souhlasí μ-téměř všude s μ-téměř všude, kde existuje bodový limit.

Důkaz

Protože je posloupnost rovnoměrně ohraničená, existuje reálné číslo M takhle |F_n(X)| ≤ M pro všechny X ∈ S a pro všechny n. Definovat G(X) = M pro všechny X ∈ S. Potom sekvenci dominuje G. Dále G je integrovatelný, protože se jedná o konstantní funkci na množině konečné míry. Výsledek tedy vyplývá z dominantní věty o konvergenci.

Pokud předpoklady platí μ-téměř všude pak existuje a μ-null soubor N ∈ Σ takové, že funkce F_n1_S\N uspokojit předpoklady všudeS.

Dominantní konvergence v L^p-prostory (důsledek)

Nechat ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {A}}, mu)}$ být změřte prostor, 1 ≤ p < ∞ skutečné číslo a (F_n) posloupnost ${ displaystyle { mathcal {A}}}$-měřitelné funkce ${ displaystyle f_ {n}: Omega to mathbb {C} cup { infty }}$.

Předpokládejme sekvenci (F_n) konverguje μ-téměř všude na ${ displaystyle { mathcal {A}}}$-měřitelná funkce F, a dominuje a ${ displaystyle g v L ^ {p}}$ (srov. LP prostor ), tj. pro každé přirozené číslo n máme: |F_n| ≤ G, μ-téměř všude.

Pak vše F_n stejně jako F jsou v ${ displaystyle L ^ {p}}$ a sekvence (F_n) konverguje k F v smysl ${ displaystyle L ^ {p}}$, tj.:

${ displaystyle lim _ {n to infty} | f_ {n} -f | _ {p} = lim _ {n to infty} left ( int _ { Omega} | f_ {n} -f | ^ {p} , d mu right) ^ { frac {1} {p}} = 0.}$

Myšlenka důkazu: Aplikujte původní větu na funkční posloupnost ${ displaystyle h_ {n} = | f_ {n} -f | ^ {p}}$ s dominující funkcí ${ displaystyle (2g) ^ {p}}$.

Rozšíření

Věta o převládající konvergenci platí také pro měřitelné funkce s hodnotami v a Banachův prostor, přičemž dominující funkce je stále nezáporná a integrovatelná, jak je uvedeno výše. Předpoklad konvergence téměř všude může být oslaben, aby vyžadoval pouze konvergence v míře.

Viz také

• Konvergence náhodných proměnných, Konvergence v průměru
• Monotónní věta o konvergenci (nevyžaduje nadvládu integrovatelnou funkcí, ale místo toho předpokládá monotónnost sekvence)
• Schefféovo lemma
• Jednotná integrovatelnost
• Vitaliho věta o konvergenci (zobecnění Lebesgueovy dominantní věty o konvergenci)

Reference

• Bartle, R.G. (1995). Prvky integrace a Lebesgueova opatření. Wiley Interscience.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Royden, H. L. (1988). Skutečná analýza. Prentice Hall.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Weir, Alan J. (1973). "Věty o konvergenci". Integrace a měření Lebesgue. Cambridge: Cambridge University Press. 93–118. ISBN  0-521-08728-7.
• Williams, D. (1991). Pravděpodobnost u martingales. Cambridge University Press. ISBN  0-521-40605-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)