Nerovnost (matematika) - Inequality (mathematics) - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The proveditelné regiony z lineární programování jsou definovány množinou nerovností.

v matematika, an nerovnost je vztah, který provádí nerovnoměrné srovnání mezi dvěma čísly nebo jinými matematickými výrazy.^[1][2] Nejčastěji se používá k porovnání dvou čísel na číselná řada podle jejich velikosti. Existuje několik různých notací používaných k reprezentaci různých druhů nerovností:

• Zápis A < b znamená, že A je méně než b.
• Zápis A > b znamená, že A je větší než b.

V obou případech A se nerovná b. Tyto vztahy jsou známé jako přísné nerovnosti,^[2] znamenající, že A je přísně menší než nebo přísně větší než b. Rovnocennost je vyloučena.

Na rozdíl od přísných nerovností existují dva typy nerovnostních vztahů, které nejsou přísné:

• Zápis A ≤ b nebo A ⩽ b znamená, že A je menší nebo rovno b (nebo maximálně ekvivalentně bnebo ne větší než b).
• Zápis A ≥ b nebo A ⩾ b znamená, že A je větší nebo rovno b (nebo alespoň ekvivalentně bnebo ne méně než b).

Vztah „ne větší než“ lze také vyjádřit pomocí A ≯ b, symbol „větší než“ půlený lomítkem, „ne“. Totéž platí pro „ne méně než“ a A ≮ b.

Zápis A ≠ b znamená, že A se nerovná b, a je někdy považována za formu přísné nerovnosti.^[3] Neříká, že jeden je větší než druhý; to ani nevyžaduje A a b být členem objednaná sada.

V technických vědách je méně formální použití notace o tom, že jedna veličina je „mnohem větší“ než jiná, obvykle několika řádově. To znamená, že menší hodnotu lze zanedbávat s malým vlivem na přesnost přiblížení (jako je případ ultrarelativistický limit ve fyzice).

• Zápis A ≪ b znamená, že A je mnohem méně než b. (v teorie míry, nicméně, tento zápis se používá pro absolutní kontinuita, nesouvisející koncept.^[4])
• Zápis A ≫ b znamená, že A je mnohem větší než b.^[5]

Ve všech výše uvedených případech jsou libovolné dva symboly, které se navzájem zrcadlí, symetrické; A < b a b > A jsou ekvivalentní atd.

Vlastnosti na číselné řadě

Nerovnosti se řídí následujícím vlastnosti. Všechny tyto vlastnosti platí také v případě, že jsou všechny nepřesné nerovnosti (≤ a ≥) nahrazeny odpovídajícími přísnými nerovnostmi () a - v případě použití funkce - monotónní funkce jsou omezeny na přísně monotónní funkce.

Konverzovat

Vztahy ≤ a ≥ jsou navzájem vzájemné konverzovat, což znamená, že pro všechny reálná čísla A a b:

A ≤ b a b ≥ A jsou ekvivalentní.

Přechodnost

Přechodná vlastnost nerovnosti uvádí, že pro všechny reálná čísla A, b, C:^[6]

Li A ≤ b a b ≤ C, pak A ≤ C.

Li buď prostor je přísná nerovnost, pak závěr je přísná nerovnost:

Li A ≤ b a b < C, pak A < C.

Li A < b a b ≤ C, pak A < C.

Sčítání a odčítání

Li X < y, pak X + A < y + A.

Společná konstanta C možná přidané do nebo odečteno z obou stran nerovnosti.^[3] Takže pro všechny reálná čísla A, b, C:

Li A ≤ b, pak A + C ≤ b + C a A − C ≤ b − C.

Jinými slovy, vztah nerovnosti je zachován při sčítání (nebo odčítání) a reálná čísla jsou objednaná skupina pod přidáním.

Násobení a dělení

Li X < y a A > 0, tedy sekera < ano.

Li X < y a A <0, tedy sekera > ano.

Vlastnosti, které se zabývají násobení a divize uveďte, že pro všechna reálná čísla, A, b a nenulové C:

Li A ≤ b a C > 0, tedy ac ≤ před naším letopočtem a A/C ≤ b/C.

Li A ≤ b a C <0, tedy ac ≥ před naším letopočtem a A/C ≥ b/C.

Jinými slovy, vztah nerovnosti je zachován při násobení a dělení s pozitivní konstantou, ale je obrácen, když je zapojena negativní konstanta. Obecněji to platí pro objednané pole. Další informace viz § Objednaná pole.

Aditivní inverzní

Vlastnost pro aditivní inverzní uvádí, že pro všechna reálná čísla A a b:

Li A ≤ b, pak -A ≥ −b.

Multiplikativní inverzní

Pokud jsou obě čísla kladná, pak nerovnost mezi multiplikativní inverze je opakem mezi původními čísly. Přesněji řečeno, pro všechna nenulová reálná čísla A a b to jsou oba pozitivní (nebo oboje negativní ):

Li A ≤ b, pak 1/A ≥ 1/b.

Všechny případy známek A a b lze také napsat zřetězená notace, jak následuje:

Pokud 0 < A ≤ b, pak 1/A ≥ 1/b > 0.

Li A ≤ b < 0, then 0 > 1/A ≥ 1/b.

Li A < 0 < b, pak 1/A < 0 < 1/b.

Použití funkce na obě strany

Graf y = ln X

Žádný monotónně vzrůstající funkce, podle jeho definice,^[7] lze použít na obě strany nerovnosti bez narušení vztahu nerovnosti (za předpokladu, že oba výrazy jsou v doména této funkce). Aplikování monotónně klesající funkce na obě strany nerovnosti však znamená, že vztah nerovnosti by byl obrácen. Pravidla pro aditivní inverzi a multiplikativní inverzi pro kladná čísla jsou oba příklady použití monotónně klesající funkce.

Pokud je nerovnost přísná (A < b, A > b) a funkce je přísně monotónní, potom nerovnost zůstává přísná. Pokud je přísná pouze jedna z těchto podmínek, pak je výsledná nerovnost přísná. Pravidla pro aditivní a multiplikativní inverze jsou ve skutečnosti oba příklady použití a přísně monotónně klesající funkce.

Několik příkladů tohoto pravidla:

• Zvednutí obou stran nerovnosti k moci n > 0 (ekv., -n <0), když A a b jsou kladná reálná čísla:

0 ≤ A ≤ b ⇔ 0 ≤ Aⁿ ≤ bⁿ.

0 ≤ A ≤ b ⇔ A⁻ⁿ ≥ b⁻ⁿ ≥ 0.

• Užívání přirozený logaritmus na obou stranách nerovnosti, když A a b jsou kladná reálná čísla:

0 < A ≤ b ⇔ ln (A) ≤ ln (b).

0 < A < b ⇔ ln (A) b).

(to je pravda, protože přirozený logaritmus je přísně rostoucí funkce.)

Formální definice a zobecnění

A (non-strict) částečná objednávka je binární relace ≤ nad a soubor P který je reflexní, antisymetrický, a tranzitivní.^[8] To znamená pro všechny A, b, a C v P, musí splňovat tři následující ustanovení:

1. A ≤ A (reflexivita )
2. -li A ≤ b a b ≤ A, pak A = b (antisymetrie )
3. -li A ≤ b a b ≤ C, pak A ≤ C (tranzitivita )

Sada s částečným pořadím se nazývá a částečně objednaná sada.^[9] To jsou velmi základní axiomy, které musí uspokojit každý druh řádu. Další axiomy, které existují pro jiné definice objednávek v sadě P zahrnout:

1. Pro každého A a b v P, A ≤ b nebo b ≤ A (celková objednávka ).
2. Pro všechny A a b v P pro který A < b, tady je C v P takhle A < C < b (hustý řád ).
3. Každý neprázdný podmnožina z P s horní hranice má nejméně horní hranice (supremum) v P (vlastnost s nejmenší horní hranicí ).

Objednaná pole

Pokud (F, +, ×) je a pole a ≤ je a celková objednávka na F, pak (F, +, ×, ≤) se nazývá an objednané pole právě když:

• A ≤ b naznačuje A + C ≤ b + C;
• 0 ≤ A a 0 ≤ b znamená 0 ​​≤ A × b.

Oba (Q, +, ×, ≤) a (R, +, ×, ≤) jsou seřazená pole, ale ≤ nelze definovat, aby se (C, +, ×, ≤) an objednané pole,^[10] protože -1 je druhá mocnina i a byl by tedy pozitivní.

Kromě toho, že je to objednané pole, R má také Vlastnost nejméně horní hranice. Ve skutečnosti, R lze definovat jako jediné objednané pole s touto kvalitou.^[11]

Zřetězená notace

Zápis A < b < C znamená „A < b a b < C", ze kterého podle výše uvedené vlastnosti přechodnosti také vyplývá, že A < C. Podle výše uvedených zákonů lze přidat nebo odečíst stejné číslo ke všem třem členům, nebo znásobit nebo rozdělit všechny tři členy stejným nenulovým číslem a obrátit všechny nerovnosti, pokud je toto číslo záporné. Proto například A < b + E < C je ekvivalentní k A − E < b < C − E.

Tuto notaci lze zobecnit na libovolný počet termínů: například A₁ ≤ A₂ ≤ ... ≤ A_n znamená, že A_i ≤ A_i+1 pro i = 1, 2, ..., n - 1. Transitivitou je tento stav ekvivalentní A_i ≤ A_j pro jakoukoli 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Při řešení nerovností pomocí zřetězené notace je možné a někdy nutné termíny vyhodnotit samostatně. Například k vyřešení nerovnosti 4X < 2X + 1 ≤ 3X + 2, není možné izolovat X v kterékoli části nerovnosti sčítáním nebo odčítáním. Místo toho musí být nerovnosti řešeny nezávisle, čímž se vzdají X <1/2 a X ≥ −1, které lze kombinovat do konečného řešení −1 ≤ X < 1/2.

Občas se používá zřetězená notace s nerovnostmi v různých směrech, v takovém případě je význam logická spojka nerovností mezi sousedními členy. Například definující podmínka a klikatá poset je psán jako A₁ < A₂ > A₃ < A₄ > A₅ < A₆ > .... Smíšená zřetězená notace se používá častěji s kompatibilními vztahy, například <, =, ≤. Například, A < b = C ≤ d znamená, že A < b, b = C, a C ≤ d. Tato notace existuje v několika málo programovací jazyky jako Krajta. Naproti tomu v programovacích jazycích, které poskytují řazení podle typu výsledků porovnání, například C, i homogenní řetězce mohou mít úplně jiný význam.^[12]

Ostré nerovnosti

Nerovnost se říká ostrý, pokud to nemůže být uvolněný a stále platit obecně. Formálně, a všeobecně kvantifikováno nerovnost φ se nazývá ostrý, pokud pro každou platnou všeobecně kvantifikovanou nerovnost ψ, pokud ψ ⇒ φ drží tedy ψ ⇔ φ také drží. Například nerovnost ∀A ∈ ℝ. A² ≥ 0 je ostrý, zatímco nerovnost ∀A ∈ ℝ. A² ≥ −1 není ostrý.^{[Citace je zapotřebí ]}

Nerovnosti mezi prostředky

Mezi prostředky existuje mnoho nerovností. Například pro všechna kladná čísla A₁, A₂, …, A_n my máme H ≤ G ≤ A ≤ Q, kde

${ displaystyle H = { frac {n} {{ frac {1} {a_ {1}}} + { frac {1} {a_ {2}}} + cdots + { frac {1} { a_ {n}}}}}}$	(harmonický průměr ),
${ displaystyle G = { sqrt [{n}] {a_ {1} cdot a_ {2} cdots a_ {n}}}}$	(geometrický průměr ),
${ displaystyle A = { frac {a_ {1} + a_ {2} + cdots + a_ {n}} {n}}}$	(aritmetický průměr ),
${ displaystyle Q = { sqrt { frac {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + cdots + a_ {n} ^ {2}} {n}}}}$	(kvadratický průměr ).

Cauchy – Schwarzova nerovnost

Cauchy – Schwarzova nerovnost říká, že pro všechny vektory u a proti z vnitřní produktový prostor je pravda, že

${ displaystyle | langle mathbf {u}, mathbf {v} rangle | ^ {2} leq langle mathbf {u}, mathbf {u} rangle cdot langle mathbf {v} , mathbf {v} rangle,}$

kde ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ je vnitřní produkt. Mezi příklady vnitřních produktů patří skutečné a komplexní Tečkovaný produkt; v Euklidovský prostor Rⁿ se standardním vnitřním produktem je Cauchy – Schwarzova nerovnost

${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} v_ {i} right) ^ {2} leq left ( sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} ^ {2} right) left ( sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} ^ {2} right).}$

Nerovnosti moci

Anerovnost moci„je nerovnost obsahující termíny formuláře A^b, kde A a b jsou skutečná kladná čísla nebo proměnné výrazy. Často se objevují v matematické olympiády cvičení.

Příklady

• Pro všechny skutečné X,

${ displaystyle e ^ {x} geq 1 + x.}$

• Li X > 0 a p > 0, tedy

${ displaystyle { frac {x ^ {p} -1} {p}} geq ln (x) geq { frac {1 - { frac {1} {x ^ {p}}}}} p}}.}$

V limitu p → 0, horní a dolní hranice konvergují k ln (X).

• Li X > 0, tedy

${ displaystyle x ^ {x} geq left ({ frac {1} {e}} right) ^ { frac {1} {e}}.}$

• Li X > 0, tedy

${ displaystyle x ^ {x ^ {x}} geq x.}$

• Li X, y, z > 0, tedy

${ displaystyle left (x + y right) ^ {z} + left (x + z right) ^ {y} + left (y + z right) ^ {x}> 2.}$

• Pro všechna skutečná zřetelná čísla A a b,

${ displaystyle { frac {e ^ {b} -e ^ {a}} {b-a}}> e ^ {(a + b) / 2}.}$

• Li X, y > 0 a 0 < p <1, tedy

${ displaystyle x ^ {p} + y ^ {p}> left (x + y right) ^ {p}.}$

• Li X, y, z > 0, tedy

${ displaystyle x ^ {x} y ^ {y} z ^ {z} geq left (xyz right) ^ {(x + y + z) / 3}.}$

• Li A, b > 0, tedy^[13]

${ displaystyle a ^ {a} + b ^ {b} geq a ^ {b} + b ^ {a}.}$

• Li A, b > 0, tedy^[14]

${ displaystyle a ^ {ea} + b ^ {eb} geq a ^ {eb} + b ^ {ea}.}$

• Li A, b, C > 0, tedy

${ displaystyle a ^ {2a} + b ^ {2b} + c ^ {2c} geq a ^ {2b} + b ^ {2c} + c ^ {2a}.}$

• Li A, b > 0, tedy

${ displaystyle a ^ {b} + b ^ {a}> 1.}$

Známé nerovnosti

Matematici často používají nerovnosti k vázaným veličinám, pro které nelze snadno vypočítat přesné vzorce. Některé nerovnosti se používají tak často, že mají jména:

Složitá čísla a nerovnosti

Sada komplexní čísla ℂ s provozem přidání a násobení je pole, ale není možné definovat žádný vztah ≤ tak (ℂ, +, ×, ≤) se stává objednané pole. Dělat (ℂ, +, ×, ≤) an objednané pole, musel by splňovat následující dvě vlastnosti:

• -li A ≤ b, pak A + C ≤ b + C;
• -li 0 ≤ A a 0 ≤ b, pak 0 ≤ ab.

Protože ≤ je a celková objednávka, pro libovolné číslo A, buď 0 ≤ A nebo A ≤ 0 (v takovém případě to první výše uvedená vlastnost znamená 0 ≤ −A). V obou případech 0 ≤ A²; tohle znamená tamto i² > 0 a 1² > 0; tak −1 > 0 a 1 > 0, což znamená (−1 + 1)> 0; rozpor.

Operaci ≤ však lze definovat tak, aby uspokojila pouze první vlastnost (jmenovitě „if A ≤ b, pak A + C ≤ b + C"). Někdy lexikografický řád používá se definice:

• A ≤ b, pokud
  • Re(A) b)nebo
  • Re(A) = Re (b) a Jsem (A) ≤ Im (b)

Dá se snadno dokázat, že pro tuto definici A ≤ b naznačuje A + C ≤ b + C.

Vektorové nerovnosti

Rovněž lze definovat vztahy nerovnosti podobné těm, které jsou definovány výše vektory sloupců. Pokud necháme vektory ${ displaystyle x, y in mathbb {R} ^ {n}}$ (znamenající, že ${ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) ^ { mathsf {T}}}$ a ${ displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, ldots, y_ {n}) ^ { mathsf {T}}}$, kde ${ displaystyle x_ {i}}$ a ${ displaystyle y_ {i}}$ jsou reálná čísla pro ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$), můžeme definovat následující vztahy:

• ${ displaystyle x = y}$, pokud ${ displaystyle x_ {i} = y_ {i}}$ pro ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$.
• ${ displaystyle x$, pokud ${ displaystyle x_ {i}$ pro ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$.
• ${ displaystyle x leq y}$, pokud ${ displaystyle x_ {i} leq y_ {i}}$ pro ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$ a ${ displaystyle x neq y}$.
• ${ displaystyle x leqq y}$, pokud ${ displaystyle x_ {i} leq y_ {i}}$ pro ${ displaystyle i = 1, ldots, n}$.

Podobně můžeme definovat vztahy pro ${ displaystyle x> y}$, ${ displaystyle x geq y}$, a ${ displaystyle x geqq y}$. Tato notace je v souladu s notací používanou Matthiasem Ehrgottem v Optimalizace více kritérií (viz Odkazy).

The trichotomická vlastnost (jak je uvedeno výše ) není platný pro vektorové vztahy. Například když ${ displaystyle x = (2,5) ^ { mathsf {T}}}$ a ${ displaystyle y = (3,4) ^ { mathsf {T}}}$mezi těmito dvěma vektory neexistuje žádný platný vztah nerovnosti. Také, a multiplikativní inverzní bude možné definovat na vektoru, než bude možné uvažovat o této vlastnosti. Pro zbytek výše uvedených vlastností však existuje paralelní vlastnost pro vektorové nerovnosti.

Systémy nerovností

Systémy lineární nerovnosti lze zjednodušit pomocí Vyřazení Fourier-Motzkin.^[15]

The válcový algebraický rozklad je algoritmus, který umožňuje testování, zda systém polynomiálních rovnic a nerovností má řešení, a pokud řešení existují, jejich popis. Složitost tohoto algoritmu je dvojnásobně exponenciální v počtu proměnných. Aktivní doménou výzkumu je navrhování algoritmů, které jsou v konkrétních případech efektivnější.

Viz také

• Binární relace
• Závorka (matematika), pro použití podobných značek ‹a› jako závorky
• Zahrnutí (teorie množin)
• Nerovnost
• Interval (matematika)
• Seznam nerovností
• Seznam nerovností trojúhelníku
• Částečně objednaná sada
• Relační operátoři, který se používá v programovacích jazycích k označení nerovnosti

Reference

Zdroje

• Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G. (1999). Nerovnosti. Matematická knihovna v Cambridge, Cambridge University Press. ISBN  0-521-05206-8.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Beckenbach, E. F., Bellman, R. (1975). Úvod do nerovností. Random House Inc. ISBN  0-394-01559-2.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Nerovnosti: S aplikacemi ve strojírenství. Springer-Verlag. ISBN  0-387-98404-6.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
• Grinshpan, A. Z. (2005), „Obecné nerovnosti, důsledky a aplikace“, Pokroky v aplikované matematice, 34 (1): 71–100, doi:10.1016 / j.aam.2004.05.001
• Murray S. Klamkin. "'"Nerovnosti" (PDF). Matematické strategie.
• Arthur Lohwater (1982). „Úvod do nerovností“. Online elektronická kniha ve formátu PDF.
• Harold Shapiro (2005). „Matematické řešení problémů“. Seminář o starých problémech. Kungliga Tekniska högskolan.
• „3. USAMO“. Archivovány od originál dne 03.02.2008.
• Pachpatte, B. G. (2005). Matematické nerovnosti. Matematická knihovna v Severním Holandsku. 67 (první vydání). Amsterdam, Nizozemsko: Elsevier. ISBN  0-444-51795-2. ISSN  0924-6509. PAN  2147066. Zbl  1091.26008.
• Ehrgott, Matthias (2005). Optimalizace více kritérií. Springer-Berlín. ISBN  3-540-21398-8.
• Steele, J. Michael (2004). Cauchy-Schwarzova mistrovská třída: Úvod do umění matematických nerovností. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-54677-5.

externí odkazy

• "Nerovnost", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Graf nerovností podle Ed Pegg, Jr.
• Záznam AoPS Wiki o nerovnostech