Rozšířená řada skutečných čísel - Extended real number line - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, afinně rozšířený systém reálných čísel se získává z reálné číslo Systém ${ displaystyle mathbb {R}}$ přidáním dvou prvků: ${ displaystyle + infty}$ a ${ displaystyle - infty}$ (číst jako pozitivní nekonečno a negativní nekonečno respektive), kde jsou nekonečna považována za skutečná čísla.^[1] To je užitečné při popisu algebry na nekonečna a různé omezující chování v počet a matematická analýza, zejména v teorii opatření a integrace.^[2] Afinně rozšířený systém reálných čísel je označen ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ nebo ${ displaystyle [- infty, + infty]}$ nebo ${ displaystyle mathbb {R} pohár {- infty, + infty }}$.^[3]

Pokud je význam jasný z kontextu, symbol ${ displaystyle + infty}$ je často psáno jednoduše jako ${ displaystyle infty}$.^[3]

Motivace

Limity

Je často užitečné popsat chování funkce ${ displaystyle f (x)}$, buď jako argument ${ displaystyle x}$ nebo hodnota funkce ${ displaystyle f (x)}$ v určitém smyslu „nekonečně velký“. Zvažte například funkci

${ displaystyle f (x) = x ^ {- 2}.}$

Graf této funkce má horizontální asymptota při y = 0. Geometricky, když se pohybuje čím dál dále doprava podél ${ displaystyle x}$- osa, hodnota ${ displaystyle textstyle { frac {1} {x ^ {2}}}}$ přístupy 0. Toto omezující chování je podobné jako limit funkce v a reálné číslo kromě toho, že neexistuje žádné skutečné číslo ${ displaystyle x}$ přístupy.

Spojením prvků ${ displaystyle + infty}$ a ${ displaystyle - infty}$ na ${ displaystyle mathbb {R}}$, umožňuje formulaci „limitu v nekonečnu“ s topologické vlastnosti podobné těm pro ${ displaystyle mathbb {R}}$.

Aby byly věci zcela formální, Definice Cauchyových sekvencí z ${ displaystyle mathbb {R}}$ umožňuje definování ${ displaystyle + infty}$ jako soubor všech sekvencí ${ displaystyle {a_ {n} }}$ racionálních čísel, takže každý ${ displaystyle M in mathbb {R}}$ je spojen s odpovídajícím ${ displaystyle N in mathbb {N}}$ pro který ${ displaystyle a_ {n}> M}$ pro všechny ${ displaystyle n> N}$. Definice ${ displaystyle - infty}$ lze postavit podobně.

Měření a integrace

v teorie míry, je často užitečné povolit množiny, které mají nekonečnou míru a integrály, jejichž hodnota může být nekonečná.

Taková opatření přirozeně vyplývají z počtu. Například při přiřazování a opatření na ${ displaystyle mathbb {R}}$ která souhlasí s obvyklou délkou intervalů, musí být tato míra větší než jakékoli konečné reálné číslo. Také při zvažování nesprávné integrály, jako

${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} { frac {dx} {x}}}$

vznikne hodnota „nekonečno“. Nakonec je často užitečné zvážit limit posloupnosti funkcí, jako je

${ displaystyle f_ {n} (x) = { begin {cases} 2n (1-nx), & { mbox {if}} 0 leq x leq { frac {1} {n}} 0, & { mbox {if}} { frac {1} {n}}$

Aniž bychom povolili funkcím nabývat nekonečných hodnot, dosáhly by takové zásadní výsledky jako monotónní věta o konvergenci a dominující věta o konvergenci by nedávalo smysl.

Pořadí a topologické vlastnosti

Afinně rozšířený systém reálných čísel lze změnit na úplně objednaná sada definováním ${ displaystyle - infty leq a leq + infty}$ pro všechny ${ displaystyle a}$. S tím topologie objednávky, ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ má žádoucí vlastnost kompaktnost: každá podmnožina ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ má supremum a infimum^[4] (infimum prázdné množiny je ${ displaystyle + infty,}$ a jeho supremum je ${ displaystyle - infty}$). Navíc s touto topologií ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ je homeomorfní do jednotkový interval ${ displaystyle [0,1]}$. Topologie tedy je měřitelný, což odpovídá (pro daný homeomorfismus) běžné metrice v tomto intervalu. Neexistuje žádná metrika, která by byla rozšířením běžné metriky ${ displaystyle mathbb {R}}$.

V této topologii sada ${ displaystyle U}$ je sousedství z ${ displaystyle + infty}$, pouze a pouze, pokud obsahuje sadu ${ displaystyle {x: x> a }}$ pro nějaké skutečné číslo ${ displaystyle a}$. Pojem sousedství ${ displaystyle - infty}$ lze definovat podobně. Pomocí této charakterizace rozšířených reálných čtvrtí, speciálně definovaných limity pro ${ displaystyle x}$ inklinovat k ${ displaystyle + infty}$ a ${ displaystyle - infty}$a speciálně definované pojmy limitů rovných ${ displaystyle + infty}$ a ${ displaystyle - infty}$, omezit na obecnou topologickou definici limitů.

Aritmetické operace

Aritmetické operace ${ displaystyle mathbb {R}}$ lze částečně rozšířit na ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ jak následuje:^[3]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} a + infty = + infty + a & = + infty, & a & neq - infty a- infty = - infty + a & = - infty, & a & neq + infty a cdot ( pm infty) = pm infty cdot a & = pm infty, & a & in (0, + infty] a cdot ( pm infty) = pm infty cdot a & = mp infty, & a & in [- infty, 0) { frac {a} { pm infty}} & = 0, & a & in mathbb {R} { frac { pm infty} {a}} & = pm infty, & a & in (0, + infty) { frac { pm infty} {a}} & = mp infty, & a & in (- infty, 0) end {zarovnáno}}}$

Pro umocňování viz Vysvětlení # Limity pravomocí. Tady, "${ displaystyle a + infty}$„znamená obojí“${ displaystyle a + (+ infty)}$" a "${ displaystyle a - (- infty)}$", zatímco "${ displaystyle a- infty}$„znamená obojí“${ displaystyle a - (+ infty)}$" a "${ displaystyle a + (- infty)}$".

Výrazy ${ displaystyle infty - infty, 0 krát ( pm infty)}$ a ${ displaystyle pm infty / pm infty}$ (volala neurčité formy ) jsou obvykle ponechány nedefinováno. Tato pravidla vycházejí ze zákonů pro nekonečné limity. V kontextu teorie pravděpodobnosti nebo míry však ${ displaystyle 0 krát pm infty}$ je často definována jako ${ displaystyle 0}$.^[5]

Když se jedná o pozitivní i negativní rozšířená reálná čísla, výraz ${ displaystyle 1/0}$ je obvykle ponecháno nedefinované, protože, i když je pravda, že pro každou skutečnou nenulovou sekvenci ${ displaystyle f}$ který konverguje k ${ displaystyle 0}$, vzájemná posloupnost ${ displaystyle 1 / f}$ je nakonec obsažen v každém sousedství ${ displaystyle { infty, - infty }}$, to je ne pravda, že sekvence ${ displaystyle 1 / f}$ musí sám konvergovat k jednomu ${ displaystyle - infty}$ nebo ${ displaystyle infty}$. Řekl jiný způsob, pokud a spojitá funkce ${ displaystyle f}$ dosáhne nuly při určité hodnotě ${ displaystyle x_ {0}}$, pak to tak nemusí být ${ displaystyle 1 / f}$ má tendenci buď ${ displaystyle - infty}$ nebo ${ displaystyle infty}$ v limitu jako ${ displaystyle x}$ má sklony k ${ displaystyle x_ {0}}$. To je případ limitů funkce identity ${ displaystyle f (x) = x}$ když ${ displaystyle x}$ má tendenci k 0 a z ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} sin (1 / x)}$ (u druhé funkce ani jedna ${ displaystyle - infty}$ ani ${ displaystyle infty}$ je limit ${ displaystyle 1 / f (x),}$ i když jen kladné hodnoty X jsou považovány).

V kontextech, kde se berou v úvahu pouze nezáporné hodnoty, je však často vhodné definovat ${ displaystyle 1/0 = + infty}$. Například při práci s výkonovými řadami, poloměr konvergence a výkonová řada s koeficienty ${ displaystyle a_ {n}}$ je často definována jako převrácená hodnota limitu-supremum sekvence ${ displaystyle {| a_ {n} | ^ {1 / n} }}$. Pokud to tedy někdo dovolí ${ displaystyle 1/0}$ vzít hodnotu ${ displaystyle + infty}$, pak lze použít tento vzorec bez ohledu na to, zda je limit-supremum ${ displaystyle 0}$ nebo ne.

Algebraické vlastnosti

S těmito definicemi ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ je ne dokonce a poloskupina, natož a skupina, a prsten nebo a pole jako v případě ${ displaystyle mathbb {R}}$. Má však několik výhodných vlastností:

• ${ displaystyle a + (b + c)}$ a ${ displaystyle (a + b) + c}$ jsou stejné nebo obojí nedefinované.
• ${ displaystyle a + b}$ a ${ displaystyle b + a}$ jsou stejné nebo obojí nedefinované.
• ${ displaystyle a cdot (b cdot c)}$ a ${ displaystyle (a cdot b) cdot c}$ jsou stejné nebo obojí nedefinované.
• ${ displaystyle a cdot b}$ a ${ displaystyle b cdot a}$ jsou stejné nebo obojí nedefinované
• ${ displaystyle a cdot (b + c)}$ a ${ displaystyle (a cdot b) + (a cdot c)}$ jsou stejné, pokud jsou obě definovány.
• Li ${ displaystyle a leq b}$ a pokud obojí ${ displaystyle a + c}$ a ${ displaystyle b + c}$ jsou tedy definovány ${ displaystyle a + c leq b + c}$.
• Li ${ displaystyle a leq b}$ a ${ displaystyle c> 0}$ a pokud obojí ${ displaystyle a cdot c}$ a ${ displaystyle b cdot c}$ jsou tedy definovány ${ displaystyle a cdot c leq b cdot c}$.

Obecně platí, že všechny zákony aritmetiky jsou platné v ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$—Pokud jsou definovány všechny vyskytující se výrazy.

Smíšený

Několik funkce může být nepřetržitě rozšířena na ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ přijetím limitů. Například lze definovat extrémní body následujících funkcí následovně:${ displaystyle exp (- infty) = 0, ln (0) = - infty, tanh ( pm infty) = pm 1, arctan ( pm infty) = pm { frac { pi} {2}}}$

Nějaký singularity mohou být dodatečně odstraněny. Například funkce ${ displaystyle 1 / x ^ {2}}$ lze průběžně rozšiřovat na ${ displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ (pod nějaký definice kontinuity) nastavením hodnoty na ${ displaystyle + infty}$ pro ${ displaystyle x = 0}$, a ${ displaystyle 0}$ pro ${ displaystyle x = + infty}$ a ${ displaystyle x = - infty}$. Na druhou stranu funkce ${ displaystyle 1 / x}$ umět ne být neustále rozšiřována, protože funkce se blíží ${ displaystyle - infty}$ tak jako ${ displaystyle x}$ přístupy ${ displaystyle 0}$ zespodu a ${ displaystyle + infty}$ tak jako ${ displaystyle x}$ přístupy ${ displaystyle 0}$ shora.

Podobný, ale odlišný systém reálných linek, projektivně prodloužená reálná linie, nerozlišuje mezi ${ displaystyle + infty}$ a ${ displaystyle - infty}$ (tj. nekonečno není podepsáno).^[6] Ve výsledku může mít funkce limit ${ displaystyle infty}$ na projektivně rozšířené reálné linii, zatímco v afinně rozšířené soustavě reálných čísel má limit pouze absolutní hodnota funkce, např. v případě funkce ${ displaystyle 1 / x}$ na ${ displaystyle x = 0}$. Na druhou stranu

${ displaystyle lim _ {x to - infty} {f (x)}}$ a ${ displaystyle lim _ {x až + infty} {f (x)}}$

odpovídají na projektivně prodloužené reálné linii pouze limitu zprava a jedné zleva, přičemž plný limit existuje pouze v případě, že jsou obě stejné. Tedy funkce ${ displaystyle e ^ {x}}$ a ${ displaystyle arctan (x)}$ nelze provést spojitý v ${ displaystyle x = infty}$ na projektivně prodloužené reálné linii.

Viz také

• Projektivně prodloužená reálná linie
• Dělení nulou
• Rozšířená komplexní rovina
• Nesprávný integrál
• Nekonečno
• Seriál (matematika)
• Semiring protokolu
• Počítačové reprezentace rozšířených reálných čísel, viz Aritmetika s plovoucí desetinnou čárkou § nekonečna a IEEE s plovoucí desetinnou čárkou

Reference

Další čtení

• Aliprantis, Charalambos D .; Burkinshaw, Owen (1998), Principy reálné analýzy (3. vyd.), San Diego, CA: Academic Press, Inc., s. 29, ISBN  0-12-050257-7, PAN  1669668
• David W. Cantrell. „Afinně rozšířená reálná čísla“. MathWorld.