Funkční prostor - Function space

v matematika, a funkční prostor je soubor z funkce mezi dvěma pevnými sadami. Často doména a / nebo codomain bude mít další struktura který je zděděn funkčním prostorem. Například sada funkcí z libovolné sady X do vektorový prostor má přírodní struktura vektorového prostoru daná bodově sčítání a skalární násobení. V jiných scénářích může funkční prostor zdědit a topologické nebo metrický struktura, odtud tedy funkce názvu prostor.

V lineární algebře

Přidání funkcí: Součet sinusové a exponenciální funkce je

{ displaystyle sin + exp: mathbb {R} až mathbb {R}}

s

{ displaystyle ( sin + exp) (x) = sin (x) + exp (x)}

Nechat PROTI být vektorovým prostorem nad a pole F a nechte X být libovolnou sadou. Funkce X → PROTI může být dána struktura vektorového prostoru F kde jsou operace definovány bodově, tedy pro libovolné F, G : X → PROTI, jakýkoli X v Xa jakékoli C v F, definovat

{ displaystyle { začátek {zarovnáno} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) (c cdot f) (x) & = c cdot f (x) konec {zarovnaný}}}

Když doména X má další strukturu, místo toho je možné zvážit podmnožina (nebo podprostor ) všech takových funkcí, které tuto strukturu respektují. Například pokud X je také vektorový prostor F, soubor lineární mapy X → PROTI tvoří vektorový prostor F s bodovými operacemi (často označovány Hom (X,PROTI)). Jedním z takových prostor je dvojí prostor z PROTI: soubor lineární funkcionály PROTI → F s přidáním a skalárním násobením definovaným bodově.

Příklady

Funkční prostory se objevují v různých oblastech matematiky:

v teorie množin, sada funkcí z X na Y mohou být označeny X → Y nebo Y^X.
- Jako zvláštní případ napájecí sada sady X lze identifikovat se sadou všech funkcí od X na {0, 1}, označeno 2^X.
Sada bijekce z X na Y je označen ${ displaystyle X leftrightarrow Y}$ . Faktoriální notace X! lze použít pro permutace jedné sady X.
v funkční analýza totéž je vidět pro kontinuální lineární transformace, včetně topologie na vektorových prostorech ve výše uvedeném a mnoho z hlavních příkladů jsou funkční prostory nesoucí a topologie; nejznámější příklady zahrnují Hilbertovy prostory a Banachovy prostory.
v funkční analýza soubor všech funkcí z přirozená čísla do nějaké sady X se nazývá a sekvenční prostor. Skládá se ze sady všech možných sekvence prvků X.
v topologie, jeden se může pokusit dát topologii na prostor spojitých funkcí z a topologický prostor X do jiného Y, s užitečností v závislosti na povaze prostor. Běžně používaným příkladem je kompaktně otevřená topologie, např. prostor smyčky. K dispozici je také topologie produktu na prostoru množin teoretických funkcí (tj. ne nutně spojitých funkcí) Y^X. V této souvislosti se tato topologie označuje také jako topologie bodové konvergence.
v algebraická topologie, studium teorie homotopy je to v podstatě diskrétní invarianty funkčních prostorů;
V teorii stochastické procesy, základním technickým problémem je, jak postavit a míra pravděpodobnosti ve funkčním prostoru cesty procesu (funkce času);
v teorie kategorií funkční prostor se nazývá exponenciální objekt nebo mapový objekt. Jedním způsobem se jeví jako reprezentace kanonický bifunktor; ale jako (jednoduchý) funktor typu [X, -], jeví se jako adjunkční funktor na funktor typu (- ×X) na objektech;
v Funkcionální programování a lambda kalkul, typy funkcí se používají k vyjádření myšlenky funkce vyššího řádu.
v teorie domény, základní myšlenkou je najít stavby z dílčí objednávky které mohou modelovat lambda kalkul vytvořením dobře vychovaného kartézská uzavřená kategorie.
V teorie reprezentace konečných grup, vzhledem k tomu, že dvě konečně-dimenzionální reprezentace PROTI a Ž skupiny G, lze vytvořit reprezentaci G nad vektorovým prostorem lineárních map Hom (PROTI,Ž) volal Hom reprezentace.^[1]

Funkční analýza

Funkční analýza je organizována kolem adekvátních technik, které přinášejí funkční prostory jako topologické vektorové prostory v dosahu myšlenek, které by se týkaly normované prostory konečné dimenze. Zde používáme skutečnou linii jako příklad domény, ale níže uvedené mezery existují ve vhodných otevřených podmnožinách ${ displaystyle Omega subseteq mathbf {R} ^ {n}}$

${ displaystyle C ( mathbf {R})}$ spojité funkce obdařen topologií jednotné normy
${ displaystyle C_ {c} ( mathbf {R})}$ spojité funkce s kompaktní podpora
${ displaystyle B ( mathbf {R})}$ omezené funkce
${ displaystyle C_ {0} ( mathbf {R})}$ spojité funkce, které mizí v nekonečnu
${ displaystyle C ^ {r} ( mathbf {R})}$ spojité funkce, které mají spojitou první r deriváty.
${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbf {R})}$ plynulé funkce
${ displaystyle C_ {c} ^ { infty} ( mathbf {R})}$ plynulé funkce s kompaktní podpora
${ displaystyle C ^ { omega} ( mathbf {R})}$ skutečné analytické funkce
${ displaystyle L ^ {p} ( mathbf {R})}$ , pro ${ displaystyle 1 leq p leq infty}$ , je L^p prostor z měřitelný funkce, jejichž p-norma ${ displaystyle || f || _ {p} = left ( int _ { mathbf {R}} | f | ^ {p} right) ^ {1 / p}}$ je konečný
${ displaystyle { mathcal {S}} ( mathbf {R})}$ , Schwartzův prostor z rychle klesá plynulé funkce a jeho kontinuální duální, ${ displaystyle { mathcal {S}} '( mathbf {R})}$ temperované distribuce
${ displaystyle D ( mathbf {R})}$ kompaktní podpora v limitní topologii
${ displaystyle W ^ {k, p}}$ Sobolevův prostor funkcí, jejichž slabé deriváty na objednávku k jsou v ${ displaystyle L ^ {p}}$
${ displaystyle { mathcal {O}} _ {U}}$ holomorfní funkce
lineární funkce
po částech lineární funkce
spojité funkce, kompaktní otevřená topologie
všechny funkce, prostor bodové konvergence
Hardy prostor
Hölderův prostor
Càdlàg funkce, známé také jako Skorokhod prostor
${ displaystyle { text {Lip}} _ {0} ( mathbf {R})}$ , prostor všech Lipschitz funkce zapnuty ${ displaystyle mathbf {R}}$ které zmizí na nule.

Norma

Li $y$ je prvek funkčního prostoru ${ displaystyle { mathcal {C}} (a, b)}$ ze všech spojité funkce které jsou definovány na a uzavřený interval [a, b] norma ${ displaystyle | y | _ { infty}}$ definováno dne ${ displaystyle { mathcal {C}} (a, b)}$ je maximum absolutní hodnota z $y (X)$ pro $A \leq X \leq b$ ,^[2]

{ displaystyle | y | _ { infty} ekviv max _ {a leq x leq b} | y (x) | qquad { text {kde}} y v { mathcal {Kabina)}

se nazývá jednotná norma nebo nadřazená norma ('sup norma').

Bibliografie

Kolmogorov, A. N., a Fomin, S. V. (1967). Základy teorie funkcí a funkční analýzy. Publikace Courier Dover.
Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Funkční analýza: Úvod do dalších témat analýzy. Princeton University Press.

Viz také

Poznámky pod čarou

^ Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace: První kurz. Springer Science & Business Media. str. 4. ISBN 9780387974958.
^ Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Variační počet (Nezkrácené vydání). Mineola, New York: Dover Publications. str. 6. ISBN 978-0486414485.

[1] Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace: První kurz. Springer Science & Business Media. str. 4. ISBN 9780387974958.

[GelfandFominP6-2] Gelfand, I. M.; Fomin, S. V. (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Variační počet (Nezkrácené vydání). Mineola, New York: Dover Publications. str. 6. ISBN 978-0486414485.

[1]

[2]