Celková variace - Total variation

tento článek příliš spoléhá na Reference na primární zdroje. Vylepšete to přidáním sekundární nebo terciární zdroje. (Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Jak se zelená koule pohybuje po grafu dané funkce, délka dráhy, kterou urazí projekce této koule na y-osa, zobrazená jako červená koule, je celkovou variací funkce.

v matematika, celková variace identifikuje několik mírně odlišných konceptů souvisejících s (místní nebo globální) struktura codomain a funkce nebo a opatření. Pro skutečný spojitá funkce F, definované na interval [A, b] ⊂ ℝ, jeho celková variace na interval definice je mírou jednorozměrného délka oblouku křivky s parametrickou rovnicí X ↦ F(X), pro X ∈ [A, b].

Historická poznámka

Koncept totální variace pro funkce jedné reálné proměnné byl poprvé představen Camille Jordan v novinách (Jordan 1881 ).^[1] Použil nový koncept k prokázání věty o konvergenci pro Fourierova řada z diskontinuální periodické funkce jehož variace je ohraničený. Rozšíření konceptu na funkce více než jedné proměnné však není z různých důvodů jednoduché.

Definice

Celková variace funkcí jedné reálné proměnné

Definice 1.1. The celková variace a nemovitý -hodnota (nebo obecněji komplex -hodnota) funkce ${ displaystyle f}$, definované na interval ${ displaystyle [a, b] podmnožina mathbb {R}}$ je množství

${ displaystyle V_ {b} ^ {a} (f) = sup _ { mathcal {P}} součet _ {i = 0} ^ {n_ {P} -1} | f (x_ {i + 1 }) - f (x_ {i}) |,}$

Kde supremum běží přes soubor ze všech oddíly ${ displaystyle scriptstyle { mathcal {P}} = left {P = {x_ {0}, dots, x_ {n_ {P}} } | P { text {je oddíl}} [Jasný}}$ daného interval.

Celková variace pro funkce n > 1 skutečné proměnné

Definice 1.2. Nechat Ω být otevřená podmnožina z ℝⁿ. Vzhledem k funkci F patřící L¹(Ω), celková variace z F v Ω je definován jako

${ displaystyle V (f, Omega): = sup left { int _ { Omega} f (x) operatorname {div} phi (x) , mathrm {d} x tlustého střeva phi in C_ {c} ^ {1} ( Omega, mathbb {R} ^ {n}), Vert phi Vert _ {L ^ { infty} ( Omega)} leq 1 že jo},}$

kde ${ displaystyle scriptstyle C_ {c} ^ {1} ( Omega, mathbb {R} ^ {n})}$ je soubor z průběžně diferencovatelné vektorové funkce z kompaktní podpora obsaženo v ${ displaystyle Omega}$, a ${ displaystyle scriptstyle Vert ; Vert _ {L ^ { infty} ( Omega)}}$ je základní supremum norma. Tato definice nevyžaduje že doména ${ displaystyle Omega subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ dané funkce být a ohraničená množina.

Celková variace v teorii opatření

Definice klasické celkové variace

Následující Saks (1937, str. 10), zvažte a podepsané opatření ${ displaystyle mu}$ na měřitelný prostor ${ displaystyle (X, Sigma)}$: pak je možné definovat dva nastavit funkce ${ displaystyle scriptstyle { overline { mathrm {W}}} ( mu, cdot)}$ a ${ displaystyle scriptstyle { podtržení { mathrm {W}}} ( mu, cdot)}$, resp horní variace a nižší variace, jak následuje

${ displaystyle { overline { mathrm {W}}} ( mu, E) = sup left { mu (A) mid A v Sigma { text {a}} A podmnožina E right } qquad forall E in Sigma}$

${ displaystyle { underline { mathrm {W}}} ( mu, E) = inf left { mu (A) mid A v Sigma { text {a}} A podmnožina E right } qquad forall E in Sigma}$

jasně

${ displaystyle { overline { mathrm {W}}} ( mu, E) geq 0 geq { podtržení { mathrm {W}}} ( mu, E) qquad forall E in Sigma}$

Definice 1.3. The variace (také zvaný absolutní variace) podepsaného opatření ${ displaystyle mu}$ je nastavená funkce

${ displaystyle | mu | (E) = { overline { mathrm {W}}} ( mu, E) + left | { podtržení { mathrm {W}}} ( mu, E) vpravo | qquad forall E in Sigma}$

a jeho celková variace je definována jako hodnota tohoto opatření v celém definičním prostoru, tj.

${ displaystyle | mu | = | mu | (X)}$

Moderní definice normy úplné variace

Saks (1937, str. 11) používá horní a dolní varianty k prokázání Hahn – Jordanův rozklad: podle jeho verze této věty jsou horní a dolní variace respektive a nezáporné a a není pozitivní opatření. Definujte pomocí modernější notace

${ displaystyle mu ^ {+} ( cdot) = { overline { mathrm {W}}} ( mu, cdot) ,,}$

${ displaystyle mu ^ {-} ( cdot) = - { podtrhnout { mathrm {W}}} ( mu, cdot) ,,}$

Pak ${ displaystyle mu ^ {+}}$ a ${ displaystyle mu ^ {-}}$ jsou dva nezáporné opatření takhle

${ displaystyle mu = mu ^ {+} - mu ^ {-}}$

${ displaystyle | mu | = mu ^ {+} + mu ^ {-}}$

Poslední opatření se někdy nazývá, tím zneužití notace, celková variační míra.

Celková variační norma komplexních opatření

Pokud opatření ${ displaystyle mu}$ je komplexní tj. je a komplexní opatření, jeho horní a dolní variaci nelze definovat a Hahnova – Jordanova věta o rozkladu lze použít pouze na její skutečnou a imaginární část. Je však možné se řídit Rudin (1966, s. 137–139) a definují celkovou variabilitu opatření s komplexní hodnotou ${ displaystyle mu}$ jak následuje

Definice 1.4. The variace opatření s komplexní hodnotou ${ displaystyle mu}$ je nastavit funkci

${ displaystyle | mu | (E) = sup _ { pi} součet _ {A in pi} | mu (A) | qquad forall E in Sigma}$

Kde supremum přebírá všechny oddíly ${ displaystyle pi}$ a měřitelná množina ${ displaystyle E}$ do spočetného počtu disjunktních měřitelných podmnožin.

Tato definice se shoduje s výše uvedenou definicí ${ displaystyle | mu | = mu ^ {+} + mu ^ {-}}$ pro případ podepsaných opatření se skutečnou hodnotou.

Celková variační norma opatření s vektorovou hodnotou

Takto definovaná variace je a pozitivní míra (vidět Rudin (1966, str. 139)) a shoduje se s definovaným 1.3 když ${ displaystyle mu}$ je podepsané opatření: jeho celková variace je definována výše. Tato definice funguje, i když ${ displaystyle mu}$ je vektorové opatření: variace je pak definována následujícím vzorcem

${ displaystyle | mu | (E) = sup _ { pi} součet _ {A in pi} | mu (A) | qquad forall E in Sigma}$

kde supremum je jako výše. Tato definice je o něco obecnější než ta, kterou uvádí Rudin (1966, str. 138), protože to vyžaduje pouze zvážit konečné oddíly prostoru ${ displaystyle X}$: to znamená, že jej lze použít také k definování celkové variace konečně aditivní opatření.

Celková variace pravděpodobnostních opatření

Celková variace jakéhokoli míra pravděpodobnosti je přesně jeden, proto není zajímavý jako prostředek pro zkoumání vlastností takových opatření. Jsou-li však μ a ν pravděpodobnostní opatření, celková variační vzdálenost pravděpodobnostních opatření lze definovat jako ${ displaystyle | mu - nu |}$ kde normou je celková variační norma podepsaných měr. Pomocí vlastnosti, že ${ displaystyle ( mu - nu) (X) = 0}$, nakonec dospějeme k ekvivalentní definici

${ Displaystyle | mu - nu | = | mu - nu | (X) = 2 sup left {, left | mu (A) - nu (A) right | : A in Sigma , right }}$

a jeho hodnoty jsou nepodstatné. Faktor ${ displaystyle 2}$ výše je obvykle upuštěno (stejně jako konvence v článku celková variační vzdálenost pravděpodobnostních opatření ). Neformálně se jedná o největší možný rozdíl mezi pravděpodobnostmi, které tyto dvě rozdělení pravděpodobnosti lze přiřadit ke stejné události. Pro kategorické rozdělení je možné zapsat celkovou variační vzdálenost následujícím způsobem

${ displaystyle delta ( mu, nu) = součet _ {x} vlevo | mu (x) - nu (x) vpravo | ;.}$

Může být také normalizován na hodnoty v ${ displaystyle [0,1]}$ rozdělením předchozí definice na polovinu následujícím způsobem

${ displaystyle delta ( mu, nu) = { frac {1} {2}} součet _ {x} vlevo | mu (x) - nu (x) vpravo |}$^[2]

Základní vlastnosti

Celková variace rozlišitelných funkcí

Celková variace a ${ displaystyle C ^ {1} ({ overline { Omega}})}$ funkce ${ displaystyle f}$ lze vyjádřit jako integrální zahrnující danou funkci místo jako supremum z funkcionáři definic 1.1 a 1.2.

Forma celkové variace diferencovatelné funkce jedné proměnné

Věta 1. The celková variace a diferencovatelná funkce ${ displaystyle f}$, definované na interval ${ displaystyle [a, b] podmnožina mathbb {R}}$, má následující výraz, pokud ${ displaystyle f '}$ je Riemann integrovatelný

${ displaystyle V_ {b} ^ {a} (f) = int _ {a} ^ {b} | f '(x) | mathrm {d} x}$

Forma celkové variace diferencovatelné funkce několika proměnných

Věta 2. Vzhledem k ${ displaystyle C ^ {1} ({ overline { Omega}})}$ funkce ${ displaystyle f}$ definované na a ohraničený otevřená sada ${ displaystyle Omega subseteq mathbb {R} ^ {n}}$, s ${ displaystyle částečné Omega}$ třídy ${ displaystyle C ^ {1}}$, celková variace ${ displaystyle f}$ má následující výraz

${ displaystyle V (f, Omega) = int limity _ { Omega} vlevo | nabla f (x) vpravo | mathrm {d} x}$ .

Důkaz

Prvním krokem v důkazu je nejprve prokázání rovnosti, která vyplývá z Gauss – Ostrogradského věta.

Lemma

V podmínkách věty platí následující rovnost:

${ displaystyle int limity _ { Omega} f operatorname {div} varphi = - int _ { Omega} nabla f cdot varphi}$

Důkaz lemmatu

Z Gauss – Ostrogradského věta:

${ displaystyle int limity _ { Omega} operatorname {div} mathbf {R} = int limity _ { částečné Omega} mathbf {R} cdot mathbf {n}}$

nahrazením ${ displaystyle mathbf {R}: = f mathbf { varphi}}$, my máme:

${ displaystyle int limity _ { Omega} operatorname {div} vlevo (f mathbf { varphi} vpravo) = int limity _ { částečné Omega} vlevo (f mathbf { varphi} right) cdot mathbf {n}}$

kde ${ displaystyle mathbf { varphi}}$ je nula na hranici ${ displaystyle Omega}$ podle definice:

${ displaystyle int limity _ { Omega} operatorname {div} left (f mathbf { varphi} right) = 0}$

${ displaystyle int limity _ { Omega} částečné _ {x_ {i}} vlevo (f mathbf { varphi} _ {i} vpravo) = 0}$

${ displaystyle int limity _ { Omega} mathbf { varphi} _ {i} částečné _ {x_ {i}} f + f částečné _ {x_ {i}} mathbf { varphi} _ {i} = 0}$

${ displaystyle int limity _ { Omega} f částečné _ {x_ {i}} mathbf { varphi} _ {i} = - int limity _ { Omega} mathbf { varphi} _ {i} částečné _ {x_ {i}} f}$

${ displaystyle int limity _ { Omega} f operatorname {div} mathbf { varphi} = - int limity _ { Omega} mathbf { varphi} cdot nabla f}$

Důkaz rovnosti

Za podmínek věty z lematu máme:

${ displaystyle int limity _ { Omega} f operatorname {div} mathbf { varphi} = - int limity _ { Omega} mathbf { varphi} cdot nabla f leq vlevo | int limits _ { Omega} mathbf { varphi} cdot nabla f right | leq int limits _ { Omega} left | mathbf { varphi} right | cdot left | nabla f right | leq int limits _ { Omega} left | nabla f right |}$

v poslední části ${ displaystyle mathbf { varphi}}$ lze vynechat, protože podle definice je jeho základní supremum nanejvýš jedno.

Na druhou stranu uvažujeme ${ displaystyle theta _ {N}: = - mathbb {I} _ { left [-N, N right]} mathbb {I} _ { { nabla f neq 0 }} { frac { nabla f} { left | nabla f right |}}}$ a ${ displaystyle theta _ {N} ^ {*}}$ což je až ${ displaystyle varepsilon}$ aproximace ${ displaystyle theta _ {N}}$ v ${ displaystyle C_ {c} ^ {1}}$ se stejným integrálem. Můžeme to udělat od té doby ${ displaystyle C_ {c} ^ {1}}$ je hustá v ${ displaystyle L ^ {1}}$. Nyní opět dosadíme do lemmatu:

${ displaystyle lim limity _ {N rightarrow infty} int limity _ { Omega} f operatorname {div} theta _ {N} ^ {*} = lim limity _ {N rightarrow infty} int limits _ { { nabla f neq 0 }} mathbb {I} _ { left [-N, N right]} nabla f cdot { frac { nabla f } { left | nabla f right |}} = lim limits _ {N rightarrow infty} int limits _ { left [-N, N right] cap { { nabla f neq 0 }}} nabla f cdot { frac { nabla f} { left | nabla f right |}} = int limits _ { Omega} left | nabla f right |}$

To znamená, že máme konvergentní posloupnost ${ displaystyle int limity _ { Omega} f operatorname {div} mathbf { varphi}}$ to má tendenci ${ displaystyle int limity _ { Omega} vlevo | nabla f vpravo |}$ stejně jako to víme ${ displaystyle int limits _ { Omega} f operatorname {div} mathbf { varphi} leq int limits _ { Omega} left | nabla f right |}$. q.e.d.

Je to vidět z důkazu, že supremum je dosaženo, když

${ displaystyle varphi to { frac {- nabla f} { left | nabla f right |}}.}$

The funkce ${ displaystyle f}$ se říká, že je z ohraničená variace přesně pokud je jeho celková variace konečná.

Celková variace opatření

Celková variace je a norma definován v prostoru měr omezené variace. Prostor měr na σ-algebře množin je a Banachův prostor, nazvaný ca prostor ve vztahu k této normě. Je obsažen ve větším Banachově prostoru, který se nazývá ba prostor, skládající se z konečně aditivní (na rozdíl od spočetně aditivních) opatření, také se stejnou normou. The funkce vzdálenosti související s normou vede k celkové variační vzdálenosti mezi dvěma měřítky μ a ν.

Pro konečné míry na ℝ je souvislost mezi celkovou variací míry μ a celková variace funkce, jak je popsána výše, následuje. Dáno μ, definovat funkci ${ displaystyle varphi tlusté mathbb {R} až mathbb {R}}$ podle

${ displaystyle varphi (t) = mu ((- infty, t]) ~.}$

Poté celková variace podepsané míry μ se rovná celkové odchylce funkce ve výše uvedeném smyslu ${ displaystyle varphi}$. Obecně lze celkovou variaci podepsané míry definovat pomocí Jordanova věta o rozkladu podle

${ displaystyle | mu | _ {TV} = mu _ {+} (X) + mu _ {-} (X) ~,}$

pro jakékoli podepsané opatření μ na měřitelném prostoru ${ displaystyle (X, Sigma)}$.

Aplikace

Celkovou variabilitu lze chápat jako a nezáporné nemovitý -hodnota funkční definováno v prostoru skutečný funkce (pro případ funkcí jedné proměnné) nebo na prostoru integrovatelné funkce (pro případ funkcí více proměnných). Jako funkční totální variace najde uplatnění v několika oborech matematiky a inženýrství optimální ovládání, numerická analýza, a variační počet, kde řešení určitého problému musí být minimalizovat jeho hodnota. Jako příklad lze uvést, že použití funkce celkové variace je běžné v následujících dvou typech problémů

• Numerická analýza diferenciálních rovnic: je to věda o hledání přibližných řešení diferenciální rovnice. Aplikace úplných variací na tyto problémy jsou podrobně popsány v článku "celková odchylka klesá "
• Odšumění obrazu: v zpracování obrazu, odšumování je kolekce metod používaných ke snížení hluk v obraz rekonstruována například z údajů získaných elektronickými prostředky přenos dat nebo snímání. "Celkové odchylky variace „je název pro aplikaci celkové variace na redukci šumu obrazu; další podrobnosti najdete v příspěvcích (Rudin, Osher a Fatemi 1992 ) a (Caselles, Chambolle a Novaga 2007 ). Rozumné rozšíření tohoto modelu o barevné obrázky, tzv. Color TV, najdete v (Blomgren & Chan 1998 ).

Viz také

• Ohraničená variace
• p-variace
• Celková variace klesá
• Celkové odchylky variace
• Kvadratická variace
• Celková variační vzdálenost pravděpodobnostních opatření
• Kolmogorov – Smirnovův test
• Anizotropní difúze

Poznámky

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Únor 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Historické odkazy

• Arzelà, Cesare (7. května 1905), „Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (On functions of two variables of bounded variation)“, Rendiconto delle Sessioni della Reale Accademia delle Scienze dell'Istituto di BolognaSeriál Nuova (v italštině), IX (4): 100–107, JFM  36.0491.02, archivovány z originál dne 2007-08-07.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], „Varianta Arzelà“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], „Fréchetova variace“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], „Hardy variation“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], „Pierpontova variace“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Variace Vitali", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Golubov, Boris I. (2001) [1994], "Varianta Tonelliho roviny", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Golubov, Boris I .; Vituškin, Anatoli G. (2001) [1994], "Variace funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Jordan, Camille (1881), „Sur la série de Fourier“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (francouzsky), 92: 228–230, JFM  13.0184.01 (Dostupné v Gallica ). Toto je podle Borise Golubov první práce o funkcích omezené variace.
• Hahn, Hans (1921), Theorie der reellen Funktionen (v němčině), Berlín: Springer Verlag, str. VII + 600, JFM  48.0261.09.
• Vitali, Giuseppe (1908) [17 dicembre 1907], „Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (O skupinách bodů a funkcích reálných proměnných)“, Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (v italštině), 43: 75–92, JFM  39.0101.05, archivovány z originál dne 31. 3. 2009. Papír obsahující první důkaz o Vitalijská krycí věta.

Reference

• Adams, C. Raymond; Clarkson, James A. (1933), „O definicích omezené variace pro funkce dvou proměnných“, Transakce Americké matematické společnosti, 35 (4): 824–854, doi:10.1090 / S0002-9947-1933-1501718-2, JFM  59.0285.01, PAN  1501718, Zbl  0008.00602.
• Cesari, Lamberto (1936), „Sulle funzioni a variazione limitata (O funkcích omezené variace)“, Annali della Scuola Normale Superiore, II (v italštině), 5 (3–4): 299–313, JFM  62.0247.03, PAN  1556778, Zbl  0014.29605. Dostupné v Numdam.

• Leoni, Giovanni (2017), První kurz v Sobolevových prostorech: Druhé vydání, Postgraduální studium matematiky, Americká matematická společnost, str. Xxii + 734, ISBN  978-1-4704-2921-8.
• Saks, Stanisław (1937), Teorie integrálu, Monografie Matematyczne, 7 (2. vyd.), Warszawa – Lwów: G.E. Stechert & Co., str. VI + 347, JFM  63.0183.05, PAN  1556778, Zbl  0017.30004. (k dispozici na webu Polská virtuální vědecká knihovna ). Anglický překlad z původního francouzského jazyka Laurence Chisholm Young, se dvěma dalšími poznámkami od Stefan Banach.
• Rudin, Walter (1966), Skutečná a komplexní analýza, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (1. vyd.), New York: McGraw-Hill, str. Xi + 412, PAN  0210528, Zbl  0142.01701.

externí odkazy

Jedna proměnná

• "Celková variace „zapnuto PlanetMath.

Jedna a více proměnných

• Funkce omezené variace na Encyclopedia of Mathematics

Teorie měření

• Rowland, Todd. „Celková variace“. MathWorld..
• Jordanův rozklad na PlanetMath..
• Jordanův rozklad na Encyclopedia of Mathematics

Aplikace

• Caselles, Vicent; Chambolle, Antonin; Novaga, Matteo (2007), Sada diskontinuit řešení problému TV denoising a některých rozšíření, SIAM, Multiscale Modeling and Simulation, sv. 6 n. 3, archivovány od originál dne 2011-09-27 (práce zabývající se aplikací úplné variace v problémech s odšumováním pro zpracování obrazu ).

• Rudin, Leonid I .; Osher, Stanley; Fatemi, Emad (1992), „Nelineární algoritmy odstraňování šumu založené na celkové variaci“, Physica D: Nelineární jevy, Physica D: Nonlinear Phenomena 60.1: 259-268, 60 (1–4): 259–268, Bibcode:1992PhyD ... 60..259R, doi:10.1016 / 0167-2789 (92) 90242-F.

• Blomgren, Peter; Chan, Tony F. (1998), „Color TV: total variation methods for restoration of vector-valued images“, Transakce IEEE na zpracování obrazu, Zpracování obrazu, Transakce IEEE zapnuto, sv. 7, č. 3: 304-309, 7 (3): 304, Bibcode:1998 ITIP .... 7..304B, doi:10.1109/83.661180.

• Tony F. Chan a Jackie (Jianhong) Shen (2005), Zpracování a analýza obrazu - variační, PDE, waveletové a stochastické metody, SIAM, ISBN  0-89871-589-X (s hloubkovým pokrytím a rozsáhlými aplikacemi Total Variations v moderním zpracování obrazu, jak začali Rudin, Osher a Fatemi).