Odvozená množina (matematika) - Derived set (mathematics)
V matematice, konkrétněji v bodová topologie, odvozená množina podmnožiny S a topologický prostor je množina všech mezní body z S. To je obvykle označeno S '.
Koncept byl poprvé představen Georg Cantor v roce 1872 a on se vyvinul teorie množin z velké části studovat odvozené soubory na internetu skutečná linie.
Příklady
- Zvážit ℝ s obvyklá topologie. Li A je napůl otevřený interval [0,1], potom odvozená množina A' je uzavřený interval [0,1].
- Zvážit ℝ s topologie (otevřené sady) sestávající z prázdná sada a jakákoli podmnožina ℝ který obsahuje 1. Pokud A = Tedy {1} A' = ℝ - {1}.[1]
Vlastnosti
Li A a B jsou podmnožiny topologického prostoru , potom má odvozená sada následující vlastnosti:[2]
Podmnožina S topologického prostoru je Zavřeno přesně kdy S ' ⊆ S,[1] to je, když S obsahuje všechny své mezní body. Pro jakoukoli podmnožinu S, sada S ∪ S ' je uzavřen a je uzavření z S (= S).[3]
Odvozená sada podmnožiny mezery X nemusí být obecně uzavřeno. Například pokud s triviální topologie, sada má odvozenou množinu , který není uzavřen X. Ale odvozená množina uzavřené množiny je vždy uzavřená. (Důkaz: Za předpokladu S je uzavřená podmnožina X, tj., , vezměte odvozenou množinu na obou stranách a získejte , tj., je uzavřen X.) Kromě toho, pokud X je T1 prostor, odvozená sada každé podskupiny X je uzavřen X.[4][5]
Dvě podmnožiny S a T jsou oddělené přesně když jsou disjunktní a každý je disjunktní z odvozené sady druhé (ačkoli odvozené sady nemusí být disjunktní od sebe navzájem). Tato podmínka je často pomocí uzávěrek psána jako
a je známý jako Podmínky oddělení Hausdorff-Lennes.[6]
A bijekce mezi dvěma topologickými prostory je a homeomorfismus právě tehdy, když je odvozená sada obrazu (ve druhém prostoru) jakékoli podmnožiny prvního prostoru obrazem odvozené sady této podmnožiny.[7]
Prostor je T1 prostor pokud je každá podmnožina skládající se z jediného bodu uzavřena.[8] V1 mezera, odvozená množina množiny skládající se z jediného prvku je prázdná (příklad 2 výše není T1 prostor). Z toho vyplývá, že v T1 mezery, odvozená množina jakékoli konečné množiny je prázdná a navíc,
pro jakoukoli podmnožinu S a jakýkoli bod p prostoru. Jinými slovy, odvozená sada se nezmění přidáním nebo odebráním konečné sady bodů z dané sady.[9] Lze také ukázat, že v T1 prostor, (S ')' ⊆ S ' pro jakoukoli podmnožinu S.[10]
Sada S s S ⊆ S ' je nazýván sám o sobě hustý a může obsahovat č izolované body. Sada S s S = S ' je nazýván perfektní.[11] Ekvivalentně je dokonalá množina uzavřená množina sama o sobě, nebo, jinak řečeno, uzavřená množina bez izolovaných bodů. Dokonalé sady jsou zvláště důležité v aplikacích Věta o kategorii Baire.
The Cantor – Bendixsonova věta uvádí, že jakýkoli Polský prostor lze zapsat jako spojení spočetné množiny a dokonalé množiny. Protože jakýkoli Gδ podmnožinou polského prostoru je opět polský prostor, věta také ukazuje, že jakýkoli Gδ podmnožinou polského prostoru je spojení spočetné množiny a množiny, která je dokonalá vzhledem k indukovaná topologie.
Topologie z hlediska odvozených množin
Vzhledem k tomu, že homeomorfismy lze popsat úplně pomocí odvozených množin, byly odvozené množiny použity jako primitivní pojem v topologie. Sada bodů X může být vybaven pohonem S ↦ S* mapování podmnožin X do podskupin X, tak, že pro jakoukoli sadu S a jakýkoli bod A:
Volání sady S Zavřeno -li S* ⊆ S definuje topologii prostoru, ve kterém S ↦ S* je operátor odvozené množiny, tj. S* = S '.
Cantor – Bendixsonova hodnost
Pro řadové číslovky α, α-th Cantor – Bendixsonův derivát topologického prostoru je definován opakovaným použitím operace odvozené množiny pomocí transfinitní indukce jak následuje:
- pro mezní řadové číslice λ.
Transfinitní sekvence Cantor – Bendixsonových derivátů z X musí být nakonec konstantní. Nejmenší pořadové číslo α takhle Xα+1 = Xα se nazývá Cantor – Bendixsonova hodnost z X.
Viz také
- Přívrženec - Bod, který patří k uzavření některých, dává podmnožinu topologického prostoru.
- Kondenzační bod
- Izolovaný bod
- Mezní bod - Bod X v topologickém prostoru, jehož všechna sousedství obsahují nějaký bod v dané podmnožině, který se liší od X.
Poznámky
- ^ A b Baker 1991, str. 41
- ^ Pervin 1964, str.38
- ^ Baker 1991, str. 42
- ^ Engelking 1989, str. 47
- ^ https://math.stackexchange.com/a/940849/52912
- ^ Pervin 1964, str. 51
- ^ Hocking, John G .; Young, Gail S. (1988) [1961], Topologie, Dover, s.4, ISBN 0-486-65676-4
- ^ Pervin 1964, str. 70
- ^ Kuratowski 1966, str.77
- ^ Kuratowski 1966, str.76
- ^ Pervin 1964, str. 62
Reference
- Baker, Crump W. (1991), Úvod do topologie, Wm C. Brown Publishers, ISBN 0-697-05972-3
- Engelking, Ryszard (1989). Obecná topologie. Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
- Kuratowski, K. (1966), Topologie, 1Akademický tisk, ISBN 0-12-429201-1
- Pervin, William J. (1964), Základy obecné topologie, Academic Press
Další čtení
- Kechris, Alexander S. (1995). Klasická deskriptivní teorie množin (Postgraduální texty z matematiky 156 ed.). Springer. ISBN 978-0-387-94374-9.
- Sierpiński, Wacław F.; přeloženo Krieger, C. Cecilia (1952). Obecná topologie. University of Toronto Lis.