Lagrangeova věta o inverzi - Lagrange inversion theorem - Wikipedia

v matematická analýza, Lagrangeova věta o inverzi, také známý jako Lagrangeova – Bürmannova formule, dává Taylor série rozšíření inverzní funkce z analytická funkce.

Prohlášení

Předpokládat z je definována jako funkce w rovnicí tvaru

${ displaystyle z = f (w)}$

kde F je analytický v určitém okamžiku A a ${ displaystyle f '(a) neq 0.}$ Pak je to možné obráceně nebo řešit rovnice pro w, vyjadřující to ve formě ${ displaystyle w = g (z)}$ dané výkonovou řadou^[1]

${ displaystyle g (z) = a + součet _ {n = 1} ^ { infty} g_ {n} { frac {(z-f (a)) ^ {n}} {n!}},}$

kde

${ displaystyle g_ {n} = lim _ {w to a} { frac {d ^ {n-1}} {dw ^ {n-1}}} left [ left ({ frac {wa } {f (w) -f (a)}} vpravo) ^ {n} vpravo].}$

Věta dále uvádí, že tato řada má nenulový poloměr konvergence, tj. ${ displaystyle g (z)}$ představuje analytickou funkci z v sousedství z ${ displaystyle z = f (a).}$ Tomu se také říká obrácení série.

Pokud jsou tvrzení o analytičnosti vynechána, vzorec platí také pro formální mocenské řady a lze jej zobecnit různými způsoby: Lze jej formulovat pro funkce několika proměnných; lze jej rozšířit a poskytnout připravený vzorec pro F(G(z)) pro jakoukoli analytickou funkci F; a lze to zobecnit na případ ${ displaystyle f '(a) = 0,}$ kde inverzní G je funkce s více hodnotami.

Věta byla prokázána Lagrange^[2] a zobecnit Hans Heinrich Bürmann,^[3][4][5] oba na konci 18. století. Existuje přímá derivace pomocí komplexní analýza a integrace kontury;^[6] složitá formální verze výkonové řady je důsledkem znalosti vzorce pro polynomy, takže teorie analytické funkce mohou být použity. Ve skutečnosti mechanismus z teorie analytických funkcí vstupuje v tomto důkazu pouze formálně, protože to, co je skutečně potřeba, je nějaká vlastnost formální zbytek a přímější formální důkaz je k dispozici.

Li F je formální mocenská řada, pak výše uvedený vzorec nedává koeficienty kompoziční inverzní řady G přímo z hlediska koeficientů řady F. Pokud lze vyjádřit funkce F a G ve formálních výkonových řadách jako

${ displaystyle f (w) = součet _ {k = 0} ^ { infty} f_ {k} { frac {w ^ {k}} {k!}} qquad { text {a}} qquad g (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} g_ {k} { frac {z ^ {k}} {k!}}}$

s F₀ = 0 a F₁ ≠ 0, pak lze dát výslovnou formu inverzních koeficientů v termínu Polynomy zvonu:^[7]

${ displaystyle g_ {n} = { frac {1} {f_ {1} ^ {n}}} součet _ {k = 1} ^ {n-1} (- 1) ^ {k} n ^ { (k)} B_ {n-1, k} ({ hat {f}} _ {1}, { hat {f}} _ {2}, ldots, { hat {f}} _ {nk }), quad n geq 2,}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} { hat {f}} _ {k} & = { frac {f_ {k + 1}} {(k + 1) f_ {1}}}, g_ { 1} & = { frac {1} {f_ {1}}}, { text {and}} n ^ {(k)} & = n (n + 1) cdots (n + k-1 ) end {zarovnáno}}}$

je rostoucí faktoriál.

Když F₁ = 1, poslední vzorec lze interpretovat z hlediska tváří spolupracovník ^[8]

${ displaystyle g_ {n} = součet _ {F { text {face of}} K_ {n}} (- 1) ^ {n- dim F} f_ {F}, quad n geq 2, }$

kde ${ displaystyle f_ {F} = f_ {i_ {1}} cdots f_ {i_ {m}}}$ pro každou tvář ${ displaystyle F = K_ {i_ {1}} krát cdots krát K_ {i_ {m}}}$ sdruženého ${ displaystyle K_ {n}.}$

Příklad

Například algebraická rovnice stupně str

${ displaystyle x ^ {p} -x + z = 0}$

lze vyřešit pro X pomocí Lagrangeova inverzního vzorce pro funkci F(X) = X − X^str, což má za následek formální řešení řady

${ displaystyle x = sum _ {k = 0} ^ { infty} { binom {pk} {k}} { frac {z ^ {(p-1) k + 1}} {(p-1 ) k + 1}}.}$

Konvergenčními testy je tato řada ve skutečnosti konvergentní pro ${ displaystyle | z | leq (p-1) p ^ {- p / (p-1)},}$ což je také největší disk, na který je místní inverzní F lze definovat.

Aplikace

Lagrangeova – Bürmannova formule

Existuje speciální případ Lagrangeovy inverzní věty, který se používá v kombinatorika a platí, když ${ displaystyle f (w) = w / phi (w)}$ pro některé analytické ${ displaystyle phi (w)}$ s ${ displaystyle phi (0) neq 0.}$ Vzít ${ displaystyle a = 0}$ získat ${ displaystyle f (a) = f (0) = 0.}$ Pak pro inverzní ${ displaystyle g (z)}$ (uspokojující ${ displaystyle f (g (z)) ekviv z}$), my máme

${ displaystyle { begin {aligned} g (z) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} left [ lim _ {w to 0} { frac {d ^ {n-1 }} {dw ^ {n-1}}} left ( left ({ frac {w} {w / phi (w)}} right) ^ {n} right) right] { frac {z ^ {n}} {n!}} {} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}} left [{ frac {1} {(n-1)!}} lim _ {w to 0} { frac {d ^ {n-1}} {dw ^ {n-1}}} ( phi (w) ^ {n} ) right] z ^ {n}, end {zarovnáno}}}$

které lze alternativně psát jako

${ displaystyle [z ^ {n}] g (z) = { frac {1} {n}} [w ^ {n-1}] phi (w) ^ {n},}$

kde ${ displaystyle [w ^ {r}]}$ je operátor, který extrahuje koeficient ${ displaystyle w ^ {r}}$ v Taylorově řadě funkce w.

Zobecnění vzorce je známé jako Lagrangeova – Bürmannova formule:

${ displaystyle [z ^ {n}] H (g (z)) = { frac {1} {n}} [w ^ {n-1}] (H '(w) phi (w) ^ { n})}$

kde H je libovolná analytická funkce.

Někdy derivát H′(w) může být docela komplikované. Nahrazuje jednodušší verze vzorce H′(w) s H(w)(1 − φ′(w)/φ(w)) dostat

${ displaystyle [z ^ {n}] H (g (z)) = [w ^ {n}] H (w) phi (w) ^ {n-1} ( phi (w) -w phi '(w)),}$

což zahrnuje φ′(w) namísto H′(w).

Lambert Ž funkce

Lambert Ž funkce je funkce ${ displaystyle W (z)}$ to je implicitně definováno rovnicí

${ displaystyle W (z) e ^ {W (z)} = z.}$

Můžeme použít teorém k výpočtu Taylor série z ${ displaystyle W (z)}$ na ${ displaystyle z = 0.}$ Bereme ${ displaystyle f (w) = my ^ {w}}$ a ${ displaystyle a = b = 0.}$ Uznáváme to

${ displaystyle { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} e ^ { alpha x} = alpha ^ {n} e ^ { alpha x},}$

to dává

${ displaystyle { begin {aligned} W (z) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} left [ lim _ {w to 0} { frac {d ^ {n-1 }} {dw ^ {n-1}}} e ^ {- nw} vpravo] { frac {z ^ {n}} {n!}} {} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- n) ^ {n-1} { frac {z ^ {n}} {n!}} {} & = zz ^ {2} + { frac {3} {2 }} z ^ {3} - { frac {8} {3}} z ^ {4} + O (z ^ {5}). end {zarovnáno}}}$

The poloměr konvergence této série je ${ displaystyle e ^ {- 1}}$ (dávat hlavní větev Lambertovy funkce).

Série, která konverguje k větším z (i když ne pro všechny z) lze také odvodit inverzí řady. Funkce ${ displaystyle f (z) = W (e ^ {z}) - 1}$ splňuje rovnici

${ Displaystyle 1 + f (z) + ln (1 + f (z)) = z.}$

Pak ${ displaystyle z + ln (1 + z)}$ lze rozšířit na výkonovou řadu a invertovat. To dává řadu pro ${ displaystyle f (z + 1) = W (e ^ {z + 1}) - 1 { text {:}}}$

${ displaystyle W (e ^ {1 + z}) = 1 + { frac {z} {2}} + { frac {z ^ {2}} {16}} - { frac {z ^ {3 }} {192}} - { frac {z ^ {4}} {3072}} + { frac {13z ^ {5}} {61440}} - O (z ^ {6}).}$

${ displaystyle W (x)}$ lze vypočítat dosazením ${ displaystyle ln x-1}$ pro z ve výše uvedené sérii. Například střídání −1 pro z dává hodnotu ${ displaystyle W (1) přibližně 0,567143.}$

Binární stromy

Zvažte sadu ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ neznačeného binární stromy. Prvek ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ je buď list o velikosti nula, nebo kořenový uzel se dvěma podstromy. Označit podle ${ displaystyle B_ {n}}$ počet binárních stromů na uzlech.

Odstranění kořene rozdělí binární strom na dva stromy menší velikosti. Tím se získá funkční rovnice generující funkce ${ displaystyle textstyle B (z) = součet _ {n = 0} ^ { infty} B_ {n} z ^ {n} { text {:}}}$

${ displaystyle B (z) = 1 + zB (z) ^ {2}.}$

Pronájem ${ displaystyle C (z) = B (z) -1}$, jeden tak má ${ displaystyle C (z) = z (C (z) +1) ^ {2}.}$ Použití věty s ${ displaystyle phi (w) = (w + 1) ^ {2}}$ výnosy

${ displaystyle B_ {n} = [z ^ {n}] C (z) = { frac {1} {n}} [w ^ {n-1}] (w + 1) ^ {2n} = { frac {1} {n}} { binom {2n} {n-1}} = { frac {1} {n + 1}} { binom {2n} {n}}.}$

To ukazuje ${ displaystyle B_ {n}}$ je nth Katalánské číslo.

Asymptotická aproximace integrálů

V Laplaceově-Erdelyiho větě, která poskytuje asymptotickou aproximaci integrálů Laplaceova typu, je inverze funkce brána jako zásadní krok.

Viz také

• Vzorec Faà di Bruno dává koeficienty složení dvou formálních mocenských řad, pokud jde o koeficienty těchto dvou řad. Ekvivalentně je to vzorec pro nth derivát složené funkce.
• Lagrangeova věta o reverzi pro jinou větu někdy nazývanou věta o inverzi
• Formální mocninová řada # Lagrangeův inverzní vzorec

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Bürmannova věta“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Series Reverse". MathWorld.
• Série Bürmann – Lagrange na Springer EOM