Monotónní věta o konvergenci - Monotone convergence theorem

V matematické oblasti skutečná analýza, monotónní věta o konvergenci je jakákoli z řady souvisejících vět, které dokazují konvergence z monotónní sekvence (sekvence, které jsou neklesající nebo nerostoucí ), které jsou také ohraničený. Věty neformálně uvádějí, že pokud posloupnost roste a je ohraničena výše a supremum, pak sekvence konverguje k supremum; stejným způsobem, pokud sekvence klesá a je omezena níže znakem infimum, bude konvergovat k infimu.

Konvergence monotónní posloupnosti reálných čísel

Lemma 1

Pokud posloupnost reálných čísel roste a je ohraničena výše, pak její supremum je limit.

Důkaz

Nechat ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ být taková sekvence, a nechť ${ displaystyle {a_ {n} }}$ být soubor podmínek ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ . Podle předpokladu ${ displaystyle {a_ {n} }}$ není prázdný a výše ohraničený. Podle vlastnost s nejmenší horní hranicí reálných čísel, ${ textstyle c = sup _ {n} {a_ {n} }}$ existuje a je konečný. Nyní pro všechny ${ displaystyle varepsilon> 0}$ , tady existuje ${ displaystyle N}$ takhle ${ displaystyle a_ {N}> c- varepsilon}$ , protože jinak ${ displaystyle c- varepsilon}$ je horní hranice ${ displaystyle {a_ {n} }}$ , což je v rozporu s definicí ${ displaystyle c}$ . Od té doby ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ roste a ${ displaystyle c}$ je jeho horní mez pro každého ${ displaystyle n> N}$ , my máme ${ displaystyle | c-a_ {n} | leq | c-a_ {N} | < varepsilon}$ . Z definice tedy vyplývá limit ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ je ${ textstyle sup _ {n} {a_ {n} }.}$

Lemma 2

Pokud posloupnost reálných čísel klesá a je ohraničena níže, pak její infimum je limit.

Důkaz

Důkaz je podobný důkazu pro případ, kdy se posloupnost zvyšuje a je ohraničena výše,

Teorém

Li ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ je monotónní sekvence z reálná čísla (tj. pokud A_n ≤ A_n+1 pro každého n ≥ 1 nebo A_n ≥ A_n+1 pro každého n ≥ 1), pak má tato sekvence konečný limit právě tehdy, je-li sekvence ohraničený.^[1]

Důkaz

„If“ - směr: Důkaz vyplývá přímo z lemmat.
„Pouze pokud“ - směr: podle definice limitu, každá sekvence ${ displaystyle (a_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ s konečným limitem ${ displaystyle L}$ je nutně omezený.

Konvergence monotónní řady

Teorém

Pokud pro všechna přirozená čísla j a k, A_j,k je nezáporné reálné číslo a A_j,k ≤ A_j+1,k, pak^[2]^:168

{ displaystyle lim _ {j to infty} sum _ {k} a_ {j, k} = sum _ {k} lim _ {j to infty} a_ {j, k}.}

Věta říká, že pokud máte nekonečnou matici nezáporných reálných čísel, takovou

sloupce se slabě zvětšují a jsou ohraničené a
pro každý řádek, série jehož podmínky jsou dány tímto řádkem, má konvergentní součet,

pak se limit součtu řádků rovná součtu řad, jejichž člen k je dáno limitem sloupce k (což je také jeho supremum ). Série má konvergentní součet právě tehdy, když je (slabě rostoucí) posloupnost součtů řádků omezená, a proto konvergentní.

Jako příklad zvažte nekonečnou řadu řádků

{ displaystyle left (1 + { frac {1} {n}} right) ^ {n} = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} { frac {1} {n ^ {k}}} = sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {1} {k!}} times { frac {n} {n}} times { frac {n-1} {n}} times cdots times { frac {n-k + 1} {n}},}

kde n se blíží k nekonečnu (limit této řady je E ). Zde je položka matice v řádku n a sloupec k je

{ displaystyle { binom {n} {k}} { frac {1} {n ^ {k}}} = { frac {1} {k!}} krát { frac {n} {n} } times { frac {n-1} {n}} times cdots times { frac {n-k + 1} {n}};}

sloupce (opraveno k) se skutečně slabě zvyšují s n a ohraničený (o 1 /k!), zatímco řádky mají pouze konečně mnoho nenulových výrazů, takže podmínka 2 je splněna; věta nyní říká, že můžete vypočítat limit součtu řádků ${ displaystyle (1 + 1 / n) ^ {n}}$ odečtením součtu limitů sloupců, a to ${ displaystyle { frac {1} {k!}}}$ .

Beppo Leviho monotónní věta konvergence pro Lebesgueův integrál

Následující výsledek je způsoben Beppo Levi a Henri Lebesgue. V tom, co následuje, ${ displaystyle operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}}}$ označuje ${ displaystyle sigma}$ -algebra Borel se zapíná ${ displaystyle [0, + infty]}$ . Podle definice, ${ displaystyle operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}}}$ obsahuje sadu ${ displaystyle {+ infty }}$ a všechny podmnožiny Borel z ${ displaystyle mathbb {R} _ { geq 0}.}$

Teorém

Nechat ${ displaystyle ( Omega, Sigma, mu)}$ být změřte prostor, a ${ displaystyle X in Sigma}$ . Zvažte bodově neklesající sekvenci ${ displaystyle {f_ {k} } _ {k = 1} ^ { infty}}$ z ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelný nezáporné funkce ${ displaystyle f_ {k}: X až [0, + infty]}$ , tj. pro každého ${ displaystyle {k geq 1}}$ a každý ${ displaystyle {x v X}}$ ,

{ displaystyle 0 leq f_ {k} (x) leq f_ {k + 1} (x) leq infty.}

Nastavte bodový limit posloupnosti ${ displaystyle {f_ {n} }}$ být ${ displaystyle f}$ . To znamená pro každého ${ displaystyle x v X}$ ,

{ displaystyle f (x): = lim _ {k až infty} f_ {k} (x).}

Pak ${ displaystyle f}$ je ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelné a

{ displaystyle lim _ {k to infty} int _ {X} f_ {k} , d mu = int _ {X} f , d mu.}

Poznámka 1. Integrály mohou být konečné nebo nekonečné.

Poznámka 2. Věta zůstává pravdivá, pokud platí její předpoklady ${ displaystyle mu}$ - téměř všude. Jinými slovy stačí, že existuje nulová sada ${ displaystyle N}$ taková, že sekvence ${ displaystyle {f_ {n} (x) }}$ neklesá pro každého ${ displaystyle {x v X setminus N}.}$ Abychom pochopili, proč je to pravda, začneme pozorováním, které umožňuje posloupnost ${ displaystyle {f_ {n} }}$ bodové neklesání téměř všude způsobuje jeho bodový limit ${ displaystyle f}$ být nedefinováno na nějaké nulové sadě ${ displaystyle N}$ . Na této nulové sadě ${ displaystyle f}$ mohou být poté definovány libovolně, např. jako nula nebo jakýmkoli jiným způsobem, který zachovává měřitelnost. Chcete-li zjistit, proč to neovlivní výsledek věty, uvědomte si, že od té doby ${ displaystyle { mu (N) = 0},}$ máme pro každého ${ displaystyle k,}$

{ displaystyle int _ {X} f_ {k} , d mu = int _ {X setminus N} f_ {k} , d mu}

a

{ displaystyle int _ {X} f , d mu = int _ {X setminus N} f , d mu,}

pokud ${ displaystyle f}$ je ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelný.^[3]^{(oddíl 21.38)} (Tyto rovnosti vyplývají přímo z definice Lebesgueova integrálu pro nezápornou funkci).

Poznámka 3. Podle předpokladů věty,

${ displaystyle textstyle f (x) = liminf _ {k} f_ {k} (x) = limsup _ {k} f_ {k} (x) = sup _ {k} f_ {k} (x )}$
${ displaystyle textstyle liminf _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu = textstyle limsup _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu = lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu = sup _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu}$

(Všimněte si, že druhý řetězec rovností vyplývá z poznámky 5).

Poznámka 4. Důkaz níže nepoužívá žádné vlastnosti Lebesgueova integrálu kromě těch, které jsou zde uvedeny. Věta tedy může být použita k prokázání dalších základních vlastností, jako je linearita, vztahujících se k Lebesgueově integraci.

Poznámka 5 (monotónnost Lebesgueova integrálu). V důkazu níže použijeme monotónní vlastnost Lebesgueova integrálu pouze na nezáporné funkce. Konkrétně (viz Poznámka 4), nechte funkce ${ displaystyle f, g: X až [0, + infty]}$ být ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelný.

Li ${ displaystyle f leq g}$ všude ${ displaystyle X,}$ pak

{ displaystyle int _ {X} f , d mu leq int _ {X} g , d mu.}

Li ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2} in Sigma}$ a ${ displaystyle X_ {1} subseteq X_ {2},}$ pak

{ displaystyle int _ {X_ {1}} f , d mu leq int _ {X_ {2}} f , d mu.}

Důkaz. Označit ${ displaystyle operatorname {SF} (h)}$ sada jednoduchých ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelné funkce ${ displaystyle s: X až [0, infty)}$ takhle ${ displaystyle 0 leq s leq h}$ všude ${ displaystyle X.}$

1. Od té doby ${ displaystyle f leq g,}$ my máme

{ displaystyle operatorname {SF} (f) subseteq operatorname {SF} (g).}

Podle definice Lebesgueova integrálu a vlastností supremum,

{ displaystyle int _ {X} f , d mu = sup _ {s in { rm {SF}} (f)} int _ {X} s , d mu leq sup _ {s in { rm {SF}} (g)} int _ {X} s , d mu = int _ {X} g , d mu.}

2. Nechat ${ displaystyle { mathbf {1}} _ {X_ {1}}}$ být indikátorovou funkcí sady ${ displaystyle X_ {1}.}$ Z definice Lebesgueova integrálu lze odvodit, že

{ displaystyle int _ {X_ {2}} f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}} , d mu = int _ {X_ {1}} f , d mu }

pokud si toho všimneme, pro každého ${ displaystyle s in { rm {SF}} (f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}}),}$ ${ displaystyle s = 0}$ mimo ${ displaystyle X_ {1}.}$ V kombinaci s předchozí vlastností nerovnost ${ displaystyle f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}} leq f}$ naznačuje

{ displaystyle int _ {X_ {1}} f , d mu = int _ {X_ {2}} f cdot { mathbf {1}} _ {X_ {1}} , d mu leq int _ {X_ {2}} f , d mu.}

Důkaz

Tento důkaz ano ne spolehnout se na Fatouovo lemma. Vysvětlíme však, jak lze toto lemma použít.

Pro ty, kteří nemají zájem o nezávislý důkaz, mohou být přechodné výsledky níže přeskočeny.

Průběžné výsledky

Lebesgueův integrál jako míra

Lemma 1. Nechat ${ displaystyle ( Omega, Sigma, mu)}$ být měřitelným prostorem. Zvažte jednoduchý ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelná nezáporná funkce ${ displaystyle s: Omega až { mathbb {R} _ { geq 0}}}$ . Pro podmnožinu ${ displaystyle S subseteq Omega}$ , definovat

{ displaystyle nu (S) = int _ {S} s , d mu.}

Pak ${ displaystyle nu}$ je opatření na ${ displaystyle Omega}$ .

Důkaz

Monotónnost vyplývá z poznámky 5. Zde dokážeme pouze spočetnou aditivitu, zbytek necháme na čtenáři. Nechat ${ displaystyle S = bigcup _ {i = 1} ^ { infty} S_ {i}}$ , kde jsou všechny sady ${ displaystyle S_ {i}}$ jsou párově disjunktní. Kvůli jednoduchosti

{ displaystyle s = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot { mathbf {1}} _ {A_ {i}},}

pro některé konečné nezáporné konstanty ${ displaystyle c_ {i} in { mathbb {R}} _ { geq 0}}$ a párové disjunktní sady ${ displaystyle A_ {i} in Sigma}$ takhle ${ displaystyle bigcup _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = Omega}$ . Podle definice Lebesgueova integrálu,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} nu (S) & = součet _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu (S cap A_ {i}) & = součet _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu left ( left ( bigcup _ {j = 1} ^ { infty} S_ {j} right) cap A_ {i } right) & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu left ( bigcup _ {j = 1} ^ { infty} (S_ {j} cap A_ {i}) right) end {aligned}}}

Protože všechny sady ${ displaystyle S_ {j} čepice A_ {i}}$ jsou párově disjunktní, spočetná aditivita ${ displaystyle mu}$ nám dává

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu left ( bigcup _ {j = 1} ^ { infty} (S_ {j} cap A_ {i} ) right) = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot sum _ {j = 1} ^ { infty} mu (S_ {j} cap A_ {i}) .}

Vzhledem k tomu, že všechny součty nejsou záporné, součet řady, ať už je tento součet konečný nebo nekonečný, se nemůže změnit, pokud ano pořadí součtů. Kvůli tomu důvodu,

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot sum _ {j = 1} ^ { infty} mu (S_ {j} cap A_ {i}) & = sum _ {j = 1} ^ { infty} sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} cdot mu (S_ {j} cap A_ {i} ) & = sum _ {j = 1} ^ { infty} int _ {S_ {j}} s , d mu & = sum _ {j = 1} ^ { infty} nu (S_ {j}), end {zarovnáno}}}

podle potřeby.

„Spojitost zespodu“

Následující vlastnost je přímým důsledkem definice míry.

Lemma 2. Nechat ${ displaystyle mu}$ být měřítkem a ${ displaystyle S = bigcup _ {i = 1} ^ { infty} S_ {i}}$ , kde

{ displaystyle S_ {1} subseteq cdots subseteq S_ {i} subseteq S_ {i + 1} subseteq cdots subseteq S}

je neklesající řetěz se všemi jeho sadami ${ displaystyle mu}$ -měřitelný. Pak

{ displaystyle mu (S) = lim _ {i} mu (S_ {i}).}

Důkaz věty

Krok 1. Začneme tím, že to ukážeme ${ displaystyle f}$ je ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelný.^[3]^{(oddíl 21.3)}

Poznámka. Pokud bychom použili Fatouovo lemma, měřitelnost by snadno vyplynula z poznámky 3 (a).

Udělat toto bez pomocí Fatouova lematu stačí ukázat inverzní obraz intervalu ${ displaystyle [0, t]}$ pod ${ displaystyle f}$ je prvkem sigma-algebra ${ displaystyle Sigma}$ na ${ displaystyle X}$ , protože (uzavřené) intervaly generují Borel sigma algebra ve skutečnosti. Od té doby ${ displaystyle [0, t]}$ je uzavřený interval a pro každý ${ displaystyle k}$ , ${ displaystyle 0 leq f_ {k} (x) leq f (x)}$ ,

{ displaystyle 0 leq f (x) leq t quad Leftrightarrow quad { Bigl [} forall k quad 0 leq f_ {k} (x) leq t { Bigr]}.}

Tím pádem,

{ displaystyle {x v X mid 0 leq f (x) leq t } = bigcap _ {k} {x v X mid 0 leq f_ {k} (x) leq t }.}

Být inverzním obrazem a Sada Borel pod ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelná funkce ${ displaystyle f_ {k}}$ , každá množina v spočetné křižovatce je prvkem ${ displaystyle Sigma}$ . Od té doby ${ displaystyle sigma}$ -algebry jsou podle definice uzavřeny pod spočetnými křižovatkami, což ukazuje, že ${ displaystyle f}$ je ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelné a integrální ${ displaystyle textstyle int _ {X} f , d mu}$ je dobře definovaný (a možná nekonečný).

Krok 2. Nejprve to ukážeme ${ displaystyle textstyle int _ {X} f , d mu geq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$

Definice ${ displaystyle f}$ a monotónnost ${ displaystyle {f_ {k} }}$ naznačují to ${ displaystyle f (x) geq f_ {k} (x)}$ , pro každého ${ displaystyle k}$ a každý ${ displaystyle x v X}$ . Monotonicitou (nebo přesněji její užší verzí stanovenou v poznámce 5; viz také poznámka 4) Lebesgueova integrálu,

{ displaystyle int _ {X} f , d mu geq int _ {X} f_ {k} , d mu,}

a

{ displaystyle int _ {X} f , d mu geq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}

Všimněte si, že limit vpravo existuje (konečný nebo nekonečný), protože kvůli monotónnosti (viz Poznámka 5 a Poznámka 4) se posloupnost neklesá.

Konec kroku 2.

Nyní dokazujeme obrácenou nerovnost. Snažíme se to ukázat

{ displaystyle int _ {X} f , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu}

.

Důkaz pomocí Fatouova lematu. Podle poznámky 3 je nerovnost, kterou chceme dokázat, ekvivalentní

{ displaystyle int _ {X} liminf _ {k} f_ {k} (x) , d mu leq liminf _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu .}

Ten ale bezprostředně vyplývá z Fatouova lemmatu a důkaz je kompletní.

Nezávislý důkaz. Dokázat nerovnost bez pomocí Fatouova lematu potřebujeme nějaké další vybavení. Označit ${ displaystyle operatorname {SF} (f)}$ sada jednoduchých ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelné funkce ${ displaystyle s: X až [0, infty)}$ takhle ${ displaystyle 0 leq s leq f}$ na ${ displaystyle X}$ .

Krok 3. Vzhledem k jednoduché funkci ${ displaystyle s in operatorname {SF} (f)}$ a skutečné číslo ${ displaystyle t v (0,1)}$ , definovat

{ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = {x v X mid t cdot s (x) leq f_ {k} (x) } subseteq X.}

Pak ${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} in Sigma}$ , ${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} subseteq B_ {k + 1} ^ {s, t}}$ , a ${ displaystyle textstyle X = bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$ .

Krok 3a. Abychom dokázali první tvrzení, dovolte ${ displaystyle textstyle s = součet _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} cdot { mathbf {1}} _ {A_ {i}}}$ , pro nějakou konečnou sbírku párových disjunktních měřitelných množin ${ displaystyle A_ {i} in Sigma}$ takhle ${ displaystyle textstyle X = pohár _ {i = 1} ^ {m} A_ {i}}$ , některé (konečné) nezáporné konstanty ${ displaystyle c_ {i} in { mathbb {R}} _ { geq 0}}$ , a ${ displaystyle { mathbf {1}} _ {A_ {i}}}$ označující indikátorovou funkci sady ${ displaystyle A_ {i}}$ .

Pro každého ${ displaystyle x v A_ {i},}$ ${ displaystyle t cdot s (x) leq f_ {k} (x)}$ platí právě tehdy ${ displaystyle f_ {k} (x) in [t cdot c_ {i}, + infty].}$ Vzhledem k tomu, že sady ${ displaystyle A_ {i}}$ jsou párově disjunktní,

{ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = bigcup _ {i = 1} ^ {m} { Bigl (} f_ {k} ^ {- 1} { Bigl (} [t cdot c_ {i}, + infty] { Bigr)} cap A_ {i} { Bigr)}.}

Od předobrazu ${ displaystyle f_ {k} ^ {- 1} { Bigl (} [t cdot c_ {i}, + infty] { Bigr)}}$ sady Borel ${ displaystyle [t cdot c_ {i}, + infty]}$ pod měřitelnou funkcí ${ displaystyle f_ {k}}$ je měřitelný a ${ displaystyle sigma}$ -algebry jsou podle definice uzavřeny pod konečným průnikem a odbory, následuje první tvrzení.

Krok 3b. K prokázání druhého tvrzení si povšimněte, že u každého ${ displaystyle k}$ a každý ${ displaystyle x v X}$ , ${ displaystyle f_ {k} (x) leq f_ {k + 1} (x).}$

Krok 3c. Abychom dokázali třetí tvrzení, ukážeme to ${ displaystyle textstyle X subseteq bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$ .

Ve skutečnosti, pokud naopak ${ displaystyle textstyle X ne subseteq bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$ , pak prvek

{ displaystyle textstyle x_ {0} v X setminus bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t} = bigcap _ {k} (X setminus B_ {k} ^ {s, t })}

existuje takový, že ${ displaystyle f_ {k} (x_ {0})$ , pro každého ${ displaystyle k}$ . Vezmeme-li limit jako ${ displaystyle k to infty}$ , dostaneme

{ displaystyle f (x_ {0}) leq t cdot s (x_ {0})

~~Ale podle počátečního předpokladu ${ displaystyle s leq f}$ . To je rozpor.~~

Krok 4. Pro každou jednoduchou ${ displaystyle ( Sigma, operatorname { mathcal {B}} _ { mathbb {R} _ { geq 0}})}$ -měřitelná nezáporná funkce ${ displaystyle s_ {2}}$ ,

~~${ displaystyle lim _ {n} int _ {B_ {n} ^ {s, t}} s_ {2} , d mu = int _ {X} s_ {2} , d mu. }$~~

Chcete-li to dokázat, definujte ${ displaystyle textstyle nu (S) = int _ {S} s_ {2} , d mu}$ . Podle Lemma 1, ${ displaystyle nu (S)}$ je opatření na ${ displaystyle Omega}$ . „Kontinuitou zdola“ (lemma 2),

~~${ displaystyle lim _ {n} int _ {B_ {n} ^ {s, t}} s_ {2} , d mu = lim _ {n} nu (B_ {n} ^ {s , t}) = nu (X) = int _ {X} s_ {2} , d mu,}$~~

~~podle potřeby.~~

Krok 5. To nyní dokazujeme pro každého ${ displaystyle s in operatorname {SF} (f)}$ ,

~~${ displaystyle int _ {X} s , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$~~

~~Ve skutečnosti, s použitím definice ${ displaystyle B_ {k} ^ {s, t}}$ , nezápornost ${ displaystyle f_ {k}}$ a monotónnost Lebesgueova integrálu (viz poznámka 5 a poznámka 4), máme~~

~~${ displaystyle int _ {B_ {k} ^ {s, t}} t cdot s , d mu leq int _ {B_ {k} ^ {s, t}} f_ {k} , d mu leq int _ {X} f_ {k} , d mu,}$~~

~~pro každého ${ displaystyle k geq 1}$ . V souladu s krokem 4, as ${ displaystyle k to infty}$ , nerovnost se stává~~

~~${ displaystyle t int _ {X} s , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$~~

~~Vezmeme-li limit jako ${ displaystyle t uparrow 1}$ výnosy~~

~~${ displaystyle int _ {X} s , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu,}$~~

~~podle potřeby.~~

Krok 6. Nyní jsme schopni dokázat obrácenou nerovnost, tj.

~~${ displaystyle int _ {X} f , d mu leq lim _ {k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$~~

Ve skutečnosti tím, že není negativita, ${ displaystyle f _ {+} = f}$ a ${ displaystyle f _ {-} = 0.}$ Pro výpočet níže je nezápornost ${ displaystyle f}$ je zásadní. Použitím definice Lebesgueova integrálu a nerovnosti stanovené v kroku 5 máme

~~${ displaystyle int _ {X} f , d mu = sup _ {s in operatorname {SF} (f)} int _ {X} s , d mu leq lim _ { k} int _ {X} f_ {k} , d mu.}$~~

~~Důkaz je kompletní.~~

Viz také

~~Nekonečná série~~
~~Věta o dominantní konvergenci~~

Poznámky

^ Zobecnění této věty bylo dáno Bibby, John (1974). „Axiomatisace průměru a další zobecnění monotónních sekvencí“. Glasgow Mathematical Journal. 15 (1): 63–65. doi:10.1017 / S0017089500002135.
~~^ Viz například Yeh, J. (2006). Skutečná analýza: Teorie míry a integrace. Hackensack, NJ: World Scientific. ISBN 981-256-653-8.~~
~~^ ^A ^b Viz například Schechter, Erik (1997). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-622760-8.~~

[1] Zobecnění této věty bylo dáno Bibby, John (1974). „Axiomatisace průměru a další zobecnění monotónních sekvencí“. Glasgow Mathematical Journal. 15 (1): 63–65. doi:10.1017 / S0017089500002135.

[2] ~~^ Viz například Yeh, J. (2006). Skutečná analýza: Teorie míry a integrace. Hackensack, NJ: World Scientific. ISBN 981-256-653-8.~~

[SCHECHTER1997-3] ~~^ ^A ^b Viz například Schechter, Erik (1997). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-622760-8.~~

[1]

[2]

[3]