Borelův součet - Borel summation - Wikipedia

Borel, pak neznámý mladý muž, zjistil, že jeho metoda sčítání dala „správnou“ odpověď pro mnoho klasických divergentních sérií. Rozhodl se podniknout pouť do Stockholmu Mittag-Leffler, který byl uznávaným pánem komplexní analýzy. Mittag-Leffler zdvořile poslouchal, co Borel řekl, a pak položil ruku na kompletní díla Weierstrass, jeho učitel, řekl latinsky: „Pán to zakazuje“.

Mark Kac, citováno uživatelem Reed & Simon (1978, str. 38)

V matematice Borelův součet je metoda sčítání pro divergentní série, představil Émile Borel (1899 ). To je zvláště užitečné pro sčítání odlišná asymptotická řada, a v jistém smyslu dává nejlepší možnou částku pro takové série. Existuje několik variant této metody, které se také nazývají Borelův součet, a nazývá se jejich zobecnění Součet Mittag-Leffler.

Definice

Existují (alespoň) tři mírně odlišné metody zvané Borelův součet. Liší se v tom, které řady mohou sečíst, ale jsou konzistentní, což znamená, že pokud dvě metody sčítají stejnou řadu, dávají stejnou odpověď.

Po celou dobu let A(z) označují formální mocenskou řadu

{ displaystyle A (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z ^ {k},}

a definovat Borelovu transformaci A být jeho ekvivalentní exponenciální řadou

{ displaystyle { mathcal {B}} A (t) equiv sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {a_ {k}} {k!}} t ^ {k}.}

Borelova metoda exponenciálního sčítání

Nechat A_n(z) označují částečný součet

{ displaystyle A_ {n} (z) = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} z ^ {k}.}

Slabá forma Borelovy metody sumarizace definuje Borelův součet A být

{ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} e ^ {- t} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n!}} A_ {n } (z).}

Pokud to konverguje v z ∈ C některým A(z), říkáme, že slabý Borelův součet A konverguje v z, a piš ${ displaystyle { textstyle sum} a_ {k} z ^ {k} = a (z) , ({ boldsymbol {wB}})}$ .

Borelova integrální metoda součtu

Předpokládejme, že Borelova transformace konverguje pro všechna kladná reálná čísla na funkci rostoucí dostatečně pomalu, aby byl dobře definován následující integrál (jako nesprávný integrál), Borelův součet z A darováno

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} { mathcal {B}} A (tz) , dt.}

Pokud integrál konverguje v z ∈ C některým A(z), říkáme, že Borelův součet A konverguje v z, a piš ${ displaystyle { textstyle sum} a_ {k} z ^ {k} = a (z) , ({ boldsymbol {B}})}$ .

Borelova integrální metoda součtu s analytickým pokračováním

To je podobné metodě Borelovy integrální sumace, až na to, že Borelova transformace nemusí konvergovat pro všechny t, ale konverguje k analytická funkce z t blízko 0, které mohou být analyticky pokračovalo podél pozitivní skutečná osa.

Základní vlastnosti

Pravidelnost

Metody (B) a (wB) jsou oba pravidelný metody sčítání, což znamená, že kdykoli A(z) konverguje (ve standardním smyslu), pak se také konverguje Borelův součet a slabý Borelův součet, a to na stejnou hodnotu. tj.

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z ^ {k} = A (z) < infty quad Rightarrow quad { textstyle sum} a_ {k} z ^ {k} = A (z) , , ({ boldsymbol {B}}, , { boldsymbol {wB}}).}

Pravidelnost (B) je snadno viditelný změnou v pořadí integrace, která je platná z důvodu absolutní konvergence: pokud A(z) je konvergentní v z, pak

{ displaystyle A (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z ^ {k} = součet _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} vlevo ( int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} t ^ {k} dt right) { frac {z ^ {k}} {k!}} = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} { frac {(tz) ^ {k}} {k!}} dt,}

kde výraz zcela vpravo je přesně Borelův součet z.

Pravidelnost (B) a (wB) naznačují, že tyto metody poskytují analytická rozšíření A(z).

Žádná rovnocennost Borela a slabý Borelův součet

Libovolná série A(z), což je slabý Borel, který lze shrnout na z ∈ C je také Borel shrnutelný na z. Lze však konstruovat příklady ze sérií, které se liší při slabém Borelův součtu, ale které jsou Borel sečtitelné. Následující věta charakterizuje ekvivalenci obou metod.

Teorém ((Hardy 1992, 8.5)).

Nechat A(z) být formální mocenskou řadou a opravit z ∈ C, pak:

Li ${ displaystyle { textstyle sum} a_ {k} z ^ {k} = a (z) , ({ boldsymbol {wB}})}$ , pak ${ displaystyle { textstyle sum} a_ {k} z ^ {k} = a (z) , ({ boldsymbol {B}})}$ .
Li ${ displaystyle { textstyle sum} a_ {k} z ^ {k} = a (z) , ({ boldsymbol {B}})}$ , a ${ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} e ^ {- t} { mathcal {B}} A (zt) = 0,}$ pak ${ displaystyle { textstyle sum} a_ {k} z ^ {k} = a (z) , ({ boldsymbol {wB}})}$ .

Vztah k jiným metodám sčítání

(B) je zvláštní případ Součet Mittag-Leffler s α = 1.
(wB) lze považovat za omezující případ zobecněného Eulerova metoda sčítání (E,q) v tom smyslu, že jako q → ∞ doména konvergence (E,q) metoda konverguje až do oblasti konvergence pro (B).^[1]

Věty o jedinečnosti

S jakoukoli asymptotickou expanzí vždy existuje mnoho různých funkcí. Někdy však existuje nejlepší možná funkce v tom smyslu, že chyby v konečných dimenzionálních aproximacích jsou v některých oblastech co nejmenší. Watsonova věta a Carlemanova věta ukazují, že Borelův součet vytváří tak nejlepší možný součet série.

Watsonova věta

Watsonova věta dává podmínky pro to, aby funkce byla Borelův součet její asymptotické řady. Předpokládejme to F je funkce splňující následující podmínky:

F je v některých oblastech holomorfní |z| < R, | arg (z)| < $π$ /2 + ε pro některé pozitivní R aε.
V tomto regionu F má asymptotickou sérii A₀ + A₁z + ... s vlastností, že chyba

{ displaystyle | f (z) -a_ {0} -a_ {1} z- cdots -a_ {n-1} z ^ {n-1} |}

je ohraničen

{ displaystyle C ^ {n + 1} n! | z | ^ {n}}

pro všechny z v regionu (pro nějakou pozitivní konstantu C).

Pak to v této oblasti říká Watsonova věta F je dána Borelovým součtem jeho asymptotické řady. Přesněji řečeno, řada pro Borelovu transformaci konverguje v sousedství počátku a lze ji analyticky pokračovat k pozitivní reálné ose a integrál definující Borelův součet konverguje k F(z) pro z v regionu výše.

Mírně obecněji F je stále určována jeho asymptotickou řadou, pokud n! ve výše uvedeném odhadu chyby je nahrazeno kn! za předpokladu, že podmínka | arg (z)| < $π$ /2 + ε je nahrazen | arg (z)| < k $π$ /2 + ε. To je v jistém smyslu nejlepší možné, protože pokud existuje počet, existují protiklady k $π$ / 2 je nahrazeno jakýmkoli menším číslem.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Carlemanova věta

Carlemanova věta ukazuje, že funkce je jednoznačně určena asymptotickou řadou v sektoru za předpokladu, že chyby v aproximacích konečného řádu nerostou příliš rychle. Přesněji uvádí, že pokud F je analytický uvnitř odvětví |z| < C, Re (z)> 0 a |F(z)| < |b_nz|ⁿ v tomto regionu pro všechny n, pak F je nula za předpokladu, že řada 1 /b₀ + 1/b₁ + ... se liší.

Carlemanova věta poskytuje metodu sčítání pro jakoukoli asymptotickou řadu, jejíž výrazy nerostou příliš rychle, protože součet lze definovat jako jedinečnou funkci s touto asymptotickou řadou ve vhodném sektoru, pokud existuje. Borelův součet je o něco slabší než speciální případ tohoto případu b_n =cn pro nějakou konstantu C. Obecněji lze definovat metody součtu o něco silnější než metody Borel, když vezmeme čísla b_n být například o něco větší b_n = cnlogn nebo b_n =cnlog n log logn. V praxi je toto zobecnění málo užitečné, protože neexistují téměř žádné přirozené příklady řad, které by se daly sčítat touto metodou a které by také nemohly být shrnuty Borelovou metodou.

Příklad

Funkce F(z) = exp (–1 /z) má asymptotickou řadu 0 + 0z+ ... s chybou vázanou na výše uvedený formulář v oblasti | arg (z)| < θ pro všechny θ < $π$ / 2, ale není dán součtem Borel jeho asymptotické řady. To ukazuje, že číslo $π$ / 2 ve Watsonově větě nelze nahradit žádným menším číslem (pokud není omezena vazba na chybu).

Příklady

Geometrická řada

Zvažte geometrické řady

{ displaystyle A (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} z ^ {k},}

který konverguje (ve standardním smyslu) na 1 / (1 -z) pro |z| <1. Borelova transformace je

{ displaystyle { mathcal {B}} A (tz) equiv sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {k!}} t ^ {k} = e ^ {zt},}

ze kterého získáme Borelův součet

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} { mathcal {B}} A (tz) , dt = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} e ^ {tz} , dt = { frac {1} {1-z}}}

který konverguje ve větší oblasti Re (z) <1, dává analytické pokračování původní série.

Vezmeme-li v úvahu slabou Borelovu transformaci, dílčí součty jsou dány vztahem A_N(z) = (1 - z^N+1)/(1 − z), a tedy slabá Borelova suma je

{ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} e ^ {- t} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1-z ^ {n + 1}} {1-z }} { frac {t ^ {n}} {n!}} = lim _ {t rightarrow infty} { frac {e ^ {- t}} {1-z}} { big (} e ^ {t} -ze ^ {tz} { big)} = { frac {1} {1-z}},}

kde je opět konvergence na Re (z) <1. Alternativně to lze vidět odvoláním na část 2 věty o ekvivalenci, protože pro Re (z) < 1

{ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} e ^ {- t} ({ mathcal {B}} A) (zt) = e ^ {t (z-1)} = 0.}

Střídavá faktoriální řada

Zvažte sérii

{ displaystyle A (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} k! (- 1 cdot z) ^ {k},}

pak A(z) nekonverguje pro nenulovou hodnotu z ∈ C. Borelova transformace je

{ displaystyle { mathcal {B}} A (t) equiv sum _ {k = 0} ^ { infty} left (-1 cdot t right) ^ {k} = { frac {1 } {1 + t}}}

pro |t| <1, což může analyticky pokračovat pro všechnyt ≥ 0. Takže Borelův součet je

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t} { mathcal {B}} A (tz) , dt = int _ {0} ^ { infty} { frac { e ^ {- t}} {1 + tz}} , dt = { frac {1} {z}} cdot e ^ {1 / z} cdot Gamma left (0, { frac {1 } {z}} vpravo)}

(kde Γ je neúplná funkce gama ).

Tento integrál konverguje pro všechny z ≥ 0, takže původní divergentní řada je Borel sečtitelná pro všechny takovéz. Tato funkce má asymptotická expanze tak jako z má tendenci k 0, která je dána původní divergentní řadou. Toto je typický příklad skutečnosti, že Borelův součet někdy „správně“ sčítá divergentní asymptotické expanze.

Opět od té doby

{ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} e ^ {- t} ({ mathcal {B}} A) (zt) = lim _ {t rightarrow infty} { frac {e ^ { -t}} {1 + zt}} = 0,}

pro všechny z, věta o ekvivalenci zajišťuje, že slabý Borelův součet má stejnou doménu konvergence, z ≥ 0.

Příklad, ve kterém selže rovnocennost

Následující příklad se vztahuje k tomu uvedenému v (Hardy 1992, 8,5). Zvážit

{ displaystyle A (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} left ( sum _ { ell = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { ell } (2 ell +2) ^ {k}} {(2 ell +1)!}} Vpravo) z ^ {k}.}

Po změně pořadí součtu je Borelova transformace dána vztahem

{ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {B}} A (t) & = sum _ { ell = 0} ^ { infty} left ( sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {{ big (} (2 ell +2) t { big)} ^ {k}} {k!}} right) { frac {(-1) ^ { ell} } {(2 ell +1)!}} & = sum _ { ell = 0} ^ { infty} e ^ {(2 ell +2) t} { frac {(-1) ^ { ell}} {(2 ell +1)!}} & = e ^ {t} sum _ { ell = 0} ^ { infty} { big (} e ^ {t} { big)} ^ {2 ell +1} { frac {(-1) ^ { ell}} {(2 ell +1)!}} & = e ^ {t} sin ( e ^ {t}). end {zarovnáno}}}

Na z = 2 je Borelův součet dán

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {t} sin (e ^ {2t}) , dt = int _ {1} ^ { infty} sin (u ^ {2 }) , du = { sqrt { frac { pi} {8}}} - S (1) < infty,}

kde S(X) je Fresnelovy integrály. Přes věta o konvergenci podél akordů Borelův integrál konverguje pro všechny z ≤ 2 (jasně integrál se rozchází pro z > 2).

U slabé Borelovy částky to zaznamenáváme

{ displaystyle lim _ {t rightarrow infty} e ^ {(z-1) t} sin (e ^ {zt}) = 0}

platí pouze pro z <1, a tak slabá Borelova suma konverguje v této menší doméně.

Výsledky existence a doména konvergence

Summable na akordy

Pokud formální série A(z) je Borel shrnutelný na z₀ ∈ C, pak je také Borel sumabilní ve všech bodech akordu Oz₀ spojovací z₀ k původu. Kromě toho existuje funkce A(z) analytické v celém disku s poloměrem Oz₀ takhle

{ displaystyle { textstyle sum} a_ {k} z ^ {k} = a (z) , ({ boldsymbol {B}}),}

pro všechny z = θz₀, θ ∈ [0,1].

Okamžitým důsledkem je, že doménou konvergence Borelova součtu je a hvězdičková doména v C. O doméně konvergence Borelova součtu lze říci více, než to, že se jedná o hvězdnou doménu, která se označuje jako Borelův polygon, a je určena singularitami řady A(z).

Borelův mnohoúhelník

Předpokládejme to A(z) má striktně pozitivní poloměr konvergence, takže je analytický v netriviální oblasti obsahující počátek a S_A označit množinu singularit A. Tohle znamená tamto P ∈ S_A kdyby a jen kdyby A lze pokračovat analyticky podél otevřeného akordu od 0 do P, ale ne P sám. Pro P ∈ S_A, nechť L_P označte linku procházející P který je kolmý k akordu OP. Definujte sady

{ displaystyle Pi _ {P} = {z v mathbb {C} , colon , Oz cap L_ {P} = varnothing },}

množina bodů, které leží na stejné straně L_P jako původ. Borelův mnohoúhelník A je sada

{ displaystyle Pi _ {A} = operatorname {cl} left ( bigcap _ {P in S_ {A}} Pi _ {P} right).}

Alternativní definici použili Borel a Phragmén (Sansone & Gerretsen 1960 8,3). Nechat ${ displaystyle S podmnožina mathbb {C}}$ označuje největší hvězdnou doménu, na které je analytické rozšíření A, pak ${ displaystyle Pi _ {A}}$ je největší podmnožinou ${ displaystyle S}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle P in Pi _ {A}}$ vnitřek kruhu s průměrem OP je obsažen v ${ displaystyle S}$ . S odvoláním na sadu ${ displaystyle Pi _ {A}}$ protože polygon je poněkud nesprávné pojmenování, protože množina nemusí být vůbec polygonální; pokud však A(z) má tehdy jen konečně mnoho singularit ${ displaystyle Pi _ {A}}$ bude ve skutečnosti mnohoúhelník.

Následující věta, kvůli Borelovi a Phragmén poskytuje konvergenční kritéria pro Borelův součet.

Teorém (Hardy 1992, 8.8).

Série A(z) je (B) vůbec shrnutelné

{ displaystyle z in operatorname {int} ( Pi _ {A})}

, a je (B) vůbec odlišné

{ displaystyle z in mathbb {C} setminus Pi _ {A}}

.

Všimněte si, že (B) shrnutí pro ${ displaystyle z in částečné Pi _ {A}}$ záleží na povaze bodu.

Příklad 1

Nechť ω_i ∈ C označit m-té kořeny jednoty, i = 1, ..., ma zvažte

{ displaystyle { begin {aligned} A (z) & = sum _ {k = 0} ^ { infty} ( omega _ {1} ^ {k} + cdots + omega _ {m} ^ {k}) z ^ {k} & = sum _ {i = 1} ^ {m} { frac {1} {1- omega _ {i} z}}, end {zarovnáno}} }

který konverguje na B(0,1) ⊂ C. Viděn jako funkce na C, A(z) má singularity v S_A = {ω_i : i = 1, ..., m} a následně Borelův polygon ${ displaystyle Pi _ {A}}$ je dán pravidelným m-gon soustředěný na počátek a takový, že 1 ∈C je střed hrany.

Příklad 2

Formální série

{ displaystyle A (z) = součet _ {k = 0} ^ { infty} z ^ {2 ^ {k}},}

konverguje pro všechny ${ displaystyle | z | <1}$ (např srovnávací test s geometrickou řadou). Může se to však ukázat^[2] že A nekonverguje pro žádný bod z ∈ C takhle z^2ⁿ = 1 pro některé n. Od souboru takových z je hustý v jednotkovém kruhu, nemůže existovat žádné analytické rozšíření A mimo B(0,1). Následně největší hvězdná doména, do které A lze analyticky rozšířit je S = B(0,1), ze kterého (prostřednictvím druhé definice) jeden získá ${ displaystyle Pi _ {A} = B (0,1)}$ . Zejména je vidět, že Borelův polygon není polygonální.

Tauberianova věta

A Tauberianova věta poskytuje podmínky, za kterých konvergence jedné metody sčítání znamená konvergenci podle jiné metody. Hlavní tauberiánská věta^[1] pro Borelův součet poskytuje podmínky, za kterých slabá Borelova metoda implikuje konvergenci řady.

Teorém (Hardy 1992, 9.13). Li A je (wB) sumarizovatelné na z₀ ∈ C,

{ displaystyle { textstyle sum} a_ {k} z_ {0} ^ {k} = a (z_ {0}) , ({ boldsymbol {wB}})}

, a

{ displaystyle a_ {k} z_ {0} ^ {k} = O (k ^ {- 1/2}), qquad forall k geq 0,}

pak

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} z_ {0} ^ {k} = a (z_ {0})}

a řada konverguje pro všechny |z| < |z₀|.

Aplikace

Borelův součet najde uplatnění v rozrušení expanze v kvantové teorii pole. Zejména v 2-dimenzionální teorii euklidovského pole lze Schwingerovy funkce často získat z jejich poruchových řad pomocí Borelova součtu (Glimm & Jaffe 1987, str. 461). Některé z singularit Borellovy transformace souvisí okamžiky a renormalons v kvantové teorii pole (Weinberg 2005, 20.7).

Zobecnění

Borelův součet vyžaduje, aby koeficienty nerostly příliš rychle: přesněji A_n musí být omezeno n!Cⁿ⁺¹ pro některé C. Existuje variace Borelova součtu, která nahradí faktoriály n! s (kn)! pro nějaké kladné celé číslo k, což umožňuje součet některých řad s A_n ohraničený (kn)!Cⁿ⁺¹ pro některé C. Toto zobecnění je dáno Součet Mittag-Leffler.

V nejobecnějším případě je Borelův součet zobecněn na Nachbin obnovení, který lze použít, když je ohraničující funkce nějakého obecného typu (typu psi), místo aby byla exponenciální typ.

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b Hardy, G. H. (1992). Divergentní série. AMS Chelsea, Rhode Island.
^ "Přírodní hranice". MathWorld. Citováno 19. října 2016.

Reference

Borel, E. (1899), „Mémoire sur les séries divergentes“, Ann. Sci. Éc. Norma. Supér., Řada 3, 16: 9–131, doi:10,24033 / asens.463
Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987), Kvantová fyzika (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-4728-9, ISBN 978-0-387-96476-8, PAN 0887102
Hardy, Godfrey Harold (1992) [1949], Divergentní série, New York: Chelsea, ISBN 978-0-8218-2649-2, PAN 0030620
Reed, Michael; Simon, Barry (1978), Metody moderní matematické fyziky. IV. Analýza operátorů, New York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-585004-9, PAN 0493421
Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan (1960), Přednášky o teorii funkcí komplexní proměnné. I. Holomorfní funkceP. Noordhoff, Groningen, PAN 0113988
Weinberg, Steven (2005), Kvantová teorie polí., II, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4, PAN 2148467
Zakharov, A. A. (2001) [1994], "Metoda Borelova součtu", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[Hardy1992-1] A ^b Hardy, G. H. (1992). Divergentní série. AMS Chelsea, Rhode Island.

[2] "Přírodní hranice". MathWorld. Citováno 19. října 2016.

[1]

[2]