Metrická mapa - Metric map

V matematický teorie metrické prostory, a metrická mapa je funkce mezi metrickými prostory, které nezvyšují žádnou vzdálenost (takové funkce jsou vždy kontinuální Tyto mapy jsou morfismy v kategorie metrických prostorů, Se setkal (Isbell 1964). Také se jim říká Funkce Lipschitz s Lipschitzova konstanta 1, neexistující mapy, neexistující mapy, slabé kontrakcenebo krátké mapy.

Konkrétně předpokládejme, že X a Y jsou metrické prostory a ƒ je a funkce z X na Y. Máme tedy metrickou mapu, když pro všechny bodů X a y v X,

{ displaystyle d_ {Y} (f (x), f (y)) leq d_ {X} (x, y). !}

Tady d_X a d_Y označit metriky na X a Y resp.

Příklady

^{[potřebný příklad ]}

Kategorie metrických map

The kompozitní metrických map je také metrická mapa a mapa identity id_M : M → M v metrickém prostoru M je metrická mapa. Metrické prostory tedy spolu s metrickými mapami tvoří a kategorie Se setkal. Se setkal je podkategorie kategorie metrických prostorů a Lipschitzových funkcí. Mapa ƒ mezi metrickými prostory je izometrie právě když je to bijektivní metrická mapa, jejíž inverzní je také metrická mapa. Tak izomorfismy v Se setkal jsou přesně izometrie.

Přísně metrické mapy

Dá se říci, že ƒ je přísně metrické pokud nerovnost je přísný pro každé dva různé body. Tak a mapování kontrakcí je přísně metrický, ale nemusí to být nutně naopak. Všimněte si, že izometrie je nikdy přísně metrické, s výjimkou degenerovat případ prázdné místo nebo jednobodový prostor.

Verze s více hodnotami

Mapování ${ displaystyle T: X až { mathcal {N}} (X)}$ z metrického prostoru X do rodiny neprázdných podskupin X se říká, že je Lipschitz, pokud existuje ${ displaystyle L geq 0}$ takhle

{ displaystyle H (Tx, Ty) leq Ld (x, y),}

pro všechny ${ displaystyle x, y v X}$ , kde H je Hausdorffova vzdálenost. Když ${ displaystyle L = 1}$ , T je nazýván nevýrazný a kdy ${ displaystyle L <1}$ , T se nazývá a kontrakce.

Viz také

Reference

Isbell, J. R. (1964). „Šest vět o injektivních metrických prostorech“. Komentář. Matematika. Helv. 39: 65–76. doi:10.1007 / BF02566944.