Heine – Borelova věta - Heine–Borel theorem

v skutečná analýza the Heine – Borelova věta, pojmenoval podle Eduard Heine a Émile Borel, uvádí:

Pro podmnožina S z Euklidovský prostor Rⁿ, následující dva příkazy jsou ekvivalentní:

S je Zavřeno a ohraničený
S je kompaktní, to znamená každé otevřené Pokrýt z S má konečnou subcover.

Historie a motivace

Historie toho, čemu se dnes říká Heine – Borelova věta, začíná v 19. století hledáním pevných základů skutečné analýzy. V centru teorie byl koncept jednotná kontinuita a teorém o tom, že každý spojitá funkce v uzavřeném intervalu je rovnoměrně spojitý. Peter Gustav Lejeune Dirichlet byl první, kdo to dokázal, a implicitně použil ve svém důkazu existenci konečné dílčí kryty daného otevřeného krytu uzavřeného intervalu.^[1] Tento důkaz použil ve svých 1852 přednáškách, které byly publikovány až v roce 1904.^[1] Později Eduard Heine, Karl Weierstrass a Salvatore Pincherle používá podobné techniky. Émile Borel v roce 1895 jako první uvedl a prokázal formu toho, co se nyní nazývá Heine-Borelova věta. Jeho formulace byla omezena na počitatelný kryty. Pierre Cousin (1895), Lebesgue (1898) a Schoenflies (1900) to zobecnil na libovolné kryty.^[2]

Důkaz

Pokud je sada kompaktní, musí být uzavřena.

Nechat S být podmnožinou Rⁿ. Nejprve dodržujte následující: pokud A je mezní bod z S, pak jakákoli konečná sbírka C otevřených množin, takže každá otevřená množina U ∈ C je od některých disjunktní sousedství PROTI_U z A, není krytem S. Ve skutečnosti průnik konečné rodiny množin PROTI_U je sousedství Ž z A v Rⁿ. Od té doby A je mezní bod S, Ž musí obsahovat bod X v S. Tento X ∈ S není krytá rodinou C, protože každý U v C je disjunktní z PROTI_U a tudíž disjunktní od Ž, který obsahuje X.

Li S je kompaktní, ale není uzavřený, má mezní bod A ne v S. Zvažte sbírku C ′ skládající se z otevřeného sousedství N(X) pro každého X ∈ S, zvolen dostatečně malý, aby neprotínal nějakou čtvrť PROTI_X z A. Pak C ′ je otevřená obálka S, ale jakákoli konečná podkolekce C ′ má podobu C diskutováno dříve, a proto nemůže být otevřenou subkódou S. To je v rozporu s kompaktností S. Proto každý akumulační bod S je v S, tak S je zavřený.

Výše uvedený důkaz platí téměř beze změny k prokázání, že existuje nějaká kompaktní podmnožina S a Hausdorff topologický prostor X je uzavřen X.

Pokud je sada kompaktní, pak je ohraničená.

Nechat ${ displaystyle S}$ být kompaktní ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ , a ${ displaystyle U_ {x}}$ koule o poloměru 1 se středem na ${ displaystyle x in mathbf {R} ^ {n}}$ . Pak se soustava všech takových koulí soustředila na ${ displaystyle x v S}$ je jasně otevřená obálka ${ displaystyle S}$ , od té doby ${ displaystyle cup _ {x v S} U_ {x}}$ obsahuje vše z ${ displaystyle S}$ . Od té doby ${ displaystyle S}$ je kompaktní, vezměte si konečnou dílčí část tohoto krytu. Tento dílčí úkryt je konečným spojením koulí o poloměru 1. Zvažte všechny dvojice středů těchto (konečně mnoha) koulí (o poloměru 1) a nechte ${ displaystyle M}$ být maximální vzdáleností mezi nimi. Pak pokud ${ displaystyle C_ {p}}$ a ${ displaystyle C_ {q}}$ jsou středy (v daném pořadí) jednotkových koulí, které obsahují libovolné ${ displaystyle p, q v S}$ , nerovnost trojúhelníku říká: ${ Displaystyle d (p, q) leq d (p, C_ {p}) + d (C_ {p}, C_ {q}) + d (C_ {q}, q) leq 1 + M + 1 = M + 2.}$ Takže průměr ${ displaystyle S}$ je ohraničen ${ displaystyle M + 2}$ .

Uzavřená podmnožina kompaktní sady je kompaktní.

Nechat K. být uzavřenou podmnožinou kompaktní sady T v Rⁿ a nechte C_K. být otevřeným krytem K.. Pak U = Rⁿ \ K. je otevřená sada a

{ displaystyle C_ {T} = C_ {K} pohár {U }}

je otevřená obálka T. Od té doby T je tedy kompaktní C_T má konečnou subcover ${ displaystyle C_ {T} ',}$ který pokrývá i menší sadu K.. Od té doby U neobsahuje žádný bod z K., sada K. je již pokryto ${ displaystyle C_ {K} '= C_ {T}' setminus {U },}$ to je konečná podkolekce původní kolekce C_K.. Je tak možné extrahovat z libovolného otevřeného krytu C_K. z K. konečný subcover.

Pokud je množina uzavřená a ohraničená, pak je kompaktní.

Pokud sada S v Rⁿ je ohraničený, pak může být uzavřen uvnitř n-krabice

{ displaystyle T_ {0} = [- a, a] ^ {n}}

kde A > 0. U výše uvedené vlastnosti to stačí ukázat T₀ je kompaktní.

Předpokládejme, že to bude v rozporu T₀ není kompaktní. Pak existuje nekonečný otevřený kryt C z T₀ který nepřipouští žádnou konečnou subkrytí. Průsečíkem každé ze stran T₀, krabice T₀ lze rozdělit na 2ⁿ sub n-krabice, z nichž každá má průměr rovný polovině průměru T₀. Pak alespoň jeden z 2ⁿ části T₀ musí vyžadovat nekonečnou dílčí část C, v opačném případě C samo o sobě by mělo konečnou dílčí linii spojením konečných krytů sekcí. Volejte tuto sekci T₁.

Stejně tak strany T₁ lze rozdělit, čímž se získá 2ⁿ části T₁, z nichž alespoň jeden musí vyžadovat nekonečnou dílčí část C. Pokračování podobným způsobem přináší klesající sekvenci vnořených n-krabice:

{ displaystyle T_ {0} supset T_ {1} supset T_ {2} supset ldots supset T_ {k} supset ldots}

kde délka strany T_k je (2 A) / 2^k, který má sklon k 0 jako k inklinuje k nekonečnu. Pojďme definovat posloupnost (X_k) takové, že každý X_k je v T_k. Tato posloupnost je Cauchy, takže musí konvergovat k nějakému limitu L. Protože každý T_k je uzavřen a pro každého k sekvence (X_k) je nakonec vždy uvnitř T_k, vidíme to L ∈ T_k pro každého k.

Od té doby C kryty T₀, pak má nějakého člena U ∈ C takhle L ∈ U. Od té doby U je otevřený, existuje n-míč B(L) ⊆ U. Pro dostatečně velké k, jeden má T_k ⊆ B(L) ⊆ U, ale pak nekonečný počet členů C potřeba zakrýt T_k lze nahradit pouze jedním: Urozpor.

Tím pádem, T₀ je kompaktní. Od té doby S je uzavřen a podmnožina kompaktní sady T₀, pak S je také kompaktní (viz výše).

Vlastnictví Heine – Borel

Heine-Borelova věta neplatí, jak je uvedeno obecně metrický a topologické vektorové prostory, a to vede k nutnosti uvažovat o speciálních třídách prostorů, kde je tento návrh pravdivý. Říká se jim prostory s vlastností Heine – Borel.

V teorii metrických prostorů

A metrický prostor ${ displaystyle (X, d)}$ se říká, že má Vlastnictví Heine – Borel pokud každý uzavřený ohraničený^[3] stanovené v ${ displaystyle X}$ je kompaktní.

Mnoho metrických prostorů nemá vlastnost Heine – Borel, například metrický prostor racionální čísla (nebo skutečně jakýkoli neúplný metrický prostor). Úplné metrické prostory také nemusí mít vlastnost, například ne nekonečně dimenzionální Banachovy prostory mít vlastnost Heine – Borel (jako metrické prostory). Ještě triviálnější je, že pokud skutečná čára není obdařena obvyklou metrikou, může selhat vlastnost Heine – Borel.

Metrický prostor ${ displaystyle (X, d)}$ má metriku Heine-Borel, která je místně shodná s Cauchy ${ displaystyle d}$ právě když je kompletní, ${ displaystyle sigma}$ -kompaktní, a místně kompaktní.^[4]

V teorii topologických vektorových prostorů

A topologický vektorový prostor ${ displaystyle X}$ se říká, že má Vlastnictví Heine – Borel^[5] (R.E. Edwards používá tento výraz omezeně kompaktní prostor^[6]) pokud je každý uzavřený ohraničený^[7] stanovené v ${ displaystyle X}$ je kompaktní.^[8] Žádný nekonečně dimenzionální Banachovy prostory mít vlastnost Heine – Borel (jako topologické vektorové prostory). Ale některé nekonečně dimenzionální Fréchetové prostory mají například prostor ${ displaystyle C ^ { infty} ( Omega)}$ hladkých funkcí na otevřené sadě ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ ^[6] a prostor ${ displaystyle H ( Omega)}$ holomorfních funkcí na otevřené množině ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {C} ^ {n}}$ .^[6] Obecněji řečeno, jakýkoli kvazikomplet jaderný prostor má vlastnost Heine – Borel. Všechno Montel prostory vlastnit také nemovitost Heine – Borel.

Viz také

Bolzano – Weierstrassova věta

Poznámky

^ ^A ^b Raman-Sundström, Manya (srpen – září 2015). „Pedagogická historie kompaktnosti“. Americký matematický měsíčník. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619.
^ Sundström, Manya Raman (2010). „Pedagogická historie kompaktnosti“. arXiv:1006.4131v1 [matematika ].CS1 maint: ref = harv (odkaz)
^ Sada ${ displaystyle B}$ v metrickém prostoru ${ displaystyle (X, d)}$ se říká, že je ohraničený pokud je obsažena v kouli konečného poloměru, tj. existuje ${ displaystyle x v X}$ a ${ displaystyle r> 0}$ takhle ${ displaystyle B subseteq {x v X: d (x, a) leq r }}$ .
^ Williamson a Janos 1987.
^ Kirillov a Gvishiani 1982 Věta 28.
^ ^A ^b ^C Edwards 1965, 8.4.7.
^ Sada ${ displaystyle B}$ v topologickém vektorovém prostoru ${ displaystyle X}$ se říká, že je ohraničený pokud pro každé sousedství nuly ${ displaystyle U}$ v ${ displaystyle X}$ existuje skalární ${ displaystyle lambda}$ takhle ${ displaystyle B subseteq lambda cdot U}$ .
^ V případě, že topologie topologického vektorového prostoru ${ displaystyle X}$ je generován nějakou metrikou ${ displaystyle d}$ tato definice není ekvivalentní definici vlastnosti Heine-Borel z ${ displaystyle X}$ jako metrický prostor, protože pojem ohraničeného souboru ${ displaystyle X}$ protože metrický prostor se liší od pojmu ohraničené množiny ${ displaystyle X}$ jako topologický vektorový prostor. Například prostor ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty} [0,1]}$ hladkých funkcí na intervalu ${ displaystyle [0,1]}$ s metrikou ${ displaystyle d (x, y) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {k}}} cdot { frac { max _ {t in [0,1]} | x ^ {(k)} (t) -y ^ {(k)} (t) |} {1+ max _ {t v [0,1]} | x ^ { (k)} (t) -y ^ {(k)} (t) |}}}$ (tady ${ displaystyle x ^ {(k)}}$ je ${ displaystyle k}$ -tá derivace funkce ${ displaystyle x in { mathcal {C}} ^ { infty} [0,1]}$ ) má vlastnost Heine – Borel jako topologický vektorový prostor, ale ne jako metrický prostor.

Reference

P. Dugac (1989). „Sur la korespondenční korespondence Borel et le Théorème de Dirichlet – Heine – Weierstrass – Borel – Schoenflies – Lebesgue“. Oblouk. Int. Hist. Sci. 39: 69–110.
„důkaz Heine-Borelovy věty“. PlanetMath.
BookOfProofs: Vlastnictví Heine-Borel
Jeffreys, H .; Jeffreys, B.S. (1988). Metody matematické fyziky. Cambridge University Press. ISBN 978-0521097239.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Williamson, R .; Janos, L. (1987). „Stavební metriky s vlastností Heine-Borel“. Proc. AMS. 100 (3): 567–573. doi:10.1090 / S0002-9939-1987-0891165-X.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Kirillov, A.A .; Gvishiani, A.D. (1982). Věty a problémy ve funkční analýze. Springer-Verlag New York. ISBN 978-1-4613-8155-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Edwards, R.E. (1965). Funkční analýza. Holt, Rinehart a Winston. ISBN 0030505356.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman (2004). Heine-Borelova věta. Hannover: Leibniz Universität. Archivovány od originál (avi • mp4 • mov • swf • streamované video) dne 19. 7. 2011.
„Borel-Lebesgueova věta o krytí“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Mathworld "Heine-Borelova věta"

[Sundström-1] A ^b Raman-Sundström, Manya (srpen – září 2015). „Pedagogická historie kompaktnosti“. Americký matematický měsíčník. 122 (7): 619–635. arXiv:1006.4131. doi:10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619. JSTOR 10,4169 / amer.math.monthly.122.7.619.

[sundstrom_2010-2] Sundström, Manya Raman (2010). „Pedagogická historie kompaktnosti“. arXiv:1006.4131v1 [matematika ].CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[3] Sada ${ displaystyle B}$ v metrickém prostoru ${ displaystyle (X, d)}$ se říká, že je ohraničený pokud je obsažena v kouli konečného poloměru, tj. existuje ${ displaystyle x v X}$ a ${ displaystyle r> 0}$ takhle ${ displaystyle B subseteq {x v X: d (x, a) leq r }}$ .

[FOOTNOTEWilliamsonJanos1987-4] Williamson a Janos 1987.

[FOOTNOTEKirillovGvishiani1982Theorem_28-5] Kirillov a Gvishiani 1982 Věta 28.

[FOOTNOTEEdwards19658.4.7-6] A ^b ^C Edwards 1965, 8.4.7.

[7] Sada ${ displaystyle B}$ v topologickém vektorovém prostoru ${ displaystyle X}$ se říká, že je ohraničený pokud pro každé sousedství nuly ${ displaystyle U}$ v ${ displaystyle X}$ existuje skalární ${ displaystyle lambda}$ takhle ${ displaystyle B subseteq lambda cdot U}$ .

[8] V případě, že topologie topologického vektorového prostoru ${ displaystyle X}$ je generován nějakou metrikou ${ displaystyle d}$ tato definice není ekvivalentní definici vlastnosti Heine-Borel z ${ displaystyle X}$ jako metrický prostor, protože pojem ohraničeného souboru ${ displaystyle X}$ protože metrický prostor se liší od pojmu ohraničené množiny ${ displaystyle X}$ jako topologický vektorový prostor. Například prostor ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ { infty} [0,1]}$ hladkých funkcí na intervalu ${ displaystyle [0,1]}$ s metrikou ${ displaystyle d (x, y) = součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {k}}} cdot { frac { max _ {t in [0,1]} | x ^ {(k)} (t) -y ^ {(k)} (t) |} {1+ max _ {t v [0,1]} | x ^ { (k)} (t) -y ^ {(k)} (t) |}}}$ (tady ${ displaystyle x ^ {(k)}}$ je ${ displaystyle k}$ -tá derivace funkce ${ displaystyle x in { mathcal {C}} ^ { infty} [0,1]}$ ) má vlastnost Heine – Borel jako topologický vektorový prostor, ale ne jako metrický prostor.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]