Seznam Fourierových transformací - List of Fourier-related transforms

Toto je seznam lineární transformace z funkce související s Fourierova analýza. Takové transformace mapa funkce na sadu koeficienty z základní funkce, kde jsou základní funkce sinusový a jsou proto silně lokalizovány v frekvenční spektrum. (Tyto transformace jsou obecně navrženy tak, aby byly invertovatelné.) V případě Fourierovy transformace odpovídá každá základní funkce jedné frekvence komponent.

Kontinuální transformace

Aplikované na funkce spojitých argumentů zahrnují Fourierovy transformace:

• Oboustranná Laplaceova transformace
• Mellinova transformace, další úzce související integrální transformace
• Laplaceova transformace
• Fourierova transformace, se zvláštními případy:
  • Fourierova řada
    • Pokud je vstupní funkce / tvar vlny periodický, je výstup Fourierovy transformace a Dirac hřeben funkce, modulovaná diskrétní posloupností konečných hodnotových koeficientů, které jsou obecně komplexní. Tito se nazývají Koeficienty Fourierovy řady. Termín Fourierova řada vlastně se odkazuje na inverzní Fourierovu transformaci, která je součtem sinusoidů na diskrétních frekvencích, vážených koeficienty Fourierovy řady.
    • Když má nenulová část vstupní funkce konečnou dobu trvání, je Fourierova transformace spojitá a má konečnou hodnotu. Ale diskrétní podmnožina jeho hodnot je dostatečná k rekonstrukci / reprezentaci části, která byla analyzována. Stejná diskrétní množina se získá zpracováním doby trvání segmentu jako jedné periody periodické funkce a výpočtem koeficientů Fourierovy řady.
  • Sinusové a kosinové transformace: Když má vstupní funkce lichou nebo sudou symetrii kolem počátku, Fourierova transformace se redukuje na sínusovou nebo kosinusovou transformaci.
• Hartleyova transformace
• Krátkodobá Fourierova transformace (nebo krátkodobá Fourierova transformace) (STFT)
  • Obdélníková maska ​​krátkodobá Fourierova transformace
• Chirpletova transformace
• Frakční Fourierova transformace (FRFT)
• Hankelova transformace: související s Fourierovou transformací radiálních funkcí.
• Fourier – Bros – Iagolnitzerova transformace
• Lineární kanonická transformace

Diskrétní transformace

Pro použití na počítače, teorie čísel a algebra, diskrétní argumenty (např. funkce řady diskrétních vzorků) jsou často vhodnější a jsou zpracovávány transformacemi (analogicky s výše uvedenými spojitými případy):

• Diskrétní Fourierova transformace (DTFT): Ekvivalentní k Fourierově transformaci „spojité“ funkce, která je vytvořena z funkce diskrétního vstupu pomocí vzorových hodnot k modulaci Dirac hřeben. Když jsou hodnoty vzorku odvozeny vzorkováním funkce na reálné linii, ƒ (X), DTFT je ekvivalentní a periodický součet Fourierovy transformace ƒ. Výstup DTFT je vždy periodicky (cyklický). Alternativním hlediskem je, že DTFT je transformace do frekvenční domény, která je ohraničená (nebo konečný), délka jednoho cyklu.
  • diskrétní Fourierova transformace (DFT):
    • Když je vstupní sekvence periodická, výstup DTFT je také a Dirac hřeben funkce, modulovaná koeficienty Fourierovy řady^[1] který lze vypočítat jako DFT jednoho cyklu vstupní sekvence. Počet diskrétních hodnot v jednom cyklu DFT je stejný jako v jednom cyklu vstupní sekvence.
    • Když má nenulová část vstupní sekvence konečnou dobu trvání, je DTFT spojitý a má konečnou hodnotu. Ale diskrétní podmnožina jeho hodnot je dostatečná k rekonstrukci / reprezentaci části, která byla analyzována. Stejná diskrétní množina se získá zpracováním doby trvání segmentu jako jednoho cyklu periodické funkce a výpočtem DFT.
  • Oddělený sinusové a kosinové transformace: Když má vstupní sekvence lichou nebo sudou symetrii kolem počátku, DTFT se sníží na a diskrétní sinusová transformace (DST) nebo diskrétní kosinová transformace (DCT).
    • Regresivní diskrétní Fourierova řada, ve kterém je období určeno spíše daty než stanoveno předem.
  • Diskrétní Čebyševovy transformace (na mřížce „kořenů“ a mřížce „extrémů“ Čebyševových polynomů prvního druhu). Tato transformace má velký význam v oblasti spektrálních metod pro řešení diferenciálních rovnic, protože ji lze použít k rychlému a efektivnímu přechodu od hodnot mřížkových bodů k koeficientům Chebyshevovy řady.
• Generalized DFT (GDFT), zevšeobecnění transformací DFT a konstantního modulu, kde fázové funkce mohou být lineární s celočíselnými a skutečnými hodnotami, nebo dokonce nelineární fáze přinášející flexibilitu pro optimální návrhy různých metrik, např. automatické a vzájemné korelace.
• Fourierova transformace v diskrétním prostoru (DSFT) je zobecnění DTFT z 1D signálů na 2D signály. Nazývá se spíše „diskrétní prostor“ než „diskrétní čas“, protože nejběžnější aplikací je zobrazování a zpracování obrazu, kde jsou argumenty vstupní funkce stejně rozmístěné vzorky prostorových souřadnic ${ displaystyle (x, y)}$. Výstup DSFT je periodicky v obou proměnných.
• Z-transformace, zobecnění DTFT na celek složité letadlo
• Modifikovaná diskrétní kosinová transformace (MDCT)
• Diskrétní Hartleyova transformace (DHT)
• Také diskretizovaný STFT (viz výše).
• Hadamardova transformace (Walshova funkce ).
• Fourierova transformace na konečných grupách.
• Diskrétní Fourierova transformace (obecně).

Použití všech těchto transformací je značně usnadněno existencí efektivních algoritmů založených na a rychlá Fourierova transformace (FFT). The Nyquist – Shannonova věta o vzorkování je zásadní pro pochopení výstupu takových diskrétních transformací.

Poznámky

Viz také

• Integrální transformace
• Vlnková transformace
• Fourierova transformace spektroskopie
• Harmonická analýza
• Seznam transformací
• Seznam operátorů
• Bispectrum

Reference

• A. D. Polyanin a A. V. Manzhirov, Příručka integrálních rovnic, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN  0-8493-2876-4
• Tabulky integrálních transformací na EqWorld: Svět matematických rovnic.
• A. N. Akansu a H. Agirman-Tosun, "Zobecněná diskrétní Fourierova transformace s nelineární fází", IEEE Transakce při zpracování signálu, sv. 58, č. 9, s. 4547-4556, září 2010.