Kvazi-aritmetický průměr - Quasi-arithmetic mean
v matematika a statistika, kvazi-aritmetický průměr nebo zobecněný F-znamenat je jedno zobecnění těch známějších prostředek tak jako aritmetický průměr a geometrický průměr pomocí funkce . Také se tomu říká Kolmogorov znamená po ruském matematikovi Andrey Kolmogorov. Je to širší zevšeobecnění než běžné zobecněný průměr.
Definice
Li F je funkce, která mapuje interval skutečné linie k reálná čísla, a je obojí kontinuální a injekční, F- znamená číslaje definován jako , které lze také psát
Požadujeme F být injekční za účelem inverzní funkce existovat. Od té doby je definován v intervalu, leží v doméně .
Od té doby F je injektivní a nepřetržitý, z toho vyplývá F je přísně monotónní funkce, a proto, že F-mean není ani větší než největší počet n-tice ani menší než nejmenší číslo v .
Příklady
- Li = ℝ, skutečná linie, a , (nebo dokonce jakákoli lineární funkce , nerovná se 0), pak F-průměr odpovídá aritmetický průměr.
- Li = ℝ+, kladná reálná čísla a , pak F-průměr odpovídá geometrický průměr. Podle F-průměrné vlastnosti, výsledek nezávisí na základu logaritmus pokud je pozitivní a ne 1.
- Li = ℝ+ a , pak F-průměr odpovídá harmonický průměr.
- Li = ℝ+ a , pak F-průměr odpovídá střední moc s exponentem .
- Li = ℝ a , pak F-průměr je průměr v semiring logů, což je verze s neustálým posunem LogSumExp (LSE) funkce (což je logaritmický součet), . The odpovídá dělení n, protože logaritmické dělení je lineární odčítání. Funkce LogSumExp je a hladké maximum: plynulé přiblížení maximální funkci.
Vlastnosti
Následující vlastnosti platí pro pro každou jednotlivou funkci :
Symetrie: Hodnota se nemění, pokud jsou jeho argumenty permutovány.
Pevný bod: pro všechny X, .
Monotónnost: je monotónní v každém ze svých argumentů (od je monotóní ).
Kontinuita: je spojitá v každém ze svých argumentů (od roku) je spojitý).
Výměna, nahrazení: Podmnožiny prvků lze průměrovat a priori, aniž by se měnil průměr, vzhledem k tomu, že je zachována rozmanitost prvků. S drží to:
Rozdělení na oddíly: Výpočet průměru lze rozdělit na výpočty stejně velkých dílčích bloků:
Vlastní distribuce: Pro jakýkoli kvazi-aritmetický průměr dvou proměnných: .
Medialita: Pro jakýkoli kvazi-aritmetický průměr dvou proměnných:.
Vyvažování: Pro jakýkoli kvazi-aritmetický průměr dvou proměnných:.
Teorém centrálního limitu : Za podmínek pravidelnosti, pro dostatečně velký vzorek, je přibližně normální.[1]
Měřítko-invariance: Kvazi-aritmetický průměr je invariantní vzhledem k offsetům a škálování : .
Charakterizace
Existuje několik různých sad vlastností, které charakterizují kvazi-aritmetický průměr (tj. Každá funkce, která splňuje tyto vlastnosti, je F-průměr pro nějakou funkci F).
- Medialita je v zásadě dostačující k charakterizaci kvazi-aritmetických prostředků.[2]:kapitola 17
- Vlastní distribuce je v zásadě dostačující k charakterizaci kvazi-aritmetických prostředků.[2]:kapitola 17
- Výměna, nahrazení: Kolmogorov dokázal, že pět vlastností symetrie, pevného bodu, monotónnosti, kontinuity a nahrazení plně charakterizuje kvazi-aritmetické prostředky.[3]
- Vyvažování: Zajímavým problémem je, zda tato podmínka (společně se symetrií, pevným bodem, monotónností a vlastnostmi spojitosti) implikuje, že průměr je kvazi-aritmetický. Georg Aumann ve 30. letech ukázal, že odpověď je obecně ne,[4] ale to, pokud někdo navíc předpokládá být analytická funkce pak je odpověď kladná.[5]
Stejnorodost
Prostředek jsou obvykle homogenní, ale pro většinu funkcí , F-mean is not. Jedinými homogenními kvazi-aritmetickými prostředky jsou ve skutečnosti mocenské prostředky (včetně geometrický průměr ); viz Hardy – Littlewood – Pólya, strana 68.
Vlastnosti homogenity lze dosáhnout normalizací vstupních hodnot nějakým (homogenním) průměrem .
Tato úprava však může být v rozporu monotónnost a vlastnost rozdělení na střední hodnotu.
Reference
- ^ de Carvalho, Miguel (2016). „Myslíš, co tím myslíš?“. Americký statistik. 70 (3): 764‒776. doi:10.1080/00031305.2016.1148632.
- ^ A b Aczél, J .; Dhombres, J. G. (1989). Funkční rovnice v několika proměnných. S aplikacemi v matematice, teorii informací a přírodních a společenských vědách. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge: Cambridge Univ. Lis.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
- ^ Grudkin, Anton (2019). "Charakterizace kvazi-aritmetického průměru". Matematická výměna zásobníku.
- ^ Aumann, Georg (1937). „Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften“. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1937 (176): 49–55. doi:10.1515 / crll.1937.176,49.
- ^ Aumann, Georg (1934). „Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte“. Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften: 45–81.
- Andrey Kolmogorov (1930) „O pojmu střední hodnoty“, „Matematika a mechanika“ (Kluwer 1991) - s. 144–146.
- Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, str. 388–391.
- John Bibby (1974) „Axiomatizace průměru a další zobecnění monotónních sekvencí,“ Glasgow Mathematical Journal, sv. 15, s. 63–65.
- Hardy, G. H .; Littlewood, J. E .; Pólya, G. (1952) Nerovnosti. 2. vyd. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.